Уроки математики и физики (RU + UA)

воскресенье, 28 октября 2018 г.

Урок 40. Иррациональные уравнения

Иррациональным называется каждое уравнение, левая и правая части которого есть алгебраические выражения, причём хотя бы одно из них иррационально.

Примеры иррациональных уравнений:
В элементарной алгебре рассматриваются лишь такие иррациональные уравнения, у которых имеющиеся радикалы чётной степени предполагают арифметическими (а нечётной степени – положительными или отрицательными, в зависимости от знака подкоренного выражения).
Общий метод решения иррационального уравнения заключается в том, что сначала изолируется один радикал, затем обе части уравнения возводят в степень, потом снова изолируется радикал и т. д. Всякое иррациональное уравнение после конечного числа таких преобразований может быть приведено к рациональному уравнению.
Получающееся в результате уравнение, вообще говоря, не эквивалентно заданному. Поэтому, найдя решения этого уравнения, надо проверить их путём подстановки в данное уравнение и отбросить как посторонние, те из них, которые не удовлетворяют решению. Однако если обе части иррационального уравнения возводились в нечётную степень, то проверять решение не обязательно, так как в этом случае придём к уравнению, эквивалентному данному.
Если уравнение содержит радикалы с неизвестным в знаменателе, то его надо освободить от знаменателя, выполнив необходимые преобразования.
Прежде чем приступить к решению иррационального уравнения, целесообразно определить область допустимых значений для неизвестного, так как в некоторых случаях после этого отпадает необходимость в решении.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Для первого радикала  х ≥ 3, для второго  х ≤ 2. В области действительных чисел уравнение не имеет решений, так как нет общих значений  х, для которых оба радикала имеют действительное значение.

ОТВЕТ:

Данное уравнение не имеет решений.

Решение простейших иррациональных уравнений.


ПРИМЕР:
Решить уравнение:
РЕШЕНИЕ:


Исходное уравнение может быть заменено совокупностью уравнений:
Решая эти уравнения, получаем

х1 = 5,  х2 = –2, х3 = 7

(х1  и  х2  не входят в область допустимых значений данного уравнения).


ОТВЕТ:  7


ПРИМЕР:

Решить уравнение:
РЕШЕНИЕ:
ПРОВЕРКА:
ОТВЕТ:  х = 3.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:
РЕШЕНИЕ:

Возведём в квадрат обе части:

х – 7 = х2 – 26х + 169,
х2 – 27х + 176 = 0,
х1 = 16,  х2 = 11.

Проверкой легко убедиться, что  х = 16  удовлетворяет уравнению, а  х = 11  уравнению не удовлетворяет (левая часть уравнения неотрицательное число; тогда и правая часть должна быть неотрицательным числом, а это возможно при условии, что  х ≥ 13).

ОТВЕТ:  х = 16.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:
РЕШЕНИЕ:
(x – 46)2 = 196(x + 5), 
x2 – 288x + 1136 = 0,
x1 = 4, x2 = 284.

Проверкой, убеждаемся, что решением уравнения является значение  

х = 4.

ОТВЕТ:  х = 4.

Решение иррациональных уравнений способом замены.

Этот способ состоит в том, что выражение, находящееся под знаком радикала, обозначают новым неизвестным в некоторой степени (так, чтобы корень извлекался).

ПРИМЕР:

Решить уравнение:
РЕШЕНИЕ:

Область допустимых значений

х2 – 4 ≥ 0,

т. е.

х ≤  –2  и  х ≥ 2.

Положим
тогда

х2 – 4 = у2;  
х2 = у2 + 4

и данное уравнение принимает вид

у2у – 12 = 0,

откуда

у1 = 4,  у2 = –3.

у2  отбрасываем, так как  у ˃ 0. Найдём значение  х:

х2 = у2 + 4 = 16 + 4 = 20,
х1,2 = ±√͞͞͞͞͞20.

Оба значения  х1,2 = ±√͞͞͞͞͞20  принадлежат области допустимых значений и удовлетворяют уравнению, в чём можно убедиться путём проверки.

ОТВЕТ:  х1,2 = ±2√͞͞͞͞͞5.


ПРИМЕР:

Решить уравнение:
РЕШЕНИЕ:


Обозначим
Получим уравнение

y2 + у – 2 = 0,

которое имеет корни

у1 = 1,  у2 = –2.


Следовательно,
или
Отсюда  х1 = 1.
Второе уравнение не имеет корней, так как
ОТВЕТ:  1

ПРИМЕР:

Решить уравнение:
РЕШЕНИЕ:

Пусть
Тогда
(u + v)2 = 52,  u2 + 2uv + v2 = 25, 
u2 + v2 = 25 – 2uv,
(u2 + v2)2 = u4 + 2u2v2 + v4 = 252,
(25 – 2uv)2 = 625 – 100uv + 4u2v2,
u4 + 2u2v2 + v4 = 625 – 100uv + 4u2v2,
u4 + v4 = 625 – 100uv + 2u2v2 = 97,
2u2v2– 100uv + 528 = 0,
(uv)2– 50uv + 264 = 0,
(uv)1 = 44(uv)2 = 6.
Первая система в области действительных чисел не имеет решений. Вторую систему решаем устно:

u1 = 3u2 = 2,  v1 = 2v2 = 3.

Отсюда

x1 = 16,  x2 = 81.

Оба корня удовлетворяют данному уравнению.

ОТВЕТ:  

x1 = 16,  x2 = 81.

Умножение обеих частей уравнения на выражение, сопряжённое выражению в левой части.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:
РЕШЕНИЕ:

Область допустимых значений:

х + 4 ≥ 0,  х ≥ –4, 
20 + х ≥ 0,  х ≥ –20.

следовательнох ≥ –4.
Положим
Перемножим эти равенства почленно:
(х + 4) – (20 + х) = 8у,

откуда  у = –2. Тогда
Складывая эти уравнения, получаем
откуда

х + 4 = 9,  х = 5.

Это значение принадлежит области допустимых значений и удовлетворяет уравнению.

ОТВЕТ:  x = 5.

Применение формул сокращённого умножения.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:
РЕШЕНИЕ:
Поскольку

(ab)3 = a3b3 – 3ab(ab).

Тогда

(8х + 4) – (8х  4) –
Учитывая, что по условию выражение в квадратных скобках должно быть равно  2, получим
откуда

64х2 – 16 = 0
х2 = 1/4,  
х1 = 1/2х2 = –1/2.

ПРОВЕРКА:
ОТВЕТ:  х1 = 1/2х2 = –1/2.

ПРИМЕР:


Решить уравнение:
РЕШЕНИЕ:


Преобразуем данное уравнение к виду:
Далее возведём обе части уравнения в третью степень:
Обозначив
получим квадратное уравнение:

y2 + у – 12 = 0,

которое имеет корни

y1 = 3y2 = –4.


Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений
Возведя обе части уравнения в третью степень, получаем

х – 3 = 27,  х = 30, 

или 

х – 3 = –64,  х = –61.


ОТВЕТ:  30,  –61

Задания к уроку 40
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий