Уроки математики и физики (RU + UA)

пятница, 9 января 2015 г.

Урок 15. Прямоугольный треугольник и окружность

ВИДЕОУРОК

Вписанная окружность прямоугольного треугольника.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник,
можно найти по формуле:
где  r – искомый радиус, а  и  b – катеты,

с – гипотенуза треугольника.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности
равен произведению катетов, делённому на сумму катетов и гипотенузы,
где  r – искомый радиус, а  и  b – катеты,

с – гипотенуза треугольника.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен площади этого треугольника, делённой на полупериметр:
где  р – полупериметр
ЗАДАЧА:

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит один из катетов на отрезки  2 см  и  8 см, отсчитывая от вершины прямого угла. Найдите периметр треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж:
ВМ = ВN = х.

(2 + х)2 + (2 + 8)2 = (8 + х)2,

х2 + 4х + 4 + 100 =

= х2 + 16х + 64,

12х = 40,

х = 10/3 (см).

Р = (2 + 8) + (8 + 10/3) + (10/3 + 2) = 262/3 (см).

ЗАДАЧА:

Вписанная окружность прямоугольного треугольника  АВС  касается гипотенузы  АВ  в точке  К. Найдите радиус вписанной окружности, если  АК = 4 см, ВК = 6 см.

РЕШЕНИЕ:
За свойством касательных имеем:

АК = АМ = 4 см
ВК = ВN = 6 см.

Обозначим радиус вписанной окружности через  х:

СN = СM = NО = МО = х.

Тогда 

АС = (4 + х) см
ВС = (6 + х) см,
АВ = 4 см + 6 см = 10 см.

По теореме Пифагора для треугольника  АВС можно записать соотношение:

(4 + х)2 + (6 + х)2 = 102.

Решим это квадратное уравнение:

16 + 8x + x2 + 36 + 12x + x2 = 100,
2x2 + 20x + 52 – 100 = 0,
2x2 + 20x – 48 = 0,
x2 + 10x – 24 = 0,
x1 = 2,  x2 = –10.
x2  не удовлетворяет условию задачи.

ОТВЕТ:  2 см.

ЗАДАЧА:

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делить гипотенузу на отрезки  8 см  и  12 см. Найдите периметр треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж:
(8 + 12)2 = (8 + х)2 + (12 + х)2,

400 = 64 + 16x + x2 + x2 + 24x + 144,

2x2 + 40x – 192 = 0,

x2 + 20x – 96 = 0,

x1 = 4,  x2 = –24.

x2  не подходит.

Р = 8 + 12 + 12 + 4 + 4 + 8 = 48 (см).

ОТВЕТ:  48 см.

Описанная окружность прямоугольного треугольника.

Центром окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, будет середина его гипотенузы.
Диаметр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен его гипотенузе.
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к его гипотенузе, равна половине гипотенузы и является радиусом окружности, описанной около этого треугольника.
ОА = ОВ = ОС = R
Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:
ЗАДАЧА:

Отрезок  ВС – диаметр окружности, изображённой на рисунку.
Угол  АВС = 55°.

Найдите величину угла  АСВ ?

РЕШЕНИЕ:

ВСдиаметр, поэтому  ВАС = 90°,

АСВ = 180° – (90° + 55°) = 35°.

ЗАДАЧА:

Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на его диаметр, делит диаметр на отрезки, разность между которыми равна  5 см. Найдите радиус окружности, если длина перпендикуляра равна  6 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВ – диаметр окружности с центром в точке  О, СD АВ,
где  С – точка окружности,

СD = 6 см, АD = х см,

ВD – АD = 5 см.

Тогда 

DВ = (х + 5) см.

Треугольник  АСВ – прямоугольный (угол  С  прямой, так как он вписанный и опирается на диаметр).

СD – перпендикуляр, проведений из вершины прямого угла на гипотенузу. Тогда:

АD DВ = СD2,

х(х + 5) = 62,

х2 + 5х – 36 = 0,

x1 = –9,  x2 = 4.

x1  не подходит.

Поэтому, АD = 4 см,

DВ = 4 + 5 = 9 (см).

АВ = АD + DВ =

= 4 + 9 = 13 (см).

Тогда

r = АВ : 2 = 13 : 2 = 6,5 (см).

ОТВЕТ:  6,5 см

ЗАДАЧА:

Из точки на окружности проведены две перпендикулярные хорды, разность между которыми равна  4 см. Найдите эти хорды, если радиус окружности равен  10 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть задана окружность радиуса  R,
в которой проведены хорды  АВ  и  АС (АВ АС),

R = АО = ВО = СО = 10 см,

АС – АВ = 4 см.

Пусть  АВ = х см, тогда 

АС = (4 + х) см.

Так как  А = 90°, то треугольник  ВАС –  прямоугольный, в котором 

ВС = 2ОВ= 2 10 = 20 см.

Из прямоугольного треугольника  ВАС  имеем:

АВ2 + АС2 = ВС2,

х2 + (4 + х)2 = 202,

х2 + 16 + 8х + х2 = 400,

х2 + 4х – 192 = 0,

х1 = 12, 

х2 = –16 – не подходит.

Поэтому, АВ = 12 см,

АС = 4 + 12 = 16 (см).

ОТВЕТ:  12 см, 16 см

ЗАДАЧА:

Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен  14°. Найдите меньший угол этого треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Так как треугольник прямоугольный и медиана  ВМ  иcходит из прямого угла  В, то точка  М  является центром описанной окружности вокруг треугольника  АВС. Следовательно,

АМ = МС = МВ = R,

где  R – радиус описанной окружности.

Найдём сначала угол  МВС. Учитывая, что  BD – биссектриса, то

DВС = 90/2 = 45°. Тогда

МВС = МВD + DВС,

МВС = 14° + 45° = 59°.

Рассмотрим равнобедренный треугольник  МВС  со сторонами 

МВ = МС,

в котором углы при основании  ВС  равны, то есть

С = МВС  = 59°.

Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна  90°, то

А + С  = 90°,

А = 90°С =

= 90° – 59° = 31°.

ЗАДАЧА:

Периметр прямоугольного треугольника равен  72 м, а радиус вписанной в него окружности – 6 м. Найдите диаметр описанной окружности.

РЕШЕНИЕ:
DO = OF = OE = r = 6 м.    
Поэтому  AD = AF = 6 м.
FC = EC, BD = BE (отрезки касательных, проведённых из одной точки)
Пусть  

BD = BE = x, 
FC = EC = y,

Тогда  

AB = x + 6, AC = y + 6
BC = x + y.
AB + AC + BC = 
= x + 6 + y + 6 + x + y = 72.
2x + 2y + 12 = 72,
2x + 2y = 60,
x + y = 30.
(x + y) – гипотенуза, или диаметр описанной окружности.

ОТВЕТ:  30 м.

ЗАДАЧА:

В окружности на расстоянии  6 см  от его центра проведена хорда длинной  16 см. Найдите радиус окружности.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж:
Пользуясь теоремой Пифагора, находим радиус.
ЗАДАЧА:

Две окружности, радиусы которых равны 
4 см  и  9 см, имеют внешнее касание. Найдите расстояние между точками касания данных окружностей с их общей внешней касательной
.
РЕШЕНИЕ:

ВК АD, АК = 9 – 4 = 5 см.

Из  ВКА:
СD = ВК = 12 см.

ЗАДАЧА:

В угол, величина которого равна  60°, вписано две окружности, которые внешне касаются одна другой. Найдите радиус большой окружности, если радиус меньшей равен  6 см.

РЕШЕНИЕ:
СОА = 60°,

ОС = 2СА = 12 см,

ОDВ:

ОD = 2DВ = 2R,

12 + 6 + R = 2R,

R + 18 = 2R,

R = 18 см.

ЗАДАЧА:

Биссектриса  АМ  треугольника  АВС (С = 90°) делит катет  ВС  на отрезки длиной  6 см  и  10 см. Найдите радиус окружности, которая проходит через точки  А, С,  и  М.
РЕШЕНИЕ:

АМбиссектриса угла  А, поэтому
 
Так как  АВ ˃ АС, то

ВМ  ˃ МС  и 

ВМ = 10 см, МС = 6 см.

Поэтому
Пусть  АС = 6х,

тогда  АВ = 10х.

Из прямоугольного треугольника  АВС (С = 90°) имеем:

АВ2 = АС2 + ВС2,

(10х)2 = (6х)2+ (10 + 6)2,

64х2 = 162, х = 2 (см),

АС = 6х = 12 (см).

Из прямоугольного треугольника  АСМ  (С = 90°) имеем:

АМ2 = АС2 + СМ2,

122 + 62, АМ = 6√͞͞͞͞͞5 (см).

Окружность, которая проходит через точки  А, М  и  С, будет описанной окружностью вокруг прямоугольного треугольника  АСМ. Тогда её диаметр равен гипотенузе треугольника. Поэтому,

r = 1/2 АМ = 3√͞͞͞͞͞5 (см).

ЗАДАЧА:

В окружность по разные стороны от её центра проведены две параллельные хорды, длины которых равны  6 см  и  8 см, а расстояние между ними – 4 см. Найдите радиус окружности.

РЕШЕНИЕ:

Пусть задана окружность  О,
в которой проведены хорды  АВ  и  СD,

АВ = 6 см, СD = 8 см.

Через  точку  О  проведём 

FЕ АВ.

АЕ = ВЕ = 3 см,

FЕ СD,

СF = FD = 4 см,

ЕF = 4 см.

Треугольники  ОВЕ  и  ОDF  прямоугольные, до того ж 

ОВ = ОD = r.

Пусть  ОF = х см, тогда 

ОЕ = ЕF – х = (4 – х) см.

Из прямоугольного треугольника  ОЕВ  по теореме Пифагора

ОВ2 = ОЕ2 + ВЕ2,

r 2 = (4 – х)2 + 32.

Аналогично

ОD2 = ОF2 + FD2,

r2 = х2 + 42.

(4 – х)2 + 32 = х2 + 42.

168х + х2 + 9 = х2 + 16,

8х = 9, х = 9/8
Тогда
Задания к уроку 15
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий