Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков

Графическое решение систем полезно проводить параллельно с алгебраическим решением.

ПРИМЕР:

Постройте график, найдите координаты точек пересечения графиков функций

у = х + 6  и

у = 2х² – 3х + 6.

РЕШЕНИЕ:

Графический способ.

Построим оба графика в одной координатной плоскости.

Из графика видно, что их точками пересечения будут следующие точки:

(0; 6), (2; 8).

Аналитический способ.

Координаты точек пересечения найдем из системы:

Откуда:

х + 6 = 2х² – 3х + 6,

2х² – 4х = 0,

2х(х – 2) = 0,

х₁ = 0,  х₂ = 2,

у₁ = 6,  у₂ = 8.

ОТВЕТ:  (0; 6), (2; 8)

ПРИМЕР:

На каких условиях две окружности с радиусами  a  и  b  и расстоянием между центрами  c  пересекаются ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть  О  и  О₁ – центры окружности. Возьмём точку  О  за начало декартовой системы координат, а полу прямую  ОО₁ – за положительную полуось  х. Уравнениями окружности будут:

х² + у² = а², 

(х – с)² + у² = b²

Если окружности пересекаются, то координаты  х, у  точки пересечения удовлетворяют два уравнения. И наоборот, если система уравнений имеет решение, то есть когда существуют  х  и  у, которые удовлетворяют оба два уравнения, то они будут координатами точки пересечения окружностей. Количество точек пересечения окружностей, если они пересекаются, равно количеству решений системы.

Решим систему уравнений. Для этого сначала почленно вычтем уравнения, получим:

2сх – с² = а² – b²

Откуда:

Подставив это значение  х  в первое уравнения, имеем:

откуда:

Преобразуем правую часть равенства как разность квадратов. Получим:

Откуда видно, что если  а + с > 0, а + b > 0  и  b + с > 0  правая часть равенства положительная, а поэтому, система имеет решения. Причём таких решений будет два, то есть окружности пересекаются в двух точках.

Если хотя бы один из множителей  а + с – b, b + а – с, b – а + с   равен нулю, то система имеет одно решение, то есть окружности касаются.

Если же один из множителей в правой части отрицательный, то система не имеет решений и окружности не пересекаются.

Два множителя не могут быть отрицательными, поскольку тогда их сумма отрицательна, а она всегда положительная.

Когда    а + с – b < 0  и  b + а – с < 0, то их сумма  (а + с – b) + (b + а – с) = 2а < 0, что невозможно. Так же будет и в других случаях.

Таким образом:

– если одно из чисел  а, b, с  больше суммы двух других, то окружности не пересекаются;

– если одно из этих чисел равно сумму двух других, то окружности касаются;

– если каждое из этих чисел  меньше чем сумма двух других, то окружности пересекаются в двух точках.

Графический метод решения уравнений.

Не каждый график уравнения будет графиком функции. Однако и графики уравнений, и графики функций можно использовать для решения систем уравнений с двумя переменными.

С графическим методом решения уравнения  f(x) = g(x)  связан функциональный метод решения уравнения, основанный на том, что если одна из функций  y = f(x)  и  y = g(x)  возрастает, а другая убывает, то уравнение  f(x) = g(x)  либо не имеет корней, либо имеет единственный корень.

Чтобы графически решить уравнение

f(x) = g(x),

следует построить графики функций  y = f(x)  и  y = g(x)  и найти абсциссы точек пересечения построенных графиков.

ПРИМЕР:

Решить графически уравнение:

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ:  х = 0

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

√͞͞͞͞͞x  = |х – 2|.

РЕШЕНИЕ:

Построим в одной системе координат график функции  у = √͞͞͞͞͞x  и  у = |х – 2|.

График функции  у = √͞͞͞͞͞x    изображён на рисунке.

Чтобы построить график функции  у = |х – 2|, рассмотрим два случая:

если  х ≥ 2, то  х – 2 ≥ 0  и потому  |х – 2| = х – 2,

если же  х < 2, то  х – 2 < 0  и потому  |х – 2|= 2 – х. Таким образом, запись  у = |х – 2|  эквивалентна записи:

На рисунке

оба графика изображены в одной системе координат. Они пересекаются в двух точках с абсциссами  х₁= 1, х₂ = 4. Это два корня данного уравнения.

ПРИМЕР:

Решите графически систему уравнений:

РЕШЕНИЕ:

y² + x² = 4 – уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом  R = 2,

у = х – 2 – уравнение прямой.

Координаты точек пересечения:

(2; 0), (0; –2)

ОТВЕТ:  (2; 0), (0; –2)

ПРИМЕР:

Решите графически систему уравнений:

РЕШЕНИЕ:

Графиком функции  у =  x² – 4  будет парабола, полученная из параболы  у = x²  перемещением на  4 единицы вниз. Графиком функции  2х + у = –1  будет прямая, уравнение которой   у = –2х  –1.

Графики пересекаются в точках:

(–3; 5), (1; –3).

ОТВЕТ:  (–3; 5), (1; –3)

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:

РЕШЕНИЕ:

График первого уравнения – окружность, второго – гипербола  (график функции  у = ¹²/_х). Построив эти графики в одной системе координат, находим координаты точек их пересечения:

А(3; 4);  В(4; 3);  

С(–3; –4);  D(–4; –3).

Проверка показывает, что найдены четыре пары чисел не приближённые решения системы уравнений, а точные. Имеем ответ:

х₁ = 3;  у₁ = 4;  

х₂ = 4;  у₂ = 3;  

х₃ = –3;  у₃ = –4;  

х₄ = –4;  у₄ = –3.

ПРИМЕР:

Решите систему уравнений:

РЕШЕНИЕ:

В этой системе первое уравнение будет уравнением окружности радиуса    з центром в начале координат. Другое уравнение системы записывается  в следующем виде:

х² – у² = 0,

(х + у)(х – у) = 0,

х + у = 0, или

х – у = 0.

График уравнения:

х² – у² = 0,

будет пара прямых:

у = х,

у = –х.

Пересечение этого множества с окружностью состоит из четырёх точек:

(1; 1),  (1; –1), 

(–1; 1),  (–1; –1).

ПРИМЕР:

Решить графически систему уравнений:

РЕШЕНИЕ:

Для этого строим графики каждого из уравнений системы.

График первого уравнения – парабола, расположенная симметрично оси  у, с вершиной в начале координат.

График второго уравнения – прямая, проходящая через начало координат, причём коэффициент  3  характеризует величину данной прямой и положительным направлением оси  х.

Координаты точек пересечения графиков есть решения данной системы. В данном случае графики пересекаются в двух точках, координаты которых:

х₁ = 0,  у₁ = 0;

х₂ = 3,  у₂ = 9.

ПРОВЕРКА:

Решим данную систему алгебраически.

Подставим в первое уравнение второе,

x² – у = x² – 3х

= х(х – 3) = 0.

Получим:

х₁ = 0,  х₂ = 3,

тогда:

у₁ = 0,  у₂ = 9.

Задания к уроку 31

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем