Сумма кубов двух чисел.
Для разложения на множители суммы кубов используется
тождество:
которое называют формулой суммы
кубов.
Множитель а2 – ab + b2 в правой части формулы напоминает трёхчлен а2 – 2ab + b2, который равен квадрату разности а и b. однако вместо удвоенного произведения а и b в нём стоит просто их произведение.
которое называют формулой разности
кубов.
Чтобы доказать это тождество, умножим двучлен а – b на трёхчлен
Чтобы доказать это
тождество, умножим двучлен а + b на трёхчлен
а2 – ab +
b2:
(а + b)(а2 –
ab + b2)
=
а3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3
= а3 + b3.
а3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3
= а3 + b3.
Множитель а2 – ab + b2 в правой части формулы напоминает трёхчлен а2 – 2ab + b2, который равен квадрату разности а и b. однако вместо удвоенного произведения а и b в нём стоит просто их произведение.
Трёхчлен
а2 – аb + b2
называют неполным квадратом разности а и b. Итак:
а2 – аb + b2
называют неполным квадратом разности а и b. Итак:
Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих
чисел на неполный квадрат их разности.
ПРИМЕР:
8 + х3 = 23 + х3 =
= (2 + х)(4
– 2х + х2).
ПРИМЕР:
p3 + 64q3 = p3 + (4q)3
=
Если приведённую выше формулу прочесть справа налево,
получим:
Произведение суммы двух чисел на неполный квадрат их
разности равно сумме кубов этих чисел.
ПРИМЕР:
(0,8а2 +
5b)(0,64а4 – 4a2b + 25b2)
=
(0,8a2)3 + (5b)3
= 0,512a6 + 125b3.
ПРИМЕР:
(3а
+ 1)(9а2 – 3a +
1) =
=
(3a)3
+
1 = 27a3 + 1.
ПРИМЕР:
(5х
+ у)(25х2
– 5ху + у2) =
=
125х3
+
у3.
Для разложения на множители разности кубов
используется тождество:
Чтобы доказать это тождество, умножим двучлен а – b на трёхчлен
а2 + ab + b2:
(а – b)(а2 +
ab + b2)
=
а3 + a2b + ab2 – a2b – ab2 – b3
= а3 – b3.
а3 + a2b + ab2 – a2b – ab2 – b3
= а3 – b3.
Множитель а2 + ab + b2 в правой части формулы напоминает трёхчлен а2 + 2ab + b2, который
равен квадрату суммы а и b.
однако вместо удвоенного произведения а и b в нём стоит просто их произведение.
Трёхчлен
а2 + аb + b2
называют неполным квадратом суммы а и b. Итак:
Разность кубов двух чисел равна произведению разности
этих чисел на неполный квадрат их суммы.
ПРИМЕР:
8 – х3 = 23 – х3
=
(2 –
х)(4
+ 2х + х2).
ПРИМЕР:
27х3 –
8у3
= (3х)3
– (2у)3
=
(3х – 2у)(9х2 + 6ху
+ 4у2).
Произведение разности двух чисел на неполный квадрат
их суммы равно разности кубов этих чисел.
ПРИМЕР:
(c – 2d) (c2
+ 2cd +
4d2) =
ПРИМЕР:
(0,8а2 – 5b) (0,64а4 + 4a2b + 25b2)
=
(0,8a2)3 –
(5b)3
= 0,512a6 – 125b3.Задания к уроку 17
Другие уроки:
- Урок 1. Рациональные алгебраические выражения
- Урок 2. Тождественные выражения
- Урок 3. Одночлены
- Урок 4. Умножение одночленов
- Урок 5. Возведение в степень одночленов
- Урок 6. Деление одночленов
- Урок 7. Многочлены
- Урок 8. Сложение и вычитание многочленов
- Урок 9. Умножение одночлена на многочлен
- Урок 10. Умножение многочленп на многочлен
- Урок 11. Вынесение общего множителя за скобки
- Урок 12. Способ группировки
- Урок 13. Произведение суммы двух чисел на их разность
- Урок 14. Разность квадратов двух чисел
- Урок 15. Квадрат суммы и квадрат разности двух чисел
- Урок 16. Преобразование многочлена в квадрат суммы или квадрат разности двух выражений
- Урок 18. Куб суммы и куб разности двух чисел
- Урок 19. Применение различных способов разложения многочлена на множители
- Урок 20. Алгебраические дроби
- Урок 21. Сокращение дробей (1)
- Урок 22. Сокращение дробей (2)
- Урок 23. Сложение алгебраических дробей
- Урок 24. Вычитание алгебраических дробей
- Урок 25. Умножение алгебраических дробей
- Урок 26. Деление алгебраических дробей
- Урок 27. Возведение алгебраических дробей в целую положительную степень
- Урок 28. Возведение алгебраических дробей в целую отрицательную степень
- Урок 29. Преобразование алгебраических выражений
Комментариев нет:
Отправить комментарий