Уроки математики и физики (RU + UA)

суббота, 22 октября 2016 г.

Урок 27. Уравнение окружности

Каждое уравнение с двумя переменными  х  и  у  определяет некоторое множество пар  (х; у)  значений переменных, которые являются решениями этого уравнения, т. е. задаёт некоторое отношение между значениями переменной  х  и значениями переменной  у. График отношения, заданного уравнением с двумя переменными, или, короче, график уравнения с двумя переменными, есть, как известно, множество точек плоскости, координаты которых служат решениями уравнения. Мы знаем, что графиком уравнения вида  ax + by = c, где  a 0  или  b 0, служит прямая линия, график уравнения вида  

y = ax2 + bx + c (a 0)   

парабола, график уравнения вида  

xy = k

гипербола.

На рисунку изображён график уравнения 

х2 + 9у2 = 81.

Кривая такого вида называется эллипсом.
Графиком уравнения

(xa)2 + (yb)2 = r2

является окружность на координатной плоскости  хОу  с центром в точке  О’(a; b)  и радиусом  r (r > 0).
Уравнением фигуры на плоскости  в декартовых координатах называется уравнение с двумя переменными  х  и  у, которые будут координатами любой точки фигуры. И наоборот: любые два числа, которые будут решением этого уравнения, будут координатами некоторой точки фигуры.
Составим уравнение окружности с центром в точке  А0(а; b)  и радиусом  R.
Возьмём произвольную точку  А(х; у)  на окружности. Расстояние от неё до центра  А0  равно  R. Квадрат расстояния от точки  А  до  А0  равен:

(хa)2 + (уb)2.

Таким образом, координаты  х, у  каждой точки  А  окружности будут корнями уравнения:

(хa)2 + (уb)2 = R2.

Наоборот: любая точка  А, координаты которой будут решениями уравнения, принадлежат окружности, так как расстояние от неё до точки  А0  равно  R. Отсюда вытекает, что это уравнение будет уравнением окружности с центром  А0  и радиусом  R.
Обратите внимание, что когда центром окружности будет начало координат, то уравнение окружности имеет вид:

х2 + у2 = R2.

ПРИМЕР:

Какая геометрическая фигура задано уравнением ?

х2 + у2 + ах + bу + с = 0.
РЕШЕНИЕ:
видим, что искомая фигура – окружность с центром
ПРИМЕР:

Построить график уравнения:

х2 + у2 = 16.

Перепишем уравнение в виде

(х – 0)2 + (у – 0)2 = 42.

Графиком этого уравнения является окружность с центром в точке  О(0; 0)  и радиусом  4.

ПРИМЕР:

Построить график уравнения:

(х – 1)2 + (у – 2)2 = 9.

Перепишем уравнение в виде

(х – 1)2 + (у – 2)2 = 32.

Графиком этого уравнения является окружность с центром в точке  (1; 2)  и радиусом  3.

ПРИМЕР:

Построить график уравнения:

х2 + у2 + 4х = 0.

Перепишем уравнение в виде

х2 + 4х + 4 + у2 = 4,
(х + 2)2 + у2 = 4,
(х (2))2 + (у – 0)2 = 22,

Графиком этого уравнения является окружность с центром в точке  (–2; 0)  и радиусом  2.

От графиков функций необходимо отличать графики уравнений.

ПРИМЕР:

На координатной плоскости изображена окружность радиусом  r = 5  с центром в начале координат. Уравнение этой окружности:

х2 + у2 = 25.

Можно сказать и так: графиком уравнения 

х2 + у2 = 25 

будет окружность, изображённая на рисунку.
А можно график уравнения 

х2 + у2 = 25 

считать графиком некоторой функции ? Нет. Если переменные  х  и  у  связаны соотношением 

х2 + у2 = 25,

то одному значению  х = 3  соответствует два разных значения переменной  у:  4  и  –4. А соотношение между переменными  х  и  у  только тогда считается функцией, когда каждому значению  х  из области определения соответствует одно значение  у. График уравнения только тогда будет графиком некоторой функции, если каждая прямая, параллельная оси  у, пересекает его не больше чем в одной точке.
ПРИМЕР:

Изображённые на рисунке полуокружности – графики функций
Их объединение – вся окружность – график не функции, а уравнения  

у2 = 25 – х2, или 
у2 + х2 = 25.

ПРИМЕР:

Составьте уравнение окружности, диаметр которой будет отрезок  CD, если

C(–3; 3), D(1; 7).

РЕШЕНИЕ:

О(–1; 5).

СО2 = (–1 + 3)2 + (5 – 3)2 = 8.

(х + 1)2 + (у – 5)2 = 8.
ПРИМЕР:

Напишите уравнение окружности с центром в точке

О(2; –1)

и радиусом равным  3.

РЕШЕНИЕ:

(х – 2)2 + (у – (–1))2 = 32,

(х – 2)2 + (у + 1)2 = 9.

ПРИМЕР:

Составьте уравнение окружности, диаметр которой будет отрезок  МК, если

М(–3; 4), К(5; 10).

РЕШЕНИЕ:

О(хо; у0).
О(1; 7).
СО2 = (–1 + 3)2 + (5 – 3)2 = 8.

(х – 1)2 + (у – 7)2 = 25.

ПРИМЕР:

Дано уравнение окружности

 (х + 7)2 + (у – 4)2 = 16.

Найдите радиус окружности

РЕШЕНИЕ:

(х + 7)2 + (у – 4)2 = 42, R = 4.

ПРИМЕР:

Напишите уравнение окружности, изображённой на рисунке.
РЕШЕНИЕ:

О(2; –2),  R = 2, тому

(х 2)2 + (у – (–2))2 = 22,

(х 2)2 + (у + 2)2 = 4.

Задания к уроку 27
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий