Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными

Решить систему уравнений с двумя переменными значит найти множество пар значений переменных, которые обращают в истинное равенство каждое уравнение системы.

Другими словами, решить систему уравнений – значит найти пересечение множеств решений уравнений, входящих в эту систему.

Система двух уравнений, из которых одно – линейное.

В общем виде эта система уравнений записывается так:

Удобно решать её способом подстановки. Для этого достаточно из второго (линейного) уравнения выразить одно неизвестное через другое и найденное выражение подставить в первое уравнение. В результате получим квадратное уравнение, решив которое, найдём значение одного из неизвестных. Потом, подставив это значение неизвестного в любое из данных уравнений (лучше в линейное), получим соответственно значение другого неизвестного.

ПРИМЕР:

Решите систему:

Из второго уравнения находим:

х = 2у – 5.

Подставляем в первое:

2(2у – 5)² + 15(2у – 5)у + 4y² + 43(2у – 5) + 24y + 7 = 0.

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим:

42y² – 5у – 158 = 0,

Откуда:

Из равенства х = 2у – 5 найдём:

х₁ = –1,

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений.

Выразив из линейного уравнения

х + 2у = 1

переменную х через у и подставив выражение

1 – 2у

вместо х в первое уравнение системы, получим систему, равносильную первоначальной

(1– 2у)²– 3(1–2у)у – 2у² + 5(1–2у) – 7у + 10 =

1 – 4у + 4у²– 3у + 6у²– 2у²+5 – 10у – 7у +10 =

8у²– 24у + 16 = 8(у²– 3у + 2).

8(у²– 3у + 2) = 0.

Из квадратного уравнения

у² – 3у + 2 = 0

находим, что у = 1 или у = 2. Отсюда:

Следовательно,

ОТВЕТ:

(–1; 1), (–3; 2).

Однако много систем такого вида можно решать также другими способами.

ПРИМЕР:

Значения х и у можно рассматривать как корни квадратного уравнения:

z² – 5z + 4 = 0.

Получаем z₁ = 1, z₂ = 4. Оба уравнения системы симметричны относительно х и у, поэтому получим две пары решений: если одно решение х₁ = 1, у₁ = 4, то другое, наоборот, х₂ = 4, у₂ = 1.

ПРИМЕР:

Систему запишем в виде:

Тогда х и у будут корнями квадратного уравнения:

z² – 7z – 18 = 0.

Получим z₁ = 9, z₂ = –2.

Тогда х₁ = 9, –у₁ = –2,

или х₁ = 9, у₁ = 2 и

х₂ = –2, –у₂ = 9,

или х₂ = –2, у₂ = –9.

ПРИМЕР:

Среди решений (х; у) системы найти то, для которого сумма

(х + у)

максимальна. Вычислить значение этой суммы:

РЕШЕНИЕ:

Из первого уравнения получаем

у = 7 – 2х.

Подставляя значение у во второе уравнение, получаем систему уравнений

Квадратное уравнение

–2х² + 7х – 6 = 0

имеет корни

х₁ = 2, х₂ = 1,5.

Из первого уравнения получаем

у₁ = 3, у₂ = 4.

Решения имеют вид

(2; 3) и (1,5; 4).

Наибольшая сумма

х + у = 1,5 + 4 = 5,5.

ОТВЕТ: 5,5

Возведём первое уравнение в квадрат и отнимем от него второе. Получим:

2ху = а² – b,

откуда следует:

Получается система, которая решается вышеприведённым способом:

Эта система решается по членным делением первого уравнения на второе. В результате данная система заменяется равнозначной:

то есть приводится к решению линейной системы с двумя неизвестными.

Система двух уравнений, из которых каждое второй степени.

Система двух уравнений второй степени с двумя неизвестными имеет вид:

Такая система в общем виде не решается элементарно, так как она сводится к полному уравнению четвертой степени.

Рассмотрим некоторые отдельные виды систем, которые решаются элементарно.

ПРИМЕР:

Подставив в первое (или во второе) уравнение ху = 20, получим

х + у = 9.

Тогда из системы уравнений:

Получим:

х₁ = 5, у₁ = 4 и

х₂ = 4, у₂ = 5.

Иногда системы решаются способом разложением левой части одного из уравнений на множители, если его правая часть равна нулю.

ПРИМЕР:

Тогда:

(х – 2)(у – 1) = 0, или

х – 2 = 0, или

у – 1 = 0.

Тогда, система сводится до решения двух систем уравнений:

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:

РЕШЕНИЕ:

Обозначим

a = x + y,

b = xy.

Получим систему уравнений

или

Отсюда

Возвращаясь к переменным х и у, получаем

Решим эту систему:

y² – 3у + 2= 0,

х₁ = 2, у₁ = 1 и

х₂ = 1, у₂ = 2.

ОТВЕТ: (2; 1), (1; 2)

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:

РЕШЕНИЕ:

Разложим левые части уравнений на множители:

Выразив из второго уравнения (х ≠ 0)

х – у = –³/_х,

то есть

у – х = ³/_х,

и подставив его в первое уравнение, получим

откуда

Подставив значение у во второе уравнение последней системы, имеем:

–3х² = –3,

х₁ = 1, х₂ = –1,

тогда

у₁ = 4, у₂ = –4.

ОТВЕТ: (1; 4), ( –1; –4)

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления.

Методы умножения и деления при решении систем уравнений основаны на следующем утверждении.

Если обе части уравнения

f₂(x; y) = g₂(x; y)

ни при каких значениях (х; у) одновременно не обращаются в нуль, то системы
равносильны.

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:
РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим первое уравнение. Левая его часть обращается в 0 при у = 0. Если у = 0, то правая часть обращается в 0 при х = 0. Но при х = 0 левая часть не имеет смысла. Значит, нет таких пар (х; у), при которых обе части первого уравнения системы одновременно обращаются в 0. Поэтому можно заменить первое уравнение произведением обоих уравнений системы, оставив второе уравнение системы без изменений.

Получим:

Преобразовав первое уравнение этой системы, получим:

8 = (х + у) – (х – у),

то есть у = 4.

Подставив найденное значение у во второе уравнение системы, получим:

Решим это иррациональное уравнение:

х² = 25,

х₁ = 5, х₂ = –5.

Второе значение не удовлетворяет уравнению
то есть является посторонним корнем. Значит, система имеет одно решение:

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:

РЕШЕНИЕ:

Ни при каких значениях (х; у) обе части второго уравнения системы не обращаются в нуль одновременно. Значит, можно применить метод деления, перейдя от заданной системы к системе: