Урок 18. Приведённое квадратное уравнение

Формула корней приведённого квадратного уравнения.

Поделив все члены полного квадратного уравнения на  а (а ≠ 0), получим:

Обозначив

получим уравнение:

которое называется приведённым квадратным уравнением.

С помощью выделения квадрата двучлена в уравнении

                                  x² + px + q = 0

при любых  p  и  q  получают общую формулу для корней приведённого квадратного уравнения:

которая показывает зависимость корней от коэффициентов.

Корень приведённого квадратного уравнения равен половине коэффициента при неизвестном в первой степени, взятого с противоположным знаком, плюс-минус квадратный корень с квадрата половины этого коэффициента без свободного члена.

По этой формуле можно определить действительный корень приведённого уравнения только в случае, когда выражение

(оно называется дискриминантом приведённого квадратного уравнения) положительное, то есть когда

Если

то данное уравнение 

x² + px + q = 0 

имеет два разных корня.

Если

то данное уравнение не имеет действительных корней.

Если

то оба два корня одинаковые:

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

х² – 4х – 60 = 0.

Тут  

p = –4,  q = –60.

По формуле получим:

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

х² + 2mх – 2(mn + 0,5n²) = 0.

Тут  p = 2m,

По формуле получим:

х₁ = –m + (m + n) = n;

х₂ = –m – (m + n)

= –2m – n.

Формулы

 –m ± |m + n|  и 

–m ± (m + n) 

дают одинаковые пары чисел, поэтому в данном случае вместо 

–m ± |m + n| 

можно писать 

–m ± (m + n).

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

х² + 6х + 9 = 0.

D = 36 – 36 = 0,   

D > 0,

ОТВЕТ:          

х = –3.

ПРИМЕР:

Какое из уравнений не имеет корней ?

x² – 6x + 5 = 0,

x² – 9x – 5 = 0,

x² – 4x + 4 = 0,

x² – 2x + 9 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Уравнение

x² – 2x + 9 = 0

корней не имеет, так как

D = (–2)² – 4 ∙ 9 = –32 < 0.

ПРИМЕР:

Корни какого уравнения равны  6  и  –2 ?

x² + 4x + 12 = 0,

x² – 12x + 4 = 0,

x² + 4x – 12 = 0,

x² – 4x – 12 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Подставляем  6  в каждое уравнение. Видим, что этот корень подходит только к уравнению

x² – 4x – 12 = 0.

Подставляем  –2  в это уравнение. Видим, что этот корень подходит. Значит корни  6  и  –2  являются корнями уравнения

x² – 4x – 12 = 0.

ПРИМЕР:

Найдите корни квадратного уравнения

x² + 7x + 12 = 0.

РЕШЕНИЕ:

D = 7² – 4 ∙ 1 ∙ 12 = 1.

Задания к уроку 18

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем