Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач

пятница, 19 февраля 2016 г.

Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач

Что бы решить задачу с помощью уравнения, сначала надо составить соответствующее уравнение. Короче говоря, нужно переложить задачу с обыкновенного языка на математический язык. Для этого составляют математическую модель данной задачи. Модель всегда подобна оригиналу. В ней отображаются те или иные важные свойства исследуемого объекта. Глобус – модель Земли, кукла – модель человека. Если модель построена на основании уравнений, формул или других математических понятий, её называют математической моделью.

Чтобы решить задачу с помощью уравнения, необходимо:

– выбрать неизвестное и обозначить его буквой;

– выразить остальные неизвестные в задачи величины с помощью этой буквы;

– составить уравнение;

– решить уравнение;

– сделать проверку.

Двигаясь со скоростью 60 км/час, автомобиль за 2 час пройдёт

60 ⋅ 2 (км),

за 5 час – 60 ⋅ 5 (км).

Вообще, за t часов он пройдёт 60 ⋅ t (км). Измеряя значение t, мы можем с помощью выражения 60 ⋅ t находить путь, пройденный автомобилем за разные промежутки времени. Для этого достаточно вместо буквы t подставить её значение и выполнить умножение. Букву t в выражении 60 ⋅ t называют переменной, а само выражение 60 ⋅ t – выражением с переменной.

ЗАДАЧА:

Определите вес одного батона, лежащего на весах:

РЕШЕНИЕ:

Обозначим вес батона через х. Так как весы уравновешены, то можно составить уравнение:

5х = 2х + 6.

Решим его.

Добавим к обеим частям уравнения по –2х (снимем с обеих чашек весов по два батона), получим:

5х – 2х = 2х – 2х + 6.

Но 2х – 2х равно 0, следовательно,

5х – 2х = 6.

Сравним это уравнение с заданным. Видим, что его можно извлечь из данного, если слагаемое 2х перенести в левую часть, изменив его знак. Решая дальше уравнение

5х – 2х = 6,

получим:

3х = 6, х = 2.

Число 2 будет корнем уравнения

5х = 2х + 6,

так как равенство правильное

5 ∙ 2 = 2 ∙ 2 + 6.

ОТВЕТ: 6

ЗАДАЧА:

За 2,5 кг масла заплатили 8,75 руб. Сколько стоит 1,7 кг этого масла ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть вторая покупка стоит х руб. Цену на масло можно найти двумя способами: поделить 8,75 на 2,5 или поделить их на 1,7. В обоих случаях должен получиться один и тот же ответ. Получим пропорцию:

8,75 : 2,5 = х : 1,7.

По основному свойству пропорции имеем:

8,75 ∙ 1,7 = 2,5 ∙ х.

Итак,

х = 8,75 ∙ 1,7 : 2,5,

х = 5,95.

ОТВЕТ: за вторую покупку заплатили 5,95 руб.

ЗАДАЧА:

В универмаге покупатель потратил 32% имеющихся у него денег. Это составляет 11,2 руб. Сколько денег было у покупателя ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть у покупателя было х руб, тогда один процент его денег составляет 0,01х руб, а 32% составляют

0,01х ∙ 32 = 0,32х (руб).

По условию задачи 0,32х руб равны 11,2 руб:

0,32х = 11,2,

х = 11,2 : 0,32 = 35,

х = 35.

ОТВЕТ: 35 руб

ЗАДАЧА:

Турист должен пройти 220 км. В первый день он прошел 33 км. Сколько процентов пути прошел турист за первый день ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть в первый день турист прошел х процентов пути. Один процент пути составляет 2,2 км, а х процентов составляют 2,2х км, что по условию задачи равно 33 км:

2,2х = 33,

х = 33 : 2,2 = 15,

х = 15.

ОТВЕТ: 15%

ЗАДАЧА:

Если задуманное число умножить на 3 и к полученному результату прибавить 5, то получим 56. Какое число задумали ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть х – задуманное число, тогда

3х + 5 = 56,

3х = 51, х = 17.

ЗАДАЧА:

Двое рабочих изготовили за первый день 100 деталей. Во второй день первый рабочий изготовил деталей на 20% больше, чем за первый день, а второй рабочий – на 10% больше, чем за первый день. Всего за второй день они сделали 116 деталей. Сколько деталей изготовил за первый день первый рабочий ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть за первый день первый рабочий изготовил х деталей, тогда второй рабочий за первый день изготовил (100 – х) деталей. За второй день первый рабочий изготовил 1,2х деталей, а второй за второй день изготовил 1,1(100 – х) деталей. Поскольку вместе за второй день они изготовили 116 деталей, то:

1,2х + 1,1(100 – х) = 116,

1,2х – 1,1х = 6,

0,1х = 6, х = 60.

ОТВЕТ: 60 деталей

ЗАДАЧА:

Какую сумму денег нужно положить в банк под 10% годовых, чтобы через 2 года на счете стало 6050 руб ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть в банк положили х руб. Тогда через год их стало 1,1х руб, а через год –

1,1х ∙ 1,1 = 1,21х руб.

Итак,

1,21х = 6050,

х = 5000 (руб).

ОТВЕТ: 5000 (руб)

ЗАДАЧА:

После двух последовательных снижений цены на 20% шкаф стал стоить 1600 руб. Какова была начальная цена шкафа ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть начальная цена шкафа х руб. После первого понижения стоимость стала 0,8 руб. После второго понижения –

0,8 ∙ 0,8 = 0,64х.

Итак

0,64х = 1600, х = 2500 руб

ОТВЕТ: 25000 (руб)

ЗАДАЧА:

В первом бидоне было молоко с массовой долей жира 2%, а во втором – 5%. Сколько нужно взять молока из каждого бидона, чтобы получить 12 кг молока, массовая доля жира которого равна 4% ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть из первого бидона нужно взять х кг молока, масса жира в нем составляет 0,02х кг. Тогда с другой надо взять (12 – х) кг молока, масса жира в нем составляет 0,05(12 – х) кг.

Уравнение:

0,02х + 0,05(12 – х) = 0,04 ∙ 12,

2х + 5(12 – х) = 4 ∙ 12,

–3х = –12, х = 4.

Итак, с первого бидона нужно взять 4 кг, со второго –

12 – 4 = 8 (кг).

ОТВЕТ: 4 кг из первого бидона, 8 кг – со второго

ЗАДАЧА:

Цену на товар снизили сначала на 10%, а затем еще на 20%, после чего он стал стоить 28 руб. 80 коп. Какова была начальная цена товара ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть начальная цена товара х руб. После понижения на 10% он стал стоить – 0,9х, а после повторного снижения на 20% цена составила –

0,8 ∙ 0,9х = 0,72х.

Отсюда

0,72х = 28,8, х = 40 (руб).

ОТВЕТ: 40 (руб)

ЗАДАЧА:

Ученик умножил некоторое число на 9 и 12. Потом сложил найденные произведения. Он получил 210. Какое число умножил ученик на 9 и на 12 ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть неизвестное число будет х. Тогда первое произведение 9х, второе – 12х. По условию задачи сумма этих произведений равна 210. Это утверждение записывается уравнением:

12х + 9х = 210.

Решением уравнения будет х = 10. Поэтому, неизвестное число равно 10.

ЗАДАЧА:

Брат в четыре раза старше сестры, а сестра на 9 лет младше брата. Сколько лет сестре и сколько брату ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть возраст сестры – х лет. Тогда возраст брата 4х. По условию задачи сестра на 9 лет младше брата – это записывается уравнением:

4х – х = 9.

Решением будет

х = 3 (возраст сестры);

4х = 4 ∙ 3 = 12 (возраст брата).

ЗАДАЧА:

После двух последовательных понижений цены, первое из которых было на 15%, а второе – на 10%, пальто стало стоить 918 руб. Какова белая начальная цена пальто ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть начальная цена пальто х руб. После первого снижения цена стала 0,85х руб, после второго –

0,85х ∙ 0,9 = 0,765х руб

Итак,

0,756х = 918,

х = 1200 руб

ЗАДАЧА:

Телевизор и мобильный телефон стоили вместе 1800 руб. После того, как телевизор подорожал на 10%, а телефон подешевел на 10%, они стали стоить вместе 1840 руб. Найдите первоначальную цену телевизора.

РЕШЕНИЕ:

Пусть начальная цена телевизора х руб, тогда мобильный телефон стоил (1800 – х) руб. Новая цена телевизора 1,1х руб, а мобильного телефона – 0,9(1800 – х) руб. Поскольку новая цена их обоих составляет 1840 руб, то:

1,1х + 0,9(1800 – х) = 1840,

0,2х = 1840 – 1620,

0,2х = 220, х = 1100.

ОТВЕТ: 1100 руб

ЗАДАЧА:

В течение двух дней рабочий изготовил некоторое количество деталей. За первый день он изготовил ⁹/₁₆ всех деталей, а за второй – на 9 деталей меньше, чем за первый. Сколько деталей изготовил рабочий за два дня ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть х – количество деталей, которое рабочий изготовил за два дня. Тогда за первый день он изготовил ⁹/₁₆х деталей, а за второй – ⁷/₁₆х деталей.

Уравнение:

⁹/₁₆х – ⁷/₁₆х = 9,

²/₁₆х = 9, ¹/₈х = 9,

х = 72.

ЗАДАЧА:

Вкладчик положил в банк на два разных счета 12 000 руб. По первому из счетов банк выплачивает 6% годовых, а по второму – 8% годовых. Через год клиент получил 800 руб процентных денег. Сколько рублей он положил на каждый счет ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть вкладчик положил х руб на первый счет. Тогда на второй он положил (1200 – х) руб. Через год с первого счета он получил 0,06х руб, а со второго – 0,08(1200 – х) руб процентных денег. Поэтому:

0,06х + 0,08(1200 – х) = 800,

6х + 8(1200 – х) = 80000,

–2х = –16000, х = 8000.

Так что на первый счет вкладчик положил 8000 руб, а на второй –

12000 – 8000 = 4000 (руб).

ОТВЕТ: 8000 руб, 4000 руб

ЗАДАЧА:

После двух последовательных понижений цены, первое из которых было на 20%, а второе – 10%, стул стал стоить 108 руб. Найдите начальную цену стула.

РЕШЕНИЕ:

Пусть начальная цена стула х руб. После первого понижения стоимость стала 0,8х руб. После второго понижения –

0,8х ∙ 0,9 = 0,72.

Итак

0,72х = 108,

х = 150 руб

ЗАДАЧА:

На клумбе растут тюльпаны и астры, причем тюльпаны составляют 52% всех цветов. Астр на клумбе растет на 80 меньше тюльпанов. Сколько цветов растет на клумбе ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть на клумбе растет цветок. Тогда тюльпанов растет 0,52х, а астр –

х – 0,52х = 0,48х.

Отсюда:

0,52х – 0,48х = 80,

0,04х = 80,

х = 2000.

ЗАДАЧА:

В саду произрастают яблони и вишни, причем яблони составляют 52% всех деревьев. Вишен растет на 8 деревьев меньше, чем яблонь. Сколько деревьев растет в саду ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть в саду росло х деревьев. Тогда яблонь росло 0,52х деревьев, а вишен –

0,52х – 8.

Отсюда:

0,52х + 0,52х – 8 = х,

1,04х – 8 = х, 0,04х = 8,

х = 200.

ЗАДАЧА:

Вкладчик положил в банк на два разных счета общую сумму 15 000 руб. По первому из них банк выплачивает 7% годовых, а по второму – 10% годовых. Через год вкладчик получил 1200 руб процентных денег. Сколько рублей он положил на каждый счет ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть вкладчик положил х руб на первый счет. Тогда на второй он положил (15000 – х) руб. Через год с первого счета он получил 0,07х руб, а со второго – 0,1(15000 – х) руб процентных денег. Поэтому:

0,07х +0,1(15000 – х) = 1200,

7х +10(15000 – х) = 120000,

–3х = –30000, х = 10000

Так что на первый счет вкладчик положил 10000 руб, а на второй –

15000 – 10000 = 5000 (руб).

ОТВЕТ: 10000 руб, 5000 руб

ЗАДАЧА:

Мальчик прочитал книгу за 2 дня, причем за первый день он прочитал 46% всей книги, а за второй – на 32 страницы больше, чем за первый. Сколько страниц в книге ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть в книге х страниц. Тогда за первый день он прочитал 0,46х страниц, а за второй – 0,54х. За второй день он прочитал на 32 страницы больше:

0,54х – 0,46х = 32,

0,08х = 32,

х = 400 (страниц).

ЗАДАЧА:

Привезенные в магазин фрукты были проданы в течение двух дней. За первый день продали ⁷/₁₅ всех фруктов, а за второй – на 18 кг больше, чем за первый. Сколько килограммов фруктов продали в магазины за два дня ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть за два дня в магазине продали х кг фруктов. Тогда за первый день продали ⁷/₁₅х кг фруктов, а за второй – ⁸/₁₅х кг. За второй день продали на 18 кг фруктов больше:

⁸/₁₅х – ⁷/₁₅х = 18,

^х/₁₅ = 18,

х = 270 (кг).

ЗАДАЧА:

Вкладчик положил в банк определенную сумму под 8% годовых. Какова сумма первоначального вклада, если через 2 года на счете вкладчика стало 5832 руб ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть вкладчик положил х руб, тогда после первого года на счету было 1,08 руб, а после второго –

1,08 ∙ 1,08х = 1,1664х,

1,1664х = 5832,

х = 5000 (руб).

ЗАДАЧА:

Цена товара сначала выросла на 20%, а затем снизилась на 20%. Как изменилась цена товара по сравнению с первоначальной ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть х руб – начальная цена товара. После первого подорожания она стала 1,2х руб, после понижения –

1,2х ∙ 0,8 = 0,96х (руб),

х – 0,96х = 0,04х,

0,04х : х = 0,04 = 4%.

ОТВЕТ: уменьшилась на 4%

Задания к уроку 4

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 19 февраля 2016 г.