Уроки математики и физики (RU + UA)

пятница, 16 сентября 2016 г.

Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений

Построение графика квадратичной функции.

ПРИМЕР:

Постройте график функции

у = х2 – 6х – 5.

Пользуясь графиком, найдите:

– множество значений функции,

– промежуток, на котором функция убывает.

РЕШЕНИЕ:

Графиком функции  у = х2 – 6х – 5  будет парабола, ветки которой направлены вниз. Найдём координаты вершины пара
    ув = у(–3) = –9 + 18 – 5 = 4.

Точка  (–3; 4)  будет вершиной данной параболы. Найдём абсциссы точек пересечения графика функции с осью  Ох:

х2 – 6х – 5 = 0,

х1 = 5,  х2 = 1.

Ось ординат график этой функции пересекает в точке  (0; –5). Построим график заданной функции.
Из рисунка видно, что:

 1. Множеством значений функции будет промежуток  (–; 4].

 2. Функция убывает на промежутку  [–3; ).

ОТВЕТ:  (–; 4],  [–3; )

ЗАДАЧА:

Число  60  запишите в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

РЕШЕНИЕ:

Пусть первое число равно  х, тогда второе – 60 – х. Сумма квадратов этих чисел

у = х2 + (60 – х)2 = 2х2120х + 3600.

Графиком этой функции будет парабола, ветки которой направлены вверх.
Поэтому наименьшее значение будет в вершине параболы 
Поэтому, первое число равно  30, а второе –

60 – 30 = 30.

ОТВЕТ:  30  и  30

Графическое решение уравнений.

На практике довольно часто оказывается полезным графический метод решения уравнений. Он заключается в следующем: для решения уравнения  f(x) = 0  строят график функции  у = f(x)  и находят абсциссы точек пересечения графика с осью  х, эти абсциссы и являются корнями уравнения.

Так, для решения уравнения

2 + + c = 0

достаточно построить график квадратичной функции

у = aх2 + + c

и найти абсциссы точек пересечения этого графика с осью  х.

Например, график функции

у = х2 – 6х – 5

пересекает ось  х  в точках  (–5; 0)  и  (–1; 0), значит уравнение

х2 – 6х – 5 = 0

имеет два корня:

х1 = 5,  х2 = 1.

График функции  у = х2 – 4х + 5  не пересекает ось абсцисс, значит, уравнение  х2 – 4х + 5 = 0  не имеет действительных корней.

Чтобы решить графически квадратное уравнение

2 + + c = 0,

необходимо записать его в виде

2 = –c

и построить в одной и той же системе координат графики функций

у = 2  і  у = –c.

Абсциссы точек пересечения графиков и будут корнями уравнения

2 + + c = 0.

Когда графики не имеют общих точек, то уравнение не имеет корней.
Перед тем как графически решать квадратное уравнение, часто бывает удобно поделить все его члены на первый коэффициент.

ПРИМЕР:

Решить графически уравнение:

2х2 + 6х – 5 = 0,

заменим его равносильным уравнением:

х2 + 3х – 2,5 = 0.

Запишем уравнение в виде:

х2 = –3х + 2,5,

Найдём абсциссы точек пересечения параболы

у = х2

и прямой

у = –3х + 2,5.
Приближённое значение корней:

–3,7  и  0,7.

Графический способ решения приведённых квадратных уравнений имеет то преимущество, что, используя одну и ту же параболу, можно решить большое количество уравнений.

Графический способ решения приведённых квадратных уравнений имеет то преимущество, что, используя одну и ту же параболу, можно решить большое количество уравнений.

ПРИМЕР:

Решить графически уравнение:

х2х – 2 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Уравнение целесообразно переписать в виде

х2 = х + 2.

Теперь решение уравнения может быть сведено к нахождению абсцисс точек пересечения графиков функций  у = х2   и  у = х + 2.
На рисунке построены в одной системе координат графики функций  у = х2   и  у = х + 2. Определим абсциссы точек  А  и  В  пересечения этих графиков.

хА = –1, хВ = 2.

Таким образом, заданное уравнение имеет два корня  и  –1,  2.

Построение графиков с помощью квадратных уравнений.

ПРИМЕР:

Постройте график функции:
РЕШЕНИЕ:

Областью определения функции будут все действительные числа, кроме  0  и  2.
= 5(х – 0,2) – (х – 3) =

= 5х – 1 – х + 3 = 4х + 2.

График функции изображен на рисунку.
Это прямая без точек  (2; 10)  и  (0; 2).

ПРИМЕР:

Постройте график функции:
РЕШЕНИЕ:

Областью определения функции будут все действительные числа, кроме  0  и  –1.
= 5(х – 0,2) – (х – 3) =

= 5х – 1 – х + 3 = 4х + 2.

График функции изображен на рисунку.
Это прямая без точек  (–1; –2)  и  (0; 2).

ПРИМЕР:

Постройте график функции:
Пользуясь графиком, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции

РЕШЕНИЕ:

График функции состоит из частей гиперболы  у = 2/х  для  х < –2  и  х ˃ 1, и частей параболы  у = 3 – х2  для  –2 ≤ х ≤ 1.
Функция убывает на промежутках  (; –2]  и  [0; +)  и возрастает на промежутку  [–2; 0).

ПРИМЕР:

Постройте график функции:
Пользуясь графиком, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

РЕШЕНИЕ:

График функции состоит из частей гиперболы  у =– 6/х  для  х < –2, частей параболы   у = х2 – 1  для  –2 ≤ х ≤ 2  и частей гиперболы  у = 6/х  для  х ˃ 2.
Функция убывает на промежутках  [–2; 0]  и  [2; +)  и возрастает на промежутках  (; –2]  и  [0; +).

ПРИМЕР:

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций

у = 4/х  и  у = х – 3.

Начертите графики данных функций и обозначьте найденные точки.

РЕШЕНИЕ:

Координаты точек пересечения найдём из системы:
Откуда:

х – 3 = 4/х,

х(х – 3) = 4,

х2 – 3х – 4 = 0,

х1 = –1, х2 = 4,

у1 = –4, у2 = 1.
ОТВЕТ:  (–1; –4), (4; 1)

ПРИМЕР:

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций

у = 8/х  и  у = х + 2.

Начертите графики данных функций и обозначьте найденные точки.

РЕШЕНИЕ:

Координаты точек пересечения найдём из системы:
Поэтому

х + 2 = 8/х,

х(х + 2) = 8,

х2 + 2х – 8 = 0,

х1 = –4, х2 = 2,

у1 = –2, у2 = 4.
ОТВЕТ:  (–4; –2), (2; 4)

ПРИМЕР:

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций

у = 6/х  и  у = 5 – х.

Начертите графики данных функций и обозначьте найденные точки.

РЕШЕНИЕ:

Координаты точек пересечения найдём из системы:
Поэтому

5 – х = 6/х,

х(5 – х) = 6,

х2 – 5х + 6 = 0,

х1 = 2, х2 = 3,

у1 = 3, у2 = 2.
ОТВЕТ:  (2; 3), (3; 2)

ПРИМЕР:

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций

у = 8/х  и  у = 6 – х.

Начертите графики данных функций и обозначьте найденные точки.

РЕШЕНИЕ:

Координаты точек пересечения найдём из системы:
Откуда:

6 – х = 8/х,

х(6 – х) = 8,

х2 – 6х + 8 = 0,

х1 = 2, х2 = 4,

у1 = 4, у2 = 2.
ОТВЕТ:  (2; 4), (4; 2)

Задания к уроку 22
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий