Урок 20. Неполные квадратные уравнения

Если хотя б один из коэффициентов  b  или  с  равен  0, то квадратное уравнение называется неполным. Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения – проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

 – если  b = 0, c ≠ 0, то

 ax² + c = 0;

– если  b ≠ 0, c = 0, то 

ax² + bx = 0;

– если  b = 0, c = 0, то 

ax² = 0.

Решение неполных квадратных уравнений.

УРАВНЕНИЕ ВИДА

aх² + c = 0.

Чтобы решить уравнение вида 

ax² + c = 0,

надо перенести свободный член у правую часть и найти значение  х², откуда:

Если коэффициенты  а  и  с  одного знаку, то уравнение 

ax² + c = 0 

в области действительных чисел не имеет решений, так как квадрат действительного числа не может быть равна отрицательному числу

Если же  а  и  с  имеют противоположные знаки, то уравнение 

ax² + c = 0 

всегда имеет два корня, которые будут противоположными числами.

ПРИМЕР:

9х² – 64 = 0;

х² = ⁶⁴/₉      

х₁ = ⁸/₃,   х₂ = –⁸/₃.        

ОТВЕТ:

±⁸/₃.    

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

2х² – 32 = 0.

РЕШЕНИЕ:

2х² = 32,  х² = 16, 

х = √͞͞͞͞͞16 = ±4.

ОТВЕТ:

х₁ = 4;  х₂ = –4.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

2х² + 8 = 0.

РЕШЕНИЕ:

х² = –4.

ОТВЕТ:

В области действительных чисел уравнение не имеет решений.

Если коэффициенты  а  и  с  имеют противоположные знаки, то уравнение 

ax² + c = 0 

можно решить и способом разложения на множители.

ПРИМЕР:

4х² – 9 = 0,   

(2х – 3)(2х + 3) = 0;

2х – 3 = 0,    х₁ = ³/₂;

2х + 3 = 0,    х₂ = –³/₂.

ПРИМЕР:

Розв’яжіть рівняння:

2х² = 18.

РЕШЕНИЕ:

х² = 9,  х = ±3.

ПРИМЕР:

Розв’яжіть рівняння:

2х² + 5 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Так как  2х² + 5 > 0  при любых  х, то уравнение

2х² + 5 = 0  не имеет корней.

ПРИМЕР:

Розв’яжіть рівняння:

3х² – 10 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Разделим обе части уравнения на  3, получим:

х² – ¹⁰/₃ = 0, то есть

Значит, либо

Уравнение имеет два корня:

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

25х² + 45 – 24х² + 54 = 90;

х² + 99 = 90;

х² + 9 = 0.

ОТВЕТ:

Уравнение не имеет решений (в области действительных чисел).

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

х ≠ –3,  х ≠ 0,  х ≠ 3.
х = 6.

УРАВНЕНИЕ ВИДА

aх² = 0.

уравнение вида 

ax²  = 0 

равносильно уравнению 

x²  = 0 

и поэтому всегда имеет только один корень  

x  = 0.

ПРИМЕР:

25х² = 0;      

х² = 0;        

х = 0.

ОТВЕТ:  х = 0.

УРАВНЕНИЕ ВИДА

aх² + bx = 0.

Уравнение вида 

ax² + bx = 0 

равносильно уравнению   

x(ax + b) = 0  

и всегда имеет два корня:  

x₁ = 0,   x₂ = –b/a.

Чтобы решить уравнение 

ax² + bx = 0,

то необходимо его левую часть разложить на множители:

х(ax + b) = 0.

Тогда или  х = 0, или 

ax + b = 0, откуда 

х = –^b/_a.

Поэтому, уравнение 

ax² + bx = 0  имеет два корня:

х₁ = 0,   х₂ = –^b/_a.

ПРИМЕР:

3х² – 7х = 0;  

х(3х – 7) = 0;    

х = 0;   3х – 7 = 0;

х₁ = 0,   х₂ = ⁷/₃.   

ОТВЕТ:  0;   ⁷/₃.  

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

х² – 12х = 0.

х(x – 12) = 0,    х₁ = 0.

x – 12 = 0,         х₂ = 12.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

2х² – 5х = 0.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

х(2х – 5) = 0.

Значит, либо  х = 0,

либо  2х – 5 = 0, то есть

х = 2,5.

Уравнение имеет два корня:  0  и  2,5.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

10(х – 2) + 19

= (5х – 1)(1 + 5х).

10х – 20 + 19

= 25х² – 1;

10х – 25х² = 0;

5х(2 – 5х) = 0;    х₁ = 0;

2 – 5х = 0;          х₂ = ²/₅.

ОТВЕТ:  х₁ = 0,  х₂ = ²/₅.       

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

4х² – 6х = 0,

2х(2х – 3) = 0,

х₁ = 0,  х₂ = 1,5.

х ≠ 0,  х ≠ –1.

ОТВЕТ:  х = 1,5

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

(х² – 1)² + ((х – 1)(х – 2))² = 0.

РЕШЕНИЕ:

Очевидно, что

(х² – 1)² ≥ 0  и

((х – 1)(х – 2))² ≥ 0,

а сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю.

Поэтому сначала надо решить уравнения

(х² – 1)² = 0  и

((х – 1)(х – 2))² = 0,

а затем найти их общие корни.

Корнями уравнения  (х² – 1)² = 0  служат числа  1  и  –1, а корнями уравнения  ((х – 1)(х – 2))² = 0 – числа  1  и  2. Общим является число  1 – это корень исходного уравнения.

В том случае, когда нужно найти значения переменной, удовлетворяющие обоим заданным уравнениям, говорят, что задана система уравнений. Для обозначения системы используют фигурную скобку:

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

(х² – 1)(х² – 4) = 0.

РЕШЕНИЕ:

Произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел равно нулю. Поэтому сначала надо решить уравнения

х² – 1 = 0  и  х² – 4 = 0,

а затем объединить их корни.

Корнями первого уравнения являются числа  1  и  –1, а второго – числа  2  и  –2. Значит, 1, –1, 2, –2 – корни исходного уравнения.

Несколько уравнений с одной переменной образуют совокупность уравнений, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое их которых является корнем хотя бы одного из данных уравнений. Для обозначения совокупности иногда используют квадратную скобку.

Задания к уроку 20

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем