Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами

Уравнение, у которого коэффициенты всех или некоторых членов – дробные числа, можно заменить равносильным уравнением с целыми коэффициентами (для этого обе две части уравнения надо умножить на наименьшее общее кратное знаменателей дробных коэффициентов).

ПРИМЕР:

Уравнение

После умножения обоих его частей на  14  получим           

(5х – 4) × 7 = 

= (16х + 1) × 2;

35х – 28 

= 32х + 2.

Легко убедиться в том, что первое и последнее уравнения имеют один корень  х = 10.

Общая схема решения уравнений первой степени.

ПРИМЕР:

Пусть необходимо решить уравнение:

Умножим все члены на наименьшее общее кратное знаменателей, которое равно  12. После сокращения получим:

4(х – 4) + 6(х + 1) – 12 

= 30(х – 3) + 24х – 2(11х + 43).

Чтобы выделить члены, в которых находятся неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:

4х – 16 + 6х + 6 –12 

= 30х – 90 + 24х – 22х – 86.

Сгруппируем в одной части члены, которые содержат неизвестные, а в другой – свободные члены:

4х + 6х – 30х – 24х + 22х 

= –90 – 86 + 16 – 6 + 12.

Приведём подобные члены:

–22х = –154.

Поделим обе части на  –22. Получим:

х = 7.

Как видим, корень можно найти по такой схеме:

 – привести уравнение к целому виду;

 

– раскрыть скобки;

– сгруппировать члены, которые содержат неизвестные, в одной части  уравнения, а свободные члены – в другой;

 

– свести подобные члены;

– решить уравнение вида  ах = b, которое получили после приведения подобных членов.

Однако эта схема не обязательна для любого уравнения. Во-первых, при решении многих простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго, третьего и может пятого этапу. Во-вторых, некоторые промежуточные этапы могут оказаться ненужными. В-третьих, иногда бывает выгодно для простоты решения нарушить порядок, указанной схемы.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

0,1х = –8.

РЕШЕНИЕ:

Приведём уравнение к целому виду поделив обе части уравнения на  0,1, имеем: 

х = –8 : 0,1,  х = – 80.

Тот же самый результат можно получить, если умножить обе части уравнения на  10.

ПРИМЕР:

Найдите значение переменной  х, при котором значения выражений

2х – 5  и  2 – 1,5х 

равны.

РЕШЕНИЕ:

2х – 5 = 2 – 1,5х,

3,5х = 7,  х = 2.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

4(х – 1,5) = 6.

РЕШЕНИЕ:

4(х – 1,5) = 6,

4х – 6 = 6,

4х = 12,  4х = 3.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Приведём уравнение к целому виду.

Это уравнение равносильно уравнению

х – 1 = 6х

(обе части первого уравнения умножили на  3).

х – 1 = 6х,

5х = –1,

х = –0,2.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Приведём уравнение к целому виду.

Умножим левую и правую части на  4, получим

3х = 48.

Разделим левую и правую часть уравнения на  3:

х = 16.

ОТВЕТ:  х = 16

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Умножим все члены на наименьшее общее кратное знаменателей, которое равно  6.

После сокращения получим:

3(х – 1) = 2(2х + 4).

Раскроем скобки:

3х – 3 = 4х + 8.

Сгруппируем в одной части члены, которые содержат неизвестные, а в другой – свободные члены:

3х – 4х = 8 + 3.

Приведём подобные члены:

– х = 11,  х = –11.

ОТВЕТ:  –11

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Умножим все члены на наименьшее общее кратное знаменателей, которое равно  15.

После сокращения получим:

5(5х – 1) – 3(2х + 3) = 15.

Раскроем скобки:

25х – 5 – 6х – 9 = 15.

Сгруппируем в одной части члены, которые содержат неизвестные, а в другой – свободные члены:

25х – 6х = 15 + 5 + 9.

Приведём подобные члены:

19х = 29,

х = ²⁹/₁₉ = 1¹⁰/₁₉.

ОТВЕТ:  1¹⁰/₁₉

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Умножим все члены на наименьшее общее кратное знаменателей, которое равно  12.

После сокращения получим:

3(3х – 4) = 4 ∙ 7х + 24.

Раскроем скобки:

9х – 12 = 28х + 24.

Сгруппируем в одной части члены, которые содержат неизвестные, а в другой – свободные члены:

9х – 28х = 24 + 12.

Приведём подобные члены:

–19х = 36,

х = –³⁶/₁₉ = –1¹⁷/₁₉.

ОТВЕТ:  –1¹⁷/₁₉

Задания к уроку 2

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем