Урок 32. Системы уравнений с параметрами

ПРИМЕР:

Найдите все значения параметра  а, при которых система уравнений имеет ровно четыре решения:

РЕШЕНИЕ:

График второго уравнения – квадрат с вершинами:

(2; 0), (–2; 0),

(0; 2), (0; –2),

так как для  х ≥ 0, у ≥ 0  имеем: 

х + у = 2.

А для других сторон квадрата применим симметрию. График первого уравнения – окружность с центром в начале координат и радиусом  |а|. Имеем:

Система имеет ровно  4  решения, если окружность вписана в квадрат, или когда окружность описана вокруг квадрата. В первом случае:

во втором:

|а| = 2.

ОТВЕТ:

–2,  –√͞2;  √͞2,  2.

ПРИМЕР:

При каких значениях параметра  m  система уравнений не имеет решений ?

РЕШЕНИЕ:

Система не имеет решений, если выполняется соотношение:

Тогда:

Откуда:

m + 1 ≠ 1,  m ≠ 0.

(m + 1)(m – 2) = –2,

m² – m – 2 = –2,

m = 1,  m = 0.

Тогда искомое  m  равно  1.

ПРИМЕР:

При каких значениях параметра  а  система уравнений

имеет бесконечно много решений ?

РЕШЕНИЕ:

Из первого уравнения выражаем  х:

х = –^а/₂ у + ^а/₂ + 1.

Подставляем это выражение во второе уравнение, получаем

(а + 1)(–^а/₂ у + ^а/₂ + 1) + 2ау

= 2а + 4.

Далее умножим обе части уравнения на  2  и упростим его:

(а + 1)(а + 2 – ау) + 4ау

= 4а + 8,

4ау – а(а + 1)у =

4(а + 2) – (а + 1) (а + 2),

уа – (4 – а – 1) =

(а + 2) (4 – а – 1),

у∙ а (3 – а) = (а + 2) (3 – а),

Анализируя последнее уравнение, отметим, что при  а = 3  оно имеет вид

0∙ у = 0,

то есть оно удовлетворяется при любых значениях у.

ОТВЕТ:  3

Задания к уроку 32

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков 
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем