Уроки математики и физики (RU + UA)

четверг, 25 августа 2016 г.

Урок 18. Приведённое квадратное уравнение

Формула корней приведённого квадратного уравнения.

Поделив все члены полного квадратного уравнения на  а (а ≠ 0), получим:
Обозначив
получим уравнение:
которое называется приведённым квадратным уравнением.

С помощью выделения квадрата двучлена в уравнении

                                  x2 + px + q = 0

при любых  p  и  q  получают общую формулу для корней приведённого квадратного уравнения:
которая показывает зависимость корней от коэффициентов.

Корень приведённого квадратного уравнения равен половине коэффициента при неизвестном в первой степени, взятого с противоположным знаком, плюс-минус квадратный корень с квадрата половины этого коэффициента без свободного члена.

По этой формуле можно определить действительный корень приведённого уравнения только в случае, когда выражение
(оно называется дискриминантом приведённого квадратного уравнения) положительное, то есть когда
Если
то данное уравнение 


x2 + px + q = 0 

имеет два разных корня.
Если
то данное уравнение не имеет действительных корней.
Если
то оба два корня одинаковые:
ПРИМЕР:

Решите уравнение:

х2 – 4х – 60 = 0.

Тут  

p = –4,  q = –60.

По формуле получим:
ПРИМЕР:

Решите уравнение:

х2 + 2 – 2(mn + 0,5n2) = 0.

Тут  p = 2m,
По формуле получим:
х1 = m + (m + n) = n;
х2 = m – (m + n)
= –2m – n.

Формулы

 –m ± |m + n|  и 
–m ± (m + n) 

дают одинаковые пары чисел, поэтому в данном случае вместо 

–m ± |m + n| 

можно писать 

–m ± (m + n).

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

х2 + 6х + 9 = 0.
D = 36 – 36 = 0,   
D > 0,
ОТВЕТ:          

х = –3.

ПРИМЕР:

Какое из уравнений не имеет корней ?

x2 – 6x + 5 = 0,

x2 – 9x – 5 = 0,

x2 – 4x + 4 = 0,

x2 – 2x + 9 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Уравнение

x2 – 2x + 9 = 0

корней не имеет, так как

D = (–2)2 – 4 9 = –32 < 0.

ПРИМЕР:

Корни какого уравнения равны  6  и  –2 ?

x2 + 4x + 12 = 0,

x2 – 12x + 4 = 0,

x2 + 4x – 12 = 0,

x2 – 4x – 12 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Подставляем  6  в каждое уравнение. Видим, что этот корень подходит только к уравнению

x2 – 4x – 12 = 0.

Подставляем  –2  в это уравнение. Видим, что этот корень подходит. Значит корни  6  и  –2  являются корнями уравнения

x2 – 4x – 12 = 0.

ПРИМЕР:

Найдите корни квадратного уравнения

x2 + 7x + 12 = 0.

РЕШЕНИЕ:

D = 72 – 4 1 12 = 1.
Задания к уроку 18
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий