Урок 35. Решение систем уравнений способом замены

ПРИМЕР:

Решите систему:

РЕШЕНИЕ:

Умножим обе две части второго уравнения на  2  и сложим с первым:

х² + у² + 2ху + 2(х + у) = 24.

Обозначим  х + у = z, тогда 

z²+ 2z – 24 = 0,

откуда

z₁ = –6,  z₂ = 4. 

Получим две системы:

Которые имеют два решения:

х₁ = 1,  у₁ = 3;  

х₂ = 3,  у₂ = 1.

ПРИМЕР:

Решите систему:

РЕШЕНИЕ:

Сравняем модули свободных членов:

и сложим полученные уравнения:                                          

5х² – 19ху + 12у² = 0.

Так как  у ≠ 0, то поделим обе две части этого уравнения на  у²;

Обозначив

получим уравнение:

5u² – 19u + 12 = 0.

Откуда  

u₁ = 3, u₂ = ⁴/₅ .

Тогда, 

х = 3у  и  х = ⁴/₅ у.

Подставив значение  х = 3у  в одно из данных уравнений, например во второе, получим  

у² = 3, у = ±√͞͞͞͞͞3, 

откуда  х = ± 3√͞͞͞͞͞3. 

Если взять  х = ⁴/₅ у, то получим  

х = ± 4;  у = ± 5.

ОТВЕТ:

х₁ = 3√͞͞͞͞͞3,  у₁ =√͞͞͞͞͞3;  

х₂ = –3√͞͞͞͞͞3,  у₂ = –√͞͞͞͞͞3;

х₃ = 4,  у₃ = 5;  

х₄ = –4,  у₄ = –5.

ПРИМЕР:

Решите систему:

РЕШЕНИЕ:

Введём замену:

х + у = t,  xy = z.

преобразуем левую часть первого уравнения:

х⁴ + у⁴ = х⁴ + 2х²у² + у⁴ – 2х²у²

= (х² + у²)² – 2z²

= (х² + 2ху + у² – 2ху)² – 2z²

= ((х + у)² – 2z)² – 2z²

= (t² – 2z)² – 2z² = t⁴ – 4t²z + 2z².

Тогда получим:

Откуда первое уравнение можно переписать так:

t⁴ – 4t² × 2t + 2 × (2t)² = 17t²,

t⁴ – 8t³ – 9t² = 0,

t²(t² – 8t – 9) = 0,

которое имеет решения

t₁ = 0,  t₂ = –1;   t₃ = 9.

Из равенства

z  = 2t

получаем, что

z₁ = 0,  z₂ = –2;   z₃ = 18.

Тогда получим три системы:

Решением будет:

(0; 0).

Решением будет:

(1; –2),  (–2; 1).

Решением будет:

(3; 6),  (6; 3).

ОТВЕТ:

(0; 0),  (1; –2),  (–2; 1), 

(3; 6),  (6; 3).

Случай, когда неизвестные входят в виде дробей  ¹/_х; ¹/_у  . . .  . 

ПРИМЕР:

Решите систему:

РЕШЕНИЕ:

Пусть   ^x/_y = z,

тогда   ^y/_x = ¹/_z .

Имеем  z +¹/_z = ³⁴/₁₅; 

15z² – 34z +15 = 0.

z₁ = ⁵/₃;  z₂ = ³/₅.

Сложим две системы уравнений:

Откуда находим четыре решения:

х₁ = 3,  у₁ = 5;  

х₂ = –3,  у₂ = –5;

х₃ = 5,  у₃ = 3;  

х₄ = –5,  у₄ = –3.

ПРИМЕР:

Решите систему:

РЕШЕНИЕ:

Всего проще такую систему можно решить посредством введения вспомогательных неизвестных. Предположим, что  ¹/_х =  x',   ¹/_у =  y',  ¹/_z =  z'. Тогда мы получим такую систему с неизвестными  х', у'  и  z'.

Решив эту систему, найдем:

х' = ¹/₂,   у' = 1,   z' = ¹/₃.
¹/_x = ¹/₂,   ¹/_y = 1,   ¹/_z = ¹/₃.

Отсюда окончательно находим:

x = 2,  y = 1,  z = 3.

ПРИМЕР:

Решите систему:

РЕШЕНИЕ:

Дроби   ³/_x;  ²/_y   и  т. п. можно рассматривать  как  произведения: 

3 × ¹/_x;  2 × ¹/_y   и т. д.

Поэтому, если положим, что  

¹/_x = x',  ¹/_y = y',  и  ¹/_z = z',

то система изобразится так:

Из этих уравнений находим:

x' = 2,   y' = ¹/₂,   z' = 5.

значит:

¹/_x = 2,    ¹/_y = ¹/₂ ,    ¹/_z = 5.

откуда:

x = ¹/₂ ,   y = 2,   z = ¹/₅.

ЗАДАЧА:

Два трактора разной мощности при общей роботе вспахали за  15 час  ¹/₆  часть всего поля. Если первый трактор работал  12 час, а второй – 20 час, то они вспахали б  20%  всего поля. За сколько часов может вспахать всё поле каждый трактор отдельно ? 

РЕШЕНИЕ:

Площадь поля принимаем за единицу. Пусть первый трактор вспашет все поле за  х час, а другой – за  у час. Тогда производительность первого равна  ¹/_x, а второго  ¹/_y. По условию задачи имеем:

Решив систему уравнений, получим: 

х = 360, у = 120.

ОТВЕТ:

360 час  и  120 час.

Задания к уроку 35

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем