Признаки равнобедренного
треугольника.
– одна из высот
будет биссектрисой или медианой;
– одна из медиан будет
высотой или биссектрисой;
– одна из
биссектрис будет медианой или высотой;
– две медианы (высоты,
биссектрисы) равны.
Высота, медиана и
биссектриса, опущенные на одну и ту же сторону, совпадают, если две другие
стороны треугольника равны (треугольник равнобедренный). Совпадение двух из
этих линий достаточно для установления равнобедренности треугольника.
ЗАДАЧА:
В треугольнике АВС:
АС = ВС, высота СН = 4,
РЕШЕНИЕ:
Рассмотрим прямоугольный треугольник АСН.
Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, следовательно,
АН = 0,5АС = 4,
АС = ВС = 8.
ЗАДАЧА:
Пусть ∠ Е
= ∠ М = α, тогда у ∆ МКЕ
∠ К = 180° – 2α. Из
∆ КСЕ:
∠ СЕК + ∠ К + ∠ С = 180°.
α/2 + 180° – 2α + 126° = 180°,
3α/2 α = 126°, α = 84°.
Поэтому,
∠ Е = ∠ М = 84°,
∠ К =
180° – 2 ∙ 84° =
12°.
ОТВЕТ:
ЗАДАЧА:
В треугольнике АВС:
ВМ и СN – медианы, ВМ = СN,
О – точка пересечения ВМ и СN,
РЕШЕНИЕ:
В треугольнике медианы точкой пересечения делятся в
отношении 2 : 1, считая от вершины. Так как ВМ
= СN,
то
ВО = 2/3 ВМ = 2/3 СN = СО,
тогда треугольник ВОС – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны, тогда
∠ ОСВ
= ∠ ОВС = 36°.
Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то
∠ ВОС = 180° – ∠ ОВС – ∠ ОСВ =
= 180° – 36° – 36° = 108°.
ЗАДАЧА:
В треугольнике АВС:
ВN и СМ – медианы, АВ = 4,
О – точка пересечения ВN и СМ,
РЕШЕНИЕ:
Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то
∠ РСВ = 180° – 110° – 35° =
= 35° = ∠ РВС,
значит треугольник
РВС –
равнобедренный и РВ = РС.
В треугольнике медианы точкой пересечения делятся в
отношении 2 : 1, считая от вершины. Так как РВ
= РС, то
МР = 0,5 ∙ РС = 0,5 ∙ РВ = РN.
Углы ∠ МРВ и ∠ NРС – вертикальные, а значит равные.
Таким образом, треугольники МРВ и РNС –
равны (по двум сторонам и углу между ними), тогда
NС = МВ = 0,5 ∙ АВ = 2.
ЗАДАЧА:
В треугольнике АВС:
ВF и AE – медианы, АE = BF,
О – точка пересечения BF и AE,
РЕШЕНИЕ:
∠ АОВ
= ∠ FОЕ = 147° (как вертикальные).
В треугольнике медианы точкой пересечения делятся в
отношении 2 : 1, считая от вершины. Так как АЕ
= ВF,
то
АО = 2/3 ∙ АЕ = 2/3 ∙ ВF = ВО,
тогда треугольник АВО – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны, тогда
∠ ОАВ
= ∠ АВО.
Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то
180° = ∠ ОАВ + ∠ АВО + ∠ АОВ =
2 ∙ ∠ АБО + 147°,
откуда ∠ АВО = 16,5°.
ЗАДАЧА:
Точка Р находится на
равном расстоянии от обеих сторон треугольника, следовательно, лежит на
биссектрисе ВН, а так как АВ = ВС, то ВН тоже является
медианой и высотой.
∠ АВС
= 120°, значит ∠ АВН = ∠ КВР = 60°.
∆ КВР – прямоугольный, значит ∠ ВРК = 30°, а против угла
в 30° лежит катет в
2 раза меньше гипотенузы. Обозначим КВ = х, тогда ВР = 2х. Пользуясь теоремой Пифагора составим
уравнение.
4х2 = х2 + 9,
находим х.
х = √͞͞͞͞͞3, тогда
ВР = 2√͞͞͞͞͞3,
ВН = ВР + РН =
= 2√͞͞͞͞͞3 + 2√͞͞͞͞͞3 = 4√͞͞͞͞͞3.
Так как в ∆АВН угол А
= 30°,
то АВ = 2ВР = 8√͞͞͞͞͞3.
Тогда по теореме Пифагора получаем:
АН2 = АВ2 – ВН2 =
= (8√͞͞͞͞͞3)2 – (4√͞͞͞͞͞3)2 =
= 192 – 48 = 144.
АН = 12, тогда
АС = 2АН = 24.
ЗАДАЧА:
В равнобедренном треугольнике АВС,
в котором
АВ = ВС = 30,
РЕШЕНИЕ:
ВМ = 12, МК = 6.
ВМ = 12, МК = 6.
ТМ = ТК – КМ =
РЕШЕНИЕ:
∠ ЕСВ = ∠ АСВ – ∠ АСЕ = 40°.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к
гипотенузе, равна половине гипотенузе. Тогда
СЕ = ВЕ,
значит треугольник СЕВ – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны, тогда
∠ В = ∠ ЕСВ = 40°.
ЗАДАЧА:
В прямоугольном треугольнике острый угол равен 60°. Катет, лежащий против этого
угла равен 12 см.
Найдите биссектрису этого угла.
РЕШЕНИЕ:
АL = ВL = х.
Тогда
СL = ВС – ВL = 12 – х.
Но СL –
катет в треугольнике АВL,
лежащий против угла 30° и он равен
половине гипотенузы, то есть
АL = 2СL.
Находим х.
х = 2СL = 2(12 – х),
х = 24 – 2х,
3х = 24,
х = 8.
ЗАДАЧА:
РЕШЕНИЕ:
Поскольку АМ – биссектриса, то угол
ВАМ равен углу
МАС и они равны
45°. Но угол DАМ равен 17°. Отсюда, угол ВАD равен разности углов ВАМ и DАМ:
45° – 17° = 28°.
Мы знаем, что медиана, проведённая из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника, делит этот треугольник на два
равнобедренных треугольника. А именно
треугольники АВD и АDС. И теперь, поскольку треугольник АВD равнобедренный,
то углы при основании у него равны, то есть угол ВАD равен углу АВD и они оба
равны 28°. А это значит, что в прямоугольном треугольнике
угол В равен 28°. Отсюда, угол С будет равен
РЕШЕНИЕ:
Так как АС = ВС, то СН также является
медианой, следовательно,
АН = 0,5 АВ = √͞͞͞͞͞3.
РЕШЕНИЕ:
Так как АС = ВС, то СН также является
медианой, следовательно,
АН = а, то АВ = АС = 2а.
Тогда по теореме Пифагора из треугольника АСН находим
АВ:
АС2 = АН2 + СН2,
4а2 = а2 + 12,
Задания к уроку 11
- Урок 1. Точка и прямая
- Урок 2. Угол
- Урок 3. Параллельные и перпендикулярные прямые
- Урок 4. Окружность
- Урок 5. Угол и окружность
- Урок 6. Треугольник (1)
- Урок 7. Треугольник (2)
- Урок 8. Прямоугольный треугольник (1)
- Урок 9. Прямоугольный треугольник (2)
- Урок 10. Равнобедренный треугольник (1)
- Урок 12. Периметр треугольника
- Урок 13. Периметр равнобедренного (равностороннего) треугольника
- Урок 14. Треугольник и окружность
- Урок 15. Прямоугольный треугольник и окружность
- Урок 16. Равнобедренный треугольник и окружность
- Урок 17. Четырёхугольники
- Урок 18. Параллелограмм
- Урок 19. Периметр параллелограмма
- Урок 20. Прямоугольник
- Урок 21. Периметр прямоугольника
- Урок 22. Квадрат
- Урок 23. Ромб
- Урок 24. Периметр ромба
- Урок 25. Трапеция
- Урок 26. Равнобедренная трапеция
- Урок 27. Периметр трапеции
- Урок 28. Четырёхугольник и окружность (1)
- Урок 29. Четырёхугольник и окружность (2)
- Урок 30. Многоугольник
- Урок 31. Правильный многоугольник
- Урок 32. Осевая и центральная симметрии
Комментариев нет:
Отправить комментарий