Урок 40. Иррациональные уравнения

Иррациональным называется каждое уравнение, левая и правая части которого есть алгебраические выражения, причём хотя бы одно из них иррационально.

Примеры иррациональных уравнений:

В элементарной алгебре рассматриваются лишь такие иррациональные уравнения, у которых имеющиеся радикалы чётной степени предполагают арифметическими (а нечётной степени – положительными или отрицательными, в зависимости от знака подкоренного выражения).

Общий метод решения иррационального уравнения заключается в том, что сначала изолируется один радикал, затем обе части уравнения возводят в степень, потом снова изолируется радикал и т. д. Всякое иррациональное уравнение после конечного числа таких преобразований может быть приведено к рациональному уравнению.

Получающееся в результате уравнение, вообще говоря, не эквивалентно заданному. Поэтому, найдя решения этого уравнения, надо проверить их путём подстановки в данное уравнение и отбросить как посторонние, те из них, которые не удовлетворяют решению. Однако если обе части иррационального уравнения возводились в нечётную степень, то проверять решение не обязательно, так как в этом случае придём к уравнению, эквивалентному данному.

Если уравнение содержит радикалы с неизвестным в знаменателе, то его надо освободить от знаменателя, выполнив необходимые преобразования.

Прежде чем приступить к решению иррационального уравнения, целесообразно определить область допустимых значений для неизвестного, так как в некоторых случаях после этого отпадает необходимость в решении.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Для первого радикала  х ≥ 3, для второго  х ≤ 2. В области действительных чисел уравнение не имеет решений, так как нет общих значений  х, для которых оба радикала имеют действительное значение.

ОТВЕТ:

Данное уравнение не имеет решений.

Решение простейших иррациональных уравнений.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Исходное уравнение может быть заменено совокупностью уравнений:

Решая эти уравнения, получаем

х₁ = 5,  х₂ = –2, х₃ = 7

(х₁  и  х₂  не входят в область допустимых значений данного уравнения).

ОТВЕТ:  7


ПРИМЕР:

Решить уравнение:

РЕШЕНИЕ:

ПРОВЕРКА:

ОТВЕТ:  х = 3.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Возведём в квадрат обе части:

х – 7 = х² – 26х + 169,

х² – 27х + 176 = 0,

х₁ = 16,  х₂ = 11.

Проверкой легко убедиться, что  х = 16  удовлетворяет уравнению, а  х = 11  уравнению не удовлетворяет (левая часть уравнения неотрицательное число; тогда и правая часть должна быть неотрицательным числом, а это возможно при условии, что  х ≥ 13).

ОТВЕТ:  х = 16.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

РЕШЕНИЕ:

(x – 46)² = 196(x + 5), 

x² – 288x + 1136 = 0,

x₁ = 4, x₂ = 284.

Проверкой, убеждаемся, что решением уравнения является значение  

х = 4.

ОТВЕТ:  х = 4.

Решение иррациональных уравнений способом замены.

Этот способ состоит в том, что выражение, находящееся под знаком радикала, обозначают новым неизвестным в некоторой степени (так, чтобы корень извлекался).

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Область допустимых значений

х² – 4 ≥ 0,

т. е.

х ≤  –2  и  х ≥ 2.

Положим

тогда

х² – 4 = у²;  
х² = у² + 4

и данное уравнение принимает вид

у² – у – 12 = 0,

откуда

у₁ = 4,  у₂ = –3.

у₂  отбрасываем, так как  у ˃ 0. Найдём значение  х:

х² = у² + 4 = 16 + 4 = 20,

х_1,2 = ±√͞͞͞͞͞20.

Оба значения  х_1,2 = ±√͞͞͞͞͞20  принадлежат области допустимых значений и удовлетворяют уравнению, в чём можно убедиться путём проверки.

ОТВЕТ:  х_1,2 = ±2√͞͞͞͞͞5.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Обозначим

Получим уравнение

y² + у – 2 = 0,

которое имеет корни

у₁ = 1,  у₂ = –2.

Следовательно,

или

Отсюда  х₁ = 1.
Второе уравнение не имеет корней, так как

ОТВЕТ:  1

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Пусть

Тогда

(u + v)² = 5²,  u² + 2uv + v² = 25, 

u² + v² = 25 – 2uv,

(u² + v²)² = u⁴ + 2u²v² + v⁴ = 25²,

(25 – 2uv)² = 625 – 100uv + 4u²v²,

u⁴ + 2u²v² + v⁴ = 625 – 100uv + 4u²v²,

u⁴ + v⁴ = 625 – 100uv + 2u²v² = 97,

2u²v²– 100uv + 528 = 0,

(uv)²– 50uv + 264 = 0,

(uv)₁ = 44,  (uv)₂ = 6.

Первая система в области действительных чисел не имеет решений. Вторую систему решаем устно:

u₁ = 3,  u₂ = 2,  v₁ = 2,  v₂ = 3.

Отсюда

x₁ = 16,  x₂ = 81.

Оба корня удовлетворяют данному уравнению.

ОТВЕТ:  

x₁ = 16,  x₂ = 81.

Умножение обеих частей уравнения на выражение, сопряжённое выражению в левой части.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Область допустимых значений:

х + 4 ≥ 0,  х ≥ –4, 

20 + х ≥ 0,  х ≥ –20.

следовательно,  х ≥ –4.

Положим

Перемножим эти равенства почленно:

(х + 4) – (20 + х) = 8у,

откуда  у = –2. Тогда

Складывая эти уравнения, получаем

откуда

х + 4 = 9,  х = 5.

Это значение принадлежит области допустимых значений и удовлетворяет уравнению.

ОТВЕТ:  x = 5.

Применение формул сокращённого умножения.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Поскольку

(a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b).

Тогда

(8х + 4) – (8х – 4) –

Учитывая, что по условию выражение в квадратных скобках должно быть равно  2, получим

откуда

64х² – 16 = 0; 

х² = ¹/₄,  
х₁ = ¹/₂,  х₂ = –¹/₂.

ПРОВЕРКА:

ОТВЕТ:  х₁ = ¹/₂,  х₂ = –¹/₂.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Преобразуем данное уравнение к виду:

Далее возведём обе части уравнения в третью степень:

Обозначив

получим квадратное уравнение:

y² + у – 12 = 0,

которое имеет корни

y₁ = 3,  y₂ = –4.

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений

Возведя обе части уравнения в третью степень, получаем

х – 3 = 27,  х = 30, 

или 

х – 3 = –64,  х = –61.

ОТВЕТ:  30,  –61

Задания к уроку 40

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 41. Уравнения с модулем