Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений

Построение графика квадратичной функции.

ПРИМЕР:

Постройте график функции

у = –х² – 6х – 5.

Пользуясь графиком, найдите:

– множество значений функции,

– промежуток, на котором функция убывает.

РЕШЕНИЕ:

Графиком функции  у = –х² – 6х – 5  будет парабола, ветки которой направлены вниз. Найдём координаты вершины пара
    у_в = у(–3) = –9 + 18 – 5 = 4.

Точка  (–3; 4)  будет вершиной данной параболы. Найдём абсциссы точек пересечения графика функции с осью  Ох:

–х² – 6х – 5 = 0,

х₁ = –5,  х₂ = –1.

Ось ординат график этой функции пересекает в точке  (0; –5). Построим график заданной функции.

Из рисунка видно, что:

 1. Множеством значений функции будет промежуток  (–∞; 4].

 2. Функция убывает на промежутку  [–3; ∞).

ОТВЕТ:  (–∞; 4],  [–3; ∞)

ЗАДАЧА:

Число  60  запишите в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

РЕШЕНИЕ:

Пусть первое число равно  х, тогда второе – 60 – х. Сумма квадратов этих чисел

у = х² + (60 – х)² = 2х² – 120х + 3600.

Графиком этой функции будет парабола, ветки которой направлены вверх.

Поэтому наименьшее значение будет в вершине параболы Поэтому, первое число равно  30, а второе –

60 – 30 = 30.

ОТВЕТ:  30  и  30

Графическое решение уравнений.

На практике довольно часто оказывается полезным графический метод решения уравнений. Он заключается в следующем: для решения уравнения  f(x) = 0  строят график функции  у = f(x)  и находят абсциссы точек пересечения графика с осью  х, эти абсциссы и являются корнями уравнения.

Так, для решения уравнения

aх² + bх + c = 0

достаточно построить график квадратичной функции

у = aх² + bх + c

и найти абсциссы точек пересечения этого графика с осью  х.

Например, график функции

у = –х² – 6х – 5

пересекает ось  х  в точках  (–5; 0)  и  (–1; 0), значит уравнение

–х² – 6х – 5 = 0

имеет два корня:

х₁ = –5,  х₂ = –1.

График функции  у = х² – 4х + 5  не пересекает ось абсцисс, значит, уравнение  х² – 4х + 5 = 0  не имеет действительных корней.

Чтобы решить графически квадратное уравнение

aх² + bх + c = 0,

необходимо записать его в виде

aх² = –bх – c

и построить в одной и той же системе координат графики функций

у = aх²  і  у = –bх – c.

Абсциссы точек пересечения графиков и будут корнями уравнения

aх² + bх + c = 0.

Когда графики не имеют общих точек, то уравнение не имеет корней.

Перед тем как графически решать квадратное уравнение, часто бывает удобно поделить все его члены на первый коэффициент.

ПРИМЕР:

Решить графически уравнение:

2х² + 6х – 5 = 0,

заменим его равносильным уравнением:

х² + 3х – 2,5 = 0.

Запишем уравнение в виде:

х² = –3х + 2,5,

Найдём абсциссы точек пересечения параболы

у = х²

и прямой

у = –3х + 2,5.

Приближённое значение корней:

–3,7  и  0,7.

Графический способ решения приведённых квадратных уравнений имеет то преимущество, что, используя одну и ту же параболу, можно решить большое количество уравнений.

Графический способ решения приведённых квадратных уравнений имеет то преимущество, что, используя одну и ту же параболу, можно решить большое количество уравнений.

ПРИМЕР:

Решить графически уравнение:

х² – х – 2 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Уравнение целесообразно переписать в виде

х² = х + 2.

Теперь решение уравнения может быть сведено к нахождению абсцисс точек пересечения графиков функций  у = х²   и  у = х + 2.

На рисунке построены в одной системе координат графики функций  у = х²   и  у = х + 2. Определим абсциссы точек  А  и  В  пересечения этих графиков.

х_А = –1, х_В = 2.

Таким образом, заданное уравнение имеет два корня  и  –1,  2.

Построение графиков с помощью квадратных уравнений.

ПРИМЕР:

Постройте график функции:

РЕШЕНИЕ:

Областью определения функции будут все действительные числа, кроме  0  и  2.

= 5(х – 0,2) – (х – 3) =

= 5х – 1 – х + 3 = 4х + 2.

График функции изображен на рисунку.

Это прямая без точек  (2; 10)  и  (0; 2).

ПРИМЕР:

Постройте график функции:

РЕШЕНИЕ:

Областью определения функции будут все действительные числа, кроме  0  и  –1.

= 5(х – 0,2) – (х – 3) =

= 5х – 1 – х + 3 = 4х + 2.

График функции изображен на рисунку.

Это прямая без точек  (–1; –2)  и  (0; 2).

ПРИМЕР:

Постройте график функции:

Пользуясь графиком, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции

РЕШЕНИЕ:

График функции состоит из частей гиперболы  у = ²/_х  для  х < –2  и  х ˃ 1, и частей параболы  у = 3 – х²  для  –2 ≤ х ≤ 1.

Функция убывает на промежутках  (–∞; –2]  и  [0; +∞)  и возрастает на промежутку  [–2; 0).

ПРИМЕР:

Постройте график функции:

Пользуясь графиком, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

РЕШЕНИЕ:

График функции состоит из частей гиперболы  у =– ⁶/_х  для  х < –2, частей параболы   у = х² – 1  для  –2 ≤ х ≤ 2  и частей гиперболы  у = ⁶/_х  для  х ˃ 2.

Функция убывает на промежутках  [–2; 0]  и  [2; +∞)  и возрастает на промежутках  (–∞; –2]  и  [0; +∞).

ПРИМЕР:

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций

у = ⁴/_х  и  у = х – 3.

Начертите графики данных функций и обозначьте найденные точки.

РЕШЕНИЕ:

Координаты точек пересечения найдём из системы:

Откуда:

х – 3 = ⁴/_х,

х(х – 3) = 4,

х² – 3х – 4 = 0,

х₁ = –1, х₂ = 4,

у₁ = –4, у₂ = 1.

ОТВЕТ:  (–1; –4), (4; 1)

ПРИМЕР:

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций

у = ⁸/_х  и  у = х + 2.

Начертите графики данных функций и обозначьте найденные точки.

РЕШЕНИЕ:

Координаты точек пересечения найдём из системы:

Поэтому

х + 2 = ⁸/_х,

х(х + 2) = 8,

х² + 2х – 8 = 0,

х₁ = –4, х₂ = 2,

у₁ = –2, у₂ = 4.

ОТВЕТ:  (–4; –2), (2; 4)

ПРИМЕР:

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций

у = ⁶/_х  и  у = 5 – х.

Начертите графики данных функций и обозначьте найденные точки.

РЕШЕНИЕ:

Координаты точек пересечения найдём из системы:

Поэтому

5 – х = ⁶/_х,

х(5 – х) = 6,

х² – 5х + 6 = 0,

х₁ = 2, х₂ = 3,

у₁ = 3, у₂ = 2.

ОТВЕТ:  (2; 3), (3; 2)

ПРИМЕР:

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций

у = ⁸/_х  и  у = 6 – х.

Начертите графики данных функций и обозначьте найденные точки.

РЕШЕНИЕ:

Координаты точек пересечения найдём из системы:

Откуда:

6 – х = ⁸/_х,

х(6 – х) = 8,

х² – 6х + 8 = 0,

х₁ = 2, х₂ = 4,

у₁ = 4, у₂ = 2.

ОТВЕТ:  (2; 4), (4; 2)

Задания к уроку 22

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем