Урок 33. Уравнения высших степеней

вторник, 6 декабря 2016 г.

Урок 33. Уравнения высших степеней

Уравнением высшей степени называют каждое алгебраическое уравнение степени выше второй, т. е. уравнение вида

a₀хⁿ + a₁x^n-1 + …+ a_n-1x + a_n = 0.

Свойства уравнений высших степеней.

– всякое алгебраическое уравнение n-й степени в множестве чисел имеет n корней, среди которых могут быть и равные друг другу

– всякий многочлен n-й степени в множестве чисел может быть представлен, и притом единственным способом, в виде произведения двучленов первой степени;

– если все коэффициенты уравнения целые и коэффициент при х_n равен 1, то рациональными корнями могут быть только целые числа;

– целые корни уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.

В некоторых случаях, используя приведённые свойства, можно легко решить уравнения высших степеней с целыми коэффициентами.

Уравнение третьей степени.

Уравнение третьей степени можно привести к виду:

аx³ + bx² + cx + d = 0,

где x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причём а ≠ 0.

Уравнение третьей степени может иметь не более трёх корней.

Уравнение четвёртой степени.

Уравнение четвёртой степени можно привести к виду:

аx⁴ + bx³ + cx² + dх + e = 0,

где x – переменная, a, b, c, d, e – некоторые числа, причём а ≠ 0.

Уравнение четвёртой степени может иметь не более четырёх корней.

Уравнение пятой, шестой и т. д. степеней можно легко вывести самостоятельно, следуя приведённой выше схеме.

Уравнение n – й степени может иметь не более n корней.

Рассмотрим основные методы решения уравнений:

Вынесение общего множителя.

Если все члены многочлена имеют общий множитель, то вынося его за скобки, получим разложение многочлена на множители;

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

x³ – 3x² + 4x = 0.

РЕШЕНИЕ:

Все слагаемые в левой части уравнения содержат общий множитель х. вынося его за скобки, получим

х(x² – 3x + 4) = 0.

Значит, х = 0 или

x² – 3x + 4 = 0.

Квадратное уравнение действительных корней не имеет, поэтому исходное уравнение имеет единственное решение х = 0.

ОТВЕТ:

х = 0.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

x³ – 5x² + 6x = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

х(x² – 5x + 6) = 0.

Отсюда, х = 0 или

x² – 5x + 6 = 0.

Решая квадратное уравнение, получим:

х₁ = 2; х₂ = 3

ОТВЕТ: 0; 2; 3.

Способ группировки.

Этот способ применяется чаще всего в сочетании со способом вынесения за скобки общего множителя, суть его состоит в перегруппировке слагаемых в многочлене таким образом, чтобы после вынесения общего множителя из каждого слагаемого в данной группе в скобке получилось выражение, являющееся в свою очередь общим множителем уже для каждой группы;

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

х³+ х² – 5х – 5 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Объединяя в одну группу первое и второе слагаемое, а в другую – третье и четвёртое слагаемые, получим:

х³+ х² – 5х – 5

= (х³– 5х) + (х² – 5)

= х(х²– 5) + (х² – 5)

= (х² – 5)(х + 1).

Поэтому данное уравнение равносильно следующим уравнениям:

х² – 5 = 0,

х + 1 = 0.

Откуда следует, что

х_1,2 = ±√͞͞͞͞͞5,

х₃ = –1.

Применение формул сокращённого умножения.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

(х² + 2х)² – (х + 1)² = 0.

РЕШЕНИЕ:

Применяя формулу

а² – b² = (a – b)(a + b),

имеем:

(х² + 2х)² – (х + 1)²

= (х² + 2х – х – 1)(х² + 2х + х +1)

= (х² + х – 1)(х² + 3х +1).

Тогда данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

х² + х – 1 = 0,

х² + 3х + 1 = 0,

откуда получаем:

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Разложим числитель на множители (по формуле разности кубов):

Отсюда:

Квадратное уравнение

х² + 3х – 18 = 0

Имеет корни

х₁ = 3 и х₂ = –6

(х₁ не входит в область допустимых значений).

ОТВЕТ: –6

Выделение полного квадрата.

Иногда многочлен можно разложить на множители, если воспользоваться сначала методом выделения полного квадрата, а затем, как правило, формулой разности квадратов;

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

х⁴ – 2x² – 12х – 8 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Прибавим в левой части 2х² и 1, а для того чтобы уравнение осталось равносильным данному прибавим ещё –2х² и –1,

Тогда получим:

х⁴ – 2x²+ 2x² – 2x² – 12х – 8 +1 – 1 = 0.

Сделаем следующую группировку:

х⁴ + 2x² + 1 – 4x² – 12х – 9

= (x² + 1)²– (2х + 3)²

= (x² + 1 – 2х – 3)(х²+ 1 + 2х + 3)

= (x² – 2х – 2)(х²+ 2х + 4).

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

x² – 2х – 2 = 0,

х²+ 2х + 4 = 0.

Второе уравнение этой совокупности действительных решений не имеет.

ОТВЕТ:

х_1,2 =1 ±√͞͞͞͞͞3.

Задания к уроку 33

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

вторник, 6 декабря 2016 г.