Уроки математики и физики (RU + UA)

вторник, 27 декабря 2016 г.

Урок 35. Решение систем уравнений способом замены

ПРИМЕР:

Решите систему:
РЕШЕНИЕ:

Умножим обе две части второго уравнения на  2  и сложим с первым:

х2 + у2 + 2ху + 2(х + у= 24.

Обозначим  х + у = z, тогда 

z2+ 2z – 24 = 0,

откуда

z1 = –6,  z2 = 4

Получим две системы:
Которые имеют два решения:

х1 = 1,  у1 = 3;  
х2 = 3,  у2 = 1.

ПРИМЕР:

Решите систему:
РЕШЕНИЕ:

Сравняем модули свободных членов:
и сложим полученные уравнения:                                          

5х2 – 19ху + 12у2 = 0.

Так как  у 0, то поделим обе две части этого уравнения на  у2;

Обозначив
получим уравнение:

5u2 – 19u + 12 = 0.

Откуда  

u1 = 3, u2 = 4/5 .

Тогда, 

х = 3у  и  х = 4/5 у.

Подставив значение  х = 3у  в одно из данных уравнений, например во второе, получим  

у2 = 3, у = ±√͞͞͞͞͞3

откуда  х = ± 3√͞͞͞͞͞3

Если взять  х = 4/5 у, то получим  

х = ± 4;  у = ± 5.

ОТВЕТ:

х1 = 3√͞͞͞͞͞3,  у1 =√͞͞͞͞͞3;  
х2 = –3√͞͞͞͞͞3,  у2 = –√͞͞͞͞͞3;
х3 = 4,  у3 = 5;  
х4 = –4,  у4 = –5.

ПРИМЕР:

Решите систему:
РЕШЕНИЕ:

Введём замену:

х + у = t,  xy = z.

преобразуем левую часть первого уравнения:

х4 + у4 = х4 + 2х2у2 + у4 – 2х2у2
= (х2 + у2)2 – 2z2
= (х2 + 2ху + у2 – 2ху)2 – 2z2
= ((х + у)2 – 2z)2 – 2z2
= (t2 – 2z)2 – 2z2 = t4 – 4t2z + 2z2.

Тогда получим:
Откуда первое уравнение можно переписать так:

t4 – 4t2 × 2t + 2 × (2t)2 = 17t2,
t4 – 8t3 9t2 = 0,
t2(t2 – 8t 9) = 0,

которое имеет решения

t1 = 0,  t2 = –1;   t3 = 9.

Из равенства

z  = 2t

получаем, что

z1 = 0,  z2 = –2;   z3 = 18.

Тогда получим три системы:
Решением будет:
(0; 0).
Решением будет:
(1; –2),  (–2; 1).
Решением будет:
(3; 6),  (6; 3).

ОТВЕТ:

(0; 0),  (1; –2),  (–2; 1), 
(3; 6),  (6; 3).

Случай, когда неизвестные входят в виде дробей  1/х; 1/у  . . .  . 

ПРИМЕР:

Решите систему:
РЕШЕНИЕ:

Пусть   x/y = z,
тогда   y/x = 1/z .
Имеем  z +1/z = 34/15; 

15z2 – 34z +15 = 0.
z1 = 5/3z2 = 3/5.

Сложим две системы уравнений:
Откуда находим четыре решения:

х1 = 3,  у1 = 5;  
х2 = –3,  у2 = –5;
х3 = 5,  у3 = 3;  
х4 = –5,  у4 = –3.

ПРИМЕР:

Решите систему:
РЕШЕНИЕ:

Всего проще такую систему можно решить посредством введения вспомогательных неизвестных. Предположим, что  1/х =  x',   1/у =  y',  1/z =  z'. Тогда мы получим такую систему с неизвестными  х', у'  и  z'.
Решив эту систему, найдем:

х' = 1/2 у' = 1,   z' = 1/3.
1/x = 1/2 1/y = 1,   1/z = 1/3.

Отсюда окончательно находим:

x = 2,  y = 1,  z = 3.

ПРИМЕР:

Решите систему:
РЕШЕНИЕ:

Дроби   3/x;  2/y   и  т. п. можно рассматривать  как  произведения: 

3 × 1/x;  × 1/y   и т. д.

Поэтому, если положим, что  

1/x = x',  1/y = y',  и  1/z = z',

то система изобразится так:
Из этих уравнений находим:

x' = 2,   y' = 1/2,   z' = 5.

значит:

1/x = 2,    1/y = 1/2 ,    1/z = 5.

откуда:

x = 1/2 ,   y = 2,   z = 1/5.

ЗАДАЧА:

Два трактора разной мощности при общей роботе вспахали за  15 час  1/6  часть всего поля. Если первый трактор работал  12 час, а второй – 20 час, то они вспахали б  20%  всего поля. За сколько часов может вспахать всё поле каждый трактор отдельно

РЕШЕНИЕ:

Площадь поля принимаем за единицу. Пусть первый трактор вспашет все поле за  х час, а другой – за  у час. Тогда производительность первого равна  1/x, а второго  1/y. По условию задачи имеем:
Решив систему уравнений, получим: 

х = 360, у = 120.

ОТВЕТ:

360 час  и  120 час.

Задания к уроку 35
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий