Урок 34. Решение уравнений способом замены

среда, 14 декабря 2016 г.

Урок 34. Решение уравнений способом замены

Во многих случаях способ введения новых переменных значительно упрощает решение системы уравнений.

Метод введения новой переменной.

Некоторые уравнения решают заменой в них некоторого многочлена с одной переменной и могут быть сведены к алгебраическим уравнениям, степень которых меньше степени исходного уравнения и решение которых проще.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

ОДЗ: х ≠ 0.

Пусть

Тогда

Имеем:

2t² + 5t + 2 = 0,

t₁ = –0,5, t₂ = –2.

Вернёмся к замене:

2х² + 2 = –х,

2х² + х + 2 = 0, D < 0,

уравнение не имеет корней.

х² + 1 = –2х,

х² + 2х + 1 = 0,

(х + 1)² = 0.

х = –1.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

Проверкою определяем, что х = 0 не является корнем уравнения. Поделим числитель и знаменатель каждой дроби на х, получим:

Пусть

3х + ²/_х= t,

тогда последнее уравнение можно записать в виде:

13(t + 1) – 12(t – 5) = 5(t + 1)(t – 5),

5t² – 21t – 98 = 0,

t₁ = –2,8, t₂ = 7.

t ≠ 5, t ≠ 1.

возвращаясь к замене, получаем:

3х + ²/_х= –2,8

15х² + 14х + 10 = 0,

D < 0

уравнение корней не имеет.

3х + ²/_х= 7,

3х² – 7х + 2 = 0,

х₁ = ¹/₃, х₂ = 2.

ПРИМЕР.

Решить уравнение:

(х² + х)² – 4(х² + х) + 3 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Введём новую переменную

t = х² + х.

Получим уравнение

t² – 4t + 3 = 0,

корнями которого являются числа

t₁ = 1, t₂ = 3.

Теперь решим два уравнения:

х² + х = 1,

х² + х = 3.

ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

х⁶ – 5х³ + 4 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим у = х³, тогда исходное уравнение принимает вид:

у² – 5у + 4 = 0,

решив которое получаем

у₁ = 1; у₂ = 4.

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности

уравнений:

х³ = 1 или х³ = 4,

То есть

ОТВЕТ:

Уравнение вида

ax⁴ + bx² + c = 0,

где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причём a ≠ 0, называется биквадратным уравнением.

Заменой х² = t биквадратное уравнение сводится до квадратного уравнения

at² + bt + c = 0.

Такой способ решения уравнения называют методом замены переменной.

Формула решения биквадратного уравнения такая:

Она даёт четыре корня биквадратного уравнения, а именно:

Симметричные уравнения.

Уравнения

axⁿ + bxⁿ^-1 + cxⁿ^-2 + … + cx² + bx + a,

у которых коэффициенты членов, одинаково удаленных от начала и конца, равны, называются симметричными или обратными.

ПРИМЕР:

х⁷ + 2х⁶ – 5х⁵ – 13х⁴ – 13х³ – 5х² + 2х + 1 = 0.

Симметричное уравнение имеет такое свойство:

Если число х₁ будет решением, то обратное число ¹/_х₁ так же будет его решением.

(Ни один из корней симметричного уравнения не может быть равен нулю.)

Симметричное уравнение может быть как чётной, так и нечётной степени. Способ решения такого уравнения чётной степени покажем на примере уравнения четвертой степени.

aх⁴ + bх³ + cх² + bх + a = 0.

Поделив обе части уравнения на х² (так как х ≠ 0), получим:

Сгруппируем члены с одинаковыми коэффициентами:

Заменим

х + ¹/_х = у.

Получим:

Видим, что симметричное уравнение четвертой степени сводится к квадратному уравнению. Симметричное уравнение чётной степени можно привести с помощью подстановки

х + ¹/_х = у

к уравнению в два раза меньшей степени, чем исходное. Для этого делят все члены данного уравнения на хⁿ (если степень данного был 2n ) и группируют члены, равноудалённые от конца и начала. После этого делают замену по формулам: