Уравнением высшей степени называют каждое алгебраическое
уравнение степени выше второй, т. е. уравнение вида
a0хn + a1xn-1 + …+ an-1x + an = 0.
Свойства уравнений высших степеней.
– всякое алгебраическое уравнение n-й
степени в множестве чисел имеет n корней, среди которых могут быть и равные
друг другу
– всякий многочлен n-й
степени в множестве чисел может быть представлен, и притом единственным
способом, в виде произведения двучленов первой степени;
– если все коэффициенты уравнения целые и коэффициент
при хn равен 1,
то рациональными корнями могут быть только целые числа;
– целые корни уравнения с целыми коэффициентами являются
делителями свободного члена.
В некоторых случаях,
используя приведённые свойства, можно легко решить уравнения высших степеней с
целыми коэффициентами.
Уравнение третьей степени.
Уравнение третьей
степени можно привести к виду:
аx3 +
bx2 +
cx + d = 0,
где x – переменная, a, b, c, d –
некоторые числа, причём а ≠
0.
Уравнение третьей
степени может иметь не более трёх корней.
Уравнение четвёртой степени.
Уравнение четвёртой
степени можно привести к виду:
аx4 +
bx3 +
cx2 +
dх + e = 0,
где x – переменная, a, b, c, d, e – некоторые числа, причём а ≠ 0.
Уравнение четвёртой
степени может иметь не более четырёх корней.
Уравнение пятой,
шестой и т. д. степеней можно легко вывести самостоятельно, следуя приведённой
выше схеме.
Уравнение n –
й степени может иметь не более n корней.
Рассмотрим основные
методы решения уравнений:
Вынесение общего множителя.
Если все члены
многочлена имеют общий множитель, то вынося его за скобки, получим разложение
многочлена на множители;
ПРИМЕР:
Решите уравнение:
x3 –
3x2 +
4x = 0.
РЕШЕНИЕ:
Все слагаемые в левой части уравнения содержат общий множитель х. вынося его за скобки, получим
Все слагаемые в левой части уравнения содержат общий множитель х. вынося его за скобки, получим
х(x2 – 3x +
4) = 0.
Значит, х
= 0 или
x2 –
3x + 4 = 0.
Квадратное уравнение действительных корней не имеет,
поэтому исходное уравнение имеет единственное решение х = 0.
ОТВЕТ:
х = 0.
ОТВЕТ: 0; 2; 3.
ПРИМЕР:
Решите уравнение:
x3 –
5x2 +
6x = 0.
Разложим левую часть уравнения на множители:
х(x2 – 5x +
6) = 0.
Отсюда, х
= 0 или
x2 –
5x + 6 = 0.
Решая квадратное уравнение, получим:
х1 = 2; х2 = 3
ОТВЕТ: 0; 2; 3.
Способ группировки.
Этот способ
применяется чаще всего в сочетании со способом вынесения за скобки общего
множителя, суть его состоит в перегруппировке слагаемых в многочлене таким
образом, чтобы после вынесения общего множителя из каждого слагаемого в данной
группе в скобке получилось выражение, являющееся в свою очередь общим множителем
уже для каждой группы;
ПРИМЕР:
Решить уравнение:
х3 + х2 – 5х – 5
= 0.
РЕШЕНИЕ:
Объединяя в одну группу первое и второе слагаемое, а в другую – третье и четвёртое слагаемые, получим:
Объединяя в одну группу первое и второе слагаемое, а в другую – третье и четвёртое слагаемые, получим:
х3 +
х2 –
5х – 5
= (х3 – 5х) + (х2 – 5)
= х(х2 – 5) + (х2 – 5)
= (х2 – 5)(х + 1).
Поэтому данное уравнение равносильно следующим уравнениям:
х2 – 5
= 0,
х + 1
= 0.
Откуда следует, что
х1,2 = ±√͞͞͞͞͞5,
х3 = –1.
Применение формул сокращённого
умножения.
ПРИМЕР:
Решить уравнение:
(х2 + 2х)2 – (х
+ 1)2 = 0.
РЕШЕНИЕ:
Применяя формулу
Применяя формулу
а2 – b2 = (a – b)(a + b),
имеем:
(х2 + 2х)2 – (х
+ 1)2
= (х2 + 2х
– х – 1)(х2 + 2х
+ х +1)
= (х2 + х – 1)(х2 + 3х +1).
Тогда
данное уравнение равносильно совокупности уравнений:
х2 + х – 1
= 0,
х2 + 3х + 1 = 0,
откуда
получаем:
ПРИМЕР:
РЕШЕНИЕ:
Разложим числитель на множители (по формуле разности кубов):
Отсюда:
Квадратное уравнение
х2 + 3х – 18 = 0
Имеет
корни
х1 = 3 и х2 = –6
(х1 не входит в область допустимых значений).
ОТВЕТ: –6
Выделение полного квадрата.
Иногда многочлен можно разложить на множители, если
воспользоваться сначала методом выделения полного квадрата, а затем, как
правило, формулой разности квадратов;
ПРИМЕР:
Решить уравнение:
х4 –
2x2 –
12х –
8 = 0.
РЕШЕНИЕ:
Прибавим в левой части 2х2 и 1, а для того чтобы уравнение осталось равносильным данному прибавим ещё –2х2 и –1,
Прибавим в левой части 2х2 и 1, а для того чтобы уравнение осталось равносильным данному прибавим ещё –2х2 и –1,
Тогда получим:
х4 –
2x2 + 2x2 –
2x2 –
12х –
8 +1 – 1 = 0.
Сделаем следующую
группировку:
х4 +
2x2 +
1 – 4x2 – 12х – 9
= (x2 + 1)2– (2х
+ 3)2
= (x2 + 1 – 2х – 3)(х2 + 1 + 2х + 3)
= (x2 – 2х – 2)(х2 + 2х + 4).
Полученное уравнение равносильно совокупности двух
уравнений:
x2 –
2х – 2
= 0,
х2 + 2х + 4
= 0.
Второе уравнение этой совокупности действительных решений
не имеет.
ОТВЕТ:
х1,2 =1 ±√͞͞͞͞͞3.
Задания к уроку 33
Другие уроки:
- Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
- Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
- Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
- Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
- Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
- Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
- Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
- Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
- Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
- Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
- Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
- Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
- Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
- Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
- Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
- Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
- Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
- Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
- Урок 19. Теорема Виета
- Урок 20. Неполные квадратные уравнения
- Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
- Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
- Урок 23. Квадратный трёхчлен
- Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
- Урок 25. Дробные рациональные уравнения
- Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
- Урок 27. Уравнение окружности
- Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
- Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
- Урок 30. Пересечение прямой и окружности
- Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
- Урок 32. Системы уравнений с параметрами
- Урок 34. Решение уравнений способом замены
- Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
- Урок 36. Задачи на нахождение чисел
- Урок 37. Задачи на нахождение цифр
- Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
- Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
- Урок 40. Иррациональные уравнения
- Урок 41. Уравнения с модулем
Комментариев нет:
Отправить комментарий