Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени

С помощью систем уравнений удобно решать многие задачи. При решении задач с помощью систем уравнений поступают следующим образом: обозначают некоторые неизвестные числа буквами, используя условие задачи, составляют систему уравнений; решают эту систему; истолковывают результат в соответствии с условием задачи.

ЗАДАЧА:

Для кормления  8  коней и  15  коров отпускали ежедневно  162 кг  сена. Сколько сена ежедневно давали каждому коню и каждой корове, если  5  коней съедают ежедневно сена на  3 кг  больше, чем  7  коров ?

Пусть для коня отпускали ежедневно  х, а для коровы  у  килограммов сена. Тогда из первой части условия получается уравнение:

8х + 15у = 162,

а из другой:

5х – 7у = 3.

Решим систему этих уравнений:

131у = 786,

у = 6.

5х – 42 =3,
х = 9.

ОТВЕТ:

9 кг  и  6 кг  сена.

ЗАДАЧА:

Речной пароход по течению шел со скоростью  16 км/час, а против течения – со скоростью  12 км/час. Определить скорость парохода и скорость течения реки.

РЕШЕНИЕ:

16 – число, выражающее сумму скоростей парохода и течения реки,

12 – число, выражающее разность этих скоростей.

Условие задачи можно записать так:

х – скорость движения парохода,

у – скорость движения воды в речке.

Тогда из первой части условия задачи получается уравнение:

х + у = 16,

а из другой:

х – у = 12.

Решим систему этих уравнений:

х = 16 – у,

(16 – у) – у = 12,

4 = 2у, у = 2.

х = 16 – у = 16 – 2 = 14.

ОТВЕТ:

Скорость парохода  14 км/год, скорость течения реки  2 км/год

ЗАДАЧА:

Вкладчик положил в банк деньги на два разных счета, по одному из которых насчитывали  5%  годовых, а по второму – 4%, и получил через год по двум вкладам  1160 руб  прибыли. Если бы внесенные на разные счета средства поменяли местами, то годовая прибыль составляла бы  1180 руб. Сколько всего денег было положено в банк ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть вкладчик положил  х руб  на первый счет, а на второй – у руб. Через год с первого счета он получил  0,05 руб, а со второго – 0,04 руб  процентных денег, что в сумме составило 1160 руб. Получим уравнение:

0,05х + 0,04у = 1160.

Если внесенные на разные счета средства поменять местами, то получим уравнение:

0,04х + 0,05у = 1180.

Решим систему:

0,09х + 0,09у = 2340,

0,09(х + у) = 2340,

х + у = 26000.

Итак, вкладчик внес в банк  26000 руб.

ОТВЕТ:  26000 руб

ЗАДАЧА:

Два пешехода идут навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми равно  30 км. Если первый выйдет на  2 час  раньше второго, то встреча произойдёт через  2,5 час  после выхода второго. Если же второй пешеход выйдет на  2 час  раньше первого, то встреча произойдёт через  3 час  после выхода первого. С какой скоростью идёт каждый пешеход ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть  х км/час – скорость первого пешехода, а  у км/час – скорость второго пешехода. Если первый выйдет на  2 час  раньше второго, то, согласно условию, он будет идти до встречи  4,5 час, тогда как второй – 2,5 час. За  4,5 час  первый пройдёт путь  4,5х км, а за  2,5 час  второй пройдёт путь  2,5у км. Их встреча означает, что суммарно они прошли путь  30 км, то есть

4,5х + 2,5у = 30 – первое уравнение.

Если второй выйдет на  2 час  раньше первого, то, согласно условию, он будет идти до встречи  5 час, тогда как первый – 3 час. Рассуждая, как и выше, перейдём ко второму уравнению:

3х + 5у = 30.

В итоге получаем систему уравнений:

Умножим на  2  первое уравнение:

9х + 5у = 60,

Вычтем второе уравнение из первого:

9х + 5у – (3х + 5у) = 60 – 30,

9х + 5у – 3х – 5у = 30,

9х  – 3х = 30,  6х = 30,  х = 5.

Найдём  у  из второго уравнения, предварительно подставив вместо  х  число  5:

3 ∙ 5 + 5у = 30,

5у = 30 – 15,  у = 3.

ОТВЕТ:  первый пешеход идёт со скоростью  5 км/час, а второй – 3 км/час.

ЗАДАЧА:

За  5 кг  конфет и  4 кг  печенья заплатили  310 руб. Сколько стоит  1 кг конфет и сколько  1 кг  печенья, если  3 кг  конфет дороже  2 кг  печенья на  76 руб ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть  1 кг  конфет стоит  х руб, а  1 кг  печенья – у руб.

Так как за  5 кг  конфет и  4 кг  печенья заплатили  310 руб, то первое уравнение будет следующим:

5х + 4у = 310,

Если  3 кг  конфет дороже  2 кг  печенья на  76 руб, то второе уравнение будет выглядеть следующим образом:

3х – 2у = 76.

Составим и решим систему уравнений:

Прибавив первое уравнение ко второму, и найдём  х:

11х = 462,

х = 42.

Найдём  у  из второго уравнения, предварительно подставив вместо  х  число  42:

3 ∙ 42 – 2у = 76,

2у = 126 – 76,

2у = 50,

у = 25.

Итак, 1 кг  конфет стоит  42 руб, а  1 кг  печенья – 25 руб.

ОТВЕТ:  42 руб, 25 руб

ЗАДАЧА:

Из деревни  А  в деревню  В, расстояние между которыми равно  70 км, выехал мотоциклист. За  10 мин  до этого навстречу ему из деревни  В  выехал велосипедист, встретившийся с мотоциклистом через  1 час после своего выезда. Найдите скорость каждого из них, если мотоциклист за  2 часа проезжает на  104 км  больше, чем велосипедист за  4 час.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  х км/час – скорость велосипедиста, у км/час – скорость мотоциклиста. Велосипедист до встречи двигался  1 час, мотоциклист – 1 час и 10 мин = ⁵/₆ (час). Они проехали  70 км. Уравнение:

х + ⁵/₆ у = 70,

х + 5у = 420.

За  2 час  мотоциклист проезжает  2у км, а велосипедист за  4 час – 4х км.

Уравнение:

2у – 4х = 104,

у – 2х = 52.

Составим и решаем систему уравнений:

Итак, скорость велосипедиста составляет  10 км/час, мотоциклиста – 72 км/час.

ОТВЕТ:  10 км/час, 72 км/час

ЗАДАЧА:

С первого поля собрали по  40 ц  ячменя с гектара, а со второго – 35 ц  с гектара. Всего было собрано  2600 ц. В следующем году урожайность первого поля увеличилась на  10%, второго – на  20%, а весь урожай увеличился на  400 ц. Найдите площадь каждого поля.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  х га – площадь первого поля, а  у га – площадь второго поля. Тогда с первого поля собрали  40х ц  ячменя, со второго – 35у ц. После увеличения урожайности с первого поля собрали

(40 + 0,1 ∙ 40)х ц,

со второго –

(35 + 0,2 ∙ 35)у ц.

Составим систему уравнений:

Умножим первое уравнение на  –3.

–24х – 21у = –1560.

Сложим оба уравнения и найдём  х:

–24х – 21у + 22х + 21у = –1560 + 1500,

–24х + 22х = –60,  –2х = –60,  х = 30.

Найдём  у  из первого уравнения, предварительно подставив вместо  х  число  30:

8 ∙ 30 + 7у = 520,

7у = 520 – 240,

7у = 280, у = 40.

Следовательно, площадь первого поля составляет  30 га, а второго – 40 га.

ОТВЕТ:  30 га, 40 га

ЗАДАЧА:

Два трактора разных мощностей при совместной работе вспахали за  15 час  ¹/₆  всё поле. Если бы первый трактор работал  12 часов, а второй – 20 часов, то они пахали бы  20%  всего поля. За сколько времени может вспахать все поле каждый трактор отдельно ?

РЕШЕНИЕ:

Площадь поля принимаем за единицу. Пусть первый трактор вспашет все поле за  х час, а второй – за  у час. Тогда производительность первого будет равна  ¹/_х, а второго  ¹/_у. По условию задачи имеем:

От второго уравнения отнимем первое, получим:
60х = 0,5ху,

Подставим во второе уравнение  у = 120, найдём  х:

360 + 5х = 6х,

х = 360.

ОТВЕТ:  360 час, 120 час 

Задания к уроку 15

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем