Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков

Для того чтобы графически решить систему двух уравнений с двумя переменными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений. Графическое решение системы линейных уравнений с двумя переменными сводится к отысканию координат общих точек двух прямых линий. Как известно, две прямые на плоскости могут быть параллельными или пересекающимися. В случае параллельности прямые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Если угловые коэффициенты прямых, служащих графиками уравнений системы, различны, то прямые пересекаются. Координаты точки их пересечения являются решением этой системы, и притом единственным.

Системе двух уравнений первой степени с двумя неизвестными в декартовой системе координат соответствует пара прямых. Поскольку две прямые на плоскости могут пересекаться, совпадать или быть параллельными, то и соответствующая им система уравнений может иметь одно решение, бесконечное количество решений или не иметь ни одного. Решить систему уравнений с двумя неизвестными можно графически.

ПРИМЕР:

Пусть требуется решить систему уравнений:

Построим в координатной плоскости графики уравнений системы. Графиком первого уравнения является прямая  АВ, а графиком второго – прямая  СD.

Координаты любой точки прямой  АВ  являются решением уравнения

2х + 3y = 5,  

а координаты любой точки прямой  СD  являются решением уравнения

3x – y = –9.

Координаты точки пересечения прямых удовлетворяют как первому уравнению, так и второму, т. е. являются решением системы. Графики пересекаются в точке  К(–2; 3). Значит, система имеет единственное решение:

х = –2;  у = 3.

Примененный нами способ решения системы уравнений называется графическим. Заметим, что графический способ обычно позволяет находить решения лишь приближённо.

Рассмотрим системы двух линейных уравнений с двумя переменными, в каждом из которых хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля. Выясним, всегда ли такая система имеет решения и если имеет, то сколько. Графиками уравнений системы являются прямые. Если эти прямые пересекаются, то система имеет единственное решение; если прямые параллельны, то система не имеет решений; если прямые совпадают, то решений бесконечно много.

ПРИМЕР:

Выясним, сколько решений имеет система уравнений:

Рассмотрим, каково взаимное расположение графиков уравнений данной системы. Для этого выразим из каждого уравнения данной системы. Для этого выразим из каждого уравнения  у  через  х, получим:

Уравнениями

у = –1,1х + 12,

у = –6x + 18

задаются линейные функции. Угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками этих функций, различны. Значит, эти прямые пересекаются и система имеет единственное решение.

ПРИМЕР:

Рассмотрим, сколько решений имеет система уравнений:

Из каждого уравнения системы выразим  у  через  х:

Прямые, являющиеся графиками линейных функций

у = –0,4х + 0,15

у = –0,4x + 3,2

параллельны, так как их угловые коэффициенты одинаковы, а точки пересечения с осью  у  различны. Отсюда следует, что данная система уравнений не имеет решений.

ПРИМЕР:

Выясним, сколько решений имеет система уравнений:

Из каждого уравнения системы выразим  у  через  х:

Очевидно, что графики уравнений совпадают. Это означает, что любая пара чисел  (х; у), в которой  х – произвольное число, а  

у = –2,5x – 9, 

является решением системы. Система имеет бесконечно много решений.

ПРИМЕР:

Пусть дана система:

Для этого построим в одной координатной плоскости графики обоих её уравнений:

Координаты каждой точки прямой, которая является графиком уравнения   

х + 3y = 9,

удовлетворяют это уравнение.

Координаты каждой точки прямой, которая является графиком уравнения 

2x – y = 4,

удовлетворяют это уравнение.

Построенные графики пересекается в точке  А(3; 2). Поэтому пара чисел   (3; 2) – единственное решение данной системы уравнений. Графическим способом обычно находят приближенные решения. Но подставив значение  х = 3  и  у = 2  в данную систему уравнений, убеждаемся, что   (3; 2) – точное решение.

Имеет ли каждая система двух уравнений только одно решение ? Нет.

ПРИМЕР:

Система уравнений

имеет огромное количество решений. Ведь графика обоих этих уравнений – одна и та же прямая. Следовательно, координаты каждой точки этой прямой, например,

(–2; –6), (–1; –4,5), (0; –3), (1; –1,5), (2; –0), …

– решение данной системы уравнений.

Есть и такие системы уравнений, которые не имеют ни одного решения.

ПРИМЕР:

Решите систему уравнений:

Найдем координаты точек пересечения графиков уравнений системы с осями координат:

Построим графики данных уравнений.

Эти графики – параллельные прямые, они не имеют общих точек.

ПРИМЕР:

Решить графически систему линейных уравнений:

РЕШЕНИЕ:

Построим прямую – график уравнения  3х + 2y = 5 – по двум точкам, например  (1; 1)  и  (3; –2).

Построим прямую – график уравнения  2x – y = 8 – по двум точкам, например  (0; –8)  и  (4; 0).

Полученные прямые не параллельны, их пересечением служит точка  М(3; –2). Значит, (3; –2) – решение заданной системы.

Задания к уроку 14

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем