Уроки математики и физики (RU + UA)

понедельник, 24 октября 2016 г.

Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными

Решить систему уравнений с двумя переменными значит найти множество пар значений переменных, которые обращают в истинное равенство каждое уравнение системы.

Другими словами, решить систему уравнений – значит найти пересечение множеств решений уравнений, входящих в эту систему.

Система двух уравнений, из которых одно – линейное.

В общем виде эта система уравнений записывается так:
Удобно решать её способом подстановки. Для этого достаточно из второго (линейного) уравнения выразить одно неизвестное через другое  и найденное выражение подставить в первое уравнение. В результате получим квадратное уравнение, решив которое, найдём значение одного из неизвестных. Потом, подставив это значение неизвестного в любое из данных уравнений (лучше в линейное), получим соответственно значение другого неизвестного.

ПРИМЕР:

Решите систему:
Из второго уравнения находим:

х = 2у – 5.

Подставляем в первое:

2(2у – 5)2 + 15(2у – 5)у + 4y2 + 43(2у – 5) + 24y + 7 = 0.

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим:

42y2 – 5у – 158 = 0,

Откуда:
Из равенства  х = 2у – 5  найдём:

х1 = –1,
ПРИМЕР:

Решить систему уравнений.
Выразив из линейного уравнения 

х + 2у = 1 

переменную  х  через  у  и подставив выражение 

1 – 2у 

вместо  х  в первое уравнение системы, получим систему, равносильную первоначальной

(12у)23(1–2у)у – 2у2 + 5(1–2у)7у + 10 =
1 – 4у + 4у23у + 6у22у2+5 – 10у7у +10 =
8у2– 24у + 16 = 8(у2– 3у + 2).
8(у2– 3у + 2) = 0.
Из квадратного уравнения 

у23у + 2 = 0 

находим, что  у = 1  или  у = 2. Отсюда:
Следовательно,
ОТВЕТ:

(1; 1),  (3; 2).  

Однако много систем такого вида можно решать также другими способами.
ПРИМЕР:
Значения  х  и  у  можно рассматривать как корни квадратного уравнения:

z25z + 4 = 0.

Получаем  z1 = 1, z2 = 4. Оба уравнения системы симметричны относительно  х  и  у, поэтому получим две пары решений: если одно решение  х1 = 1, у1 = 4, то другое, наоборот, х2 = 4, у2 = 1.

ПРИМЕР:
Систему запишем в виде:
Тогда  х  и  у  будут корнями квадратного уравнения:

z 27z – 18 = 0.

Получим  z1 = 9, z2 = –2.
Тогда  х1 = 9, –у1 = –2,
или  х1 = 9, у1 = 2  и   
х2 = –2, –у2 = 9,
или  х2 = –2, у2 = –9.

ПРИМЕР:

Среди решений  (х; у)  системы найти то, для которого сумма

(х + у) 

максимальна. Вычислить значение этой суммы:
РЕШЕНИЕ:

Из первого уравнения получаем

у = 7 – 2х.

Подставляя значение  у  во второе уравнение, получаем систему уравнений
Квадратное уравнение

–2х2 + 7х – 6 = 0

имеет корни

х1 = 2,  х2 = 1,5.

Из первого уравнения получаем

у1 = 3,  у2 = 4.

Решения имеют вид

(2; 3)  и  (1,5; 4).

Наибольшая сумма

х + у = 1,5 + 4 = 5,5.

ОТВЕТ:  5,5
Возведём первое уравнение в квадрат и отнимем от него второе. Получим:

2ху = а2 – b

откуда следует:
Получается система, которая решается вышеприведённым способом:
Эта система решается по членным делением первого уравнения на второе. В результате данная система заменяется равнозначной:
то есть приводится к решению линейной системы с двумя неизвестными.

Система двух уравнений, из которых каждое второй степени.

Система двух уравнений второй степени с двумя неизвестными имеет вид:
Такая система в общем виде не решается элементарно, так как она сводится к полному уравнению четвертой степени.
Рассмотрим некоторые отдельные виды систем, которые решаются элементарно.

ПРИМЕР:
Подставив в первое (или во второе) уравнение  ху = 20, получим 

х + у = 9.

Тогда из системы уравнений:
Получим:

х1 = 5, у1 = 4  и   
х2 = 4, у2 = 5.

Иногда системы решаются способом разложением левой части одного из уравнений на множители, если его правая часть равна нулю.

ПРИМЕР:
Тогда:

(х – 2)(у – 1) = 0, или  
х – 2 = 0, или  
у – 1 = 0.

Тогда, система сводится до решения двух систем уравнений:
ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:
РЕШЕНИЕ:

Обозначим

a = x + y,
b = xy.

Получим систему уравнений
или
Отсюда
Возвращаясь к переменным  х  и  у, получаем
Решим эту систему:
y2 – 3у + 2= 0,
х1 = 2, у1 = 1  и   
х2 = 1, у2 = 2.

ОТВЕТ:  (2; 1), (1; 2)

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:
РЕШЕНИЕ:

Разложим левые части уравнений на множители:
Выразив из второго уравнения  (х ≠ 0)

ху = 3/х,

то есть

у х = 3/х,

и подставив его в первое уравнение, получим
откуда
Подставив значение  у  во второе уравнение последней системы, имеем:

–3х2 = –3,
х1 = 1, х2 = –1,  

тогда

у1 = 4, у2 = –4.

ОТВЕТ:  (1; 4), ( –1; –4)

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления.

Методы умножения и деления при решении систем уравнений основаны на следующем утверждении.

Если обе части уравнения

f2(x; y) = g2(x; y)

ни при каких значениях  (х; у)  одновременно не обращаются в нуль, то системы
равносильны.

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:
РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим первое уравнение. Левая его часть обращается в  0  при  у = 0. Если  у = 0, то правая часть обращается в  0  при  х = 0. Но при  х = 0  левая часть не имеет смысла. Значит, нет таких пар  (х; у), при которых обе части первого уравнения системы одновременно обращаются в  0. Поэтому можно заменить первое уравнение произведением обоих уравнений системы, оставив второе уравнение системы без изменений.

Получим:
Преобразовав первое уравнение этой системы, получим:

8 = (х + у) – (ху),

то есть  у = 4.

Подставив найденное значение  у  во второе уравнение системы, получим:
Решим это иррациональное уравнение:
х2 = 25,

х1 = 5,  х2 = –5.

Второе значение не удовлетворяет уравнению
то есть является посторонним корнем. Значит, система имеет одно решение:
ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:
РЕШЕНИЕ:

Ни при каких значениях  (х; у)  обе части второго уравнения системы не обращаются в нуль одновременно. Значит, можно применить метод деления, перейдя от заданной системы к системе:
Из второго уравнения этой системы находим:
4х – 4у = х + у,

3х = 5у,

Подставим найденное выражение  у  через  х  в первое уравнение системы, получим:

(х3/5 х) х 3/5 х = 30,

и далее

6/25 х3 = 30,

х3 = 125,

х3 = 5.

Из уравнения
Находим, что если  х = 5, то  у = 3.

Итак, (5; 3) – решение системы.

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:
РЕШЕНИЕ:
у1 = –4,  у2 = 2,

х1 = –2,  х2 = 4.

ОТВЕТ:  (–2; –4), (4; 2)

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:
РЕШЕНИЕ:
х = 3,  у = 1,

ОТВЕТ:  (3; 1)

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:
РЕШЕНИЕ:
х = 6,  у = 3,

ОТВЕТ:  (6; 3)

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:
РЕШЕНИЕ:
х = –2,  у = –4,

ОТВЕТ:  (–2; –4)

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:
РЕШЕНИЕ:
х1 = –2,  у1 = –3,

х2 = –1/2,  у2 = –71/2.

ОТВЕТ:  (–2; –3),  (–1/2; –71/2)

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:
РЕШЕНИЕ:
х1 = –1,  у1 = –5,

х2 = 5,  у2 = 1.

ОТВЕТ:  (–1; –5),  (5; 1)

Задания к уроку 28
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий