Урок 3. Параллельные и перпендикулярные прямые

среда, 14 января 2015 г.

Урок 3. Параллельные и перпендикулярные прямые

ВИДЕОУРОК

Перпендикулярные прямые.

В жизни Вы не раз встречались с четырьмя неразвёрнутыми углами, которые образуются при пересечении прямых. Выясним, какими углами окажутся все эти углы, если один из них будет прямым. Как называют в этом случае пересекающиеся прямые ?

Построим прямой угол АОВ. Проведём лучи ОС и ОD, как продолжение лучам ОА и ОВ.

Получим две пересекающиеся прямые АС и ВD и четыре угла АОВ, АОD, СОD, СОВ. Угол АОВ равен углу DОС как вертикальные. Так как угол АОВ = 90°, то и угол СОD = 90°, то есть прямой, тогда смежные углы СОВ и АОD также прямые (так как сумма смежных углов равна 180°). Таким образом, при пересечении двух прямых образовались четыре прямых угла. Эти прямые называются перпендикулярными.

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.

Чтобы отрезки назывались перпендикулярными должно выполняться два условия: отрезки должны пересекаться, а угол пересечения между ними должен равняться 90°.

На чертеже прямой угол отмечают квадратом.

Для проведения перпендикулярных прямых используют чертёжный угольник

и линейку.

В геодезии для построения прямых углов используют прибор теодолит.

Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярный к данной прямой, который имеет одним из своих концов точку пересечения.

Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра. Перпендикулярность прямых обозначают знаком ⊥. Запись а ⊥ b читается так:

«Прямая а перпендикулярна прямой b».

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную к ней прямую и только одну. С любой точки, которая не лежит на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр и только один.

Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Если две прямые перпендикулярны к третьей прямой, то они между собой параллельны. Расстояние между параллельными прямыми – это длина перпендикуляра, опущенного из выбранной точки на одной прямой к другой.

Свойства перпендикулярных прямых.

– если каждая из двух прямых перпендикулярна третьей, то эти прямые параллельны;

– перпендикулярный отрезок от точки до прямой или отрезка будет называться расстоянием от точки до прямой;

– расстояние от прямой до прямой так же является перпендикуляром, опущенным из любой точки одной прямой на другую прямую.

Серединный перпендикуляр к отрезку – прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярна к нему. Две точки А и В симметричны относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему.

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.

Каждая точка прямой а симметрична самой себе.

ПРИМЕР:

АО = ОВ, АВ ⊥ а.

Точка А симметрична точке В относительно прямой а.

Точка О симметрична сама себе.

Геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка, будет его серединный перпендикуляр.

Параллельные прямые.

Две прямые (c, d) называются параллельными, если они не пересекаются.

Параллельность прямых обозначается знаком ∥.

Запись а ∥ b читается:

<< Прямая а параллельна прямой b >>.

Параллельные прямые имеют такие свойства:

– все точки одной из двух параллельных прямых равноудалены от другой;

– все прямые, параллельные некоторой прямой l, параллельные между собой;

– две параллельные прямые образуют угол, который равен нулю;

– все прямые, которые лежат в одной плоскости и перпендикулярные к одной и той же прямой, параллельные между собой;

– если прямая перпендикулярная к одной из пучка параллельных прямых, то она перпендикулярна и до всех других прямых этого пучка;

– если прямые перпендикулярны до двух параллельных прямых, то их отрезки между параллельными прямыми равны;

– если ряд параллельных прямых пересекает стороны угла, то на сторонах этого угла образуются пропорциональные отрезки:

– если две параллельные прямые MN и M₁N₁ пересекаются рядом прямых, которые проходят через точку О, то эти прямые делятся на пропорциональные части:

Теорема ФАЛЕСА.

Если параллельные прямые, которые пересекают стороны угла, делят одну из сторон на равные отрезки, то они и вторую сторону угла тоже делят на равные отрезки.

Теорема Фалеса будет справедливою и в случае когда вместо сторон угла взять две произвольные прямые.

Расстояния от всех точек прямой до параллельной прямой равны. Поэтому говорят, что параллельные прямые равноудалены друг от друга. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине перпендикуляра, проведённого с любой точки одной прямой на другую прямую. При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются следующие виды углов

∠1, ∠2, ∠3, ∠4 – внутренние углы;

∠5, ∠6, ∠7, ∠8 – внешние углы;

∠1 и ∠3, ∠2 и ∠4 – пары внутренних разносторонних углов;

∠1 и ∠4, ∠2 и ∠3 – пары внутренних односторонних углов;

∠4 и ∠5, ∠3 и ∠6,

∠1 и ∠8, ∠2 и ∠7 – пары соответствующих углов;

∠5 и ∠8, ∠6 и ∠7 – пары внешних односторонних углов;

∠5 и ∠7, ∠6 и ∠8 – пары внешних разносторонних углов;

Признаки параллельности прямых.

– если при пересечении двух прямых третьей, сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны;

– если при пересечении двух прямых третьей, внутренние разносторонни углы равны, то прямые параллельны;

– если при пересечении двух прямых третьей, соответствующие углы равны, то прямые параллельны;

– если две прямые перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.

Основное свойство параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не больше чем одну прямую, параллельную данной.

Свойства параллельности прямых.

– если две параллельные прямые пересечь третьей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°;

– если две параллельные прямые пересечь третьей, то внутренние разносторонние углы равны;

– если две параллельные прямые пересечь третьей, то соответствующие углы равны;

–если прямая перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и до второй.

Задачи на построение с помощью циркуля и линейки.

ЗАДАЧА:

Восстановить перпендикуляр к данной прямой в данной на ней точке N.

На данной прямой АВ следует отложить по обеим сторонам от точки N равные отрезки АN = NВ, а затем повторить все построения, указанные на рисунку.

ЗАДАЧА:

Опустить перпендикуляр на заданную прямую из данной точки С, лежащей вне её.

Построение можно выполнить, применяя приём деления отрезка пополам. Следует лишь получить на заданной прямой две засечки А и В при помощи дуги с центром в точке С произвольного радиуса R, большего, чем расстояние от точки С до прямой АВ.

ЗАДАЧА:

Через данную точку О провести прямую, параллельную заданой прямой MN.

Описываем дугу произвольным радиусом R₁ с центром в точке О. Из точки пересечения В, лежащей на заданной прямой MN, как из центра, тем же радиусом R₁ описываем дугу OА. Затем раствором циркуля радиуса ОА из точки В делаем засечку и получаем точку D. Прямые OD и MN параллельны.

ЗАДАЧА:

Разделить данный отрезок АВ на данное число равных частей.

Проводим прямую ab, параллельную АВ, на которой откладываем заданное число равных отрезков произвольной длины, например:

ak = kl = lm = mn = nb.

Далее проводим прямые aA, bB и через точку их пересечения О проводим лучи kO, lO, mO, nO, которые и пересекут АВ в точках K, L, M, N, делящих АВ на заданное число равных частей (в нашем примере на пять).

Данный отрезок разделить на части, пропорциональные данным величинам.

Построение аналогично. Следует лишь на прямой аb отложить отрезки, равные данным величинам.

Задания к уроку 3

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 14 января 2015 г.