Урок 22. Квадрат

вторник, 27 ноября 2018 г.

Урок 22. Квадрат

ВИДЕОУРОК

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

ABCD – квадрат,

AB = BC = CD = AD,

∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90°.

Свойства квадрата.

– все стороны квадрата равны;
– все углы квадрата прямые;
– диагонали квадрата равны;
– диагонали квадрата взаимно перпендикулярны;
– диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам;
– диагонали квадрата делят углы квадрата пополам;
– диагонали квадрата делят его на четыре равных прямоугольных равнобедренных треугольника.
Формулы для нахождения диагонали квадрата.
ЗАДАЧА:

На стороне CD квадрата ABCD обозначена точка К так, что

∠ AВК = 60°.

Найдите отрезок AК, если

ВС = √͞͞͞͞͞6 см.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж:

ABCD – квадрат,

∠ AВК = 60°,

ВС = √͞͞͞͞͞6 см.

По условию

∠ AВК = 60°, тогда

∠ КВС = 90° – 60° = 30°.

Рассмотрим ∆ ВСК (∠ С = 90°).

Так как угол ∠ КВС = 30°, то против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, то есть ВК = 2СК. Обозначим

СК = х, тогда ВК = 2х.

По теореме Пифагора запишем:

ВК² = ВС² + СК²,

(2СК)² = ВС² + СК²,

3СК² = (√͞͞͞͞͞6)²,

СК² = 2, СК = √͞͞͞͞͞2 (см).

КD = СD – СК = (√͞͞͞͞͞6 – √͞͞͞͞͞2) (см).

Рассмотрим ∆ АКD (∠ D = 90°).

АК² = АD² + КD² =

= (√͞͞͞͞͞6 )² + (√͞͞͞͞͞6 – √͞͞͞͞͞2)² =

= 6 + 6 – 2√͞͞͞͞͞12 + 2 =

= 14 – 4√͞͞͞͞͞3.

ЗАДАЧА:

В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найдите стороны прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна 12 м.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
∠ ВОА = 90° (диагонали квадрата пересекаются под прямым углом).

∠ ВОА = ∠ А₁О₁А = 90° (как соответственные углы для параллельных прямых ВD и А₁D, и секущей АС).

АС – биссектриса, поэтому

∠ А₁АО₁ = ∠ О₁АD₁ =

= ¹/₂ ∠ А = 45°.

Значит,

∠ АА₁О₁ = ∠ АD₁О₁ = 45°.

∆ А₁АD₁ – равнобедренный, так как АО₁ является высотой, биссектрисой, а значит и медианой.

Значит

А₁О₁ = О₁D₁,

∆ АО₁D₁– равнобедренный, поэтому

АО₁ = О₁D₁.

Так что

А₁О₁ = АО₁ = О₁D₁.

Пусть отрезок А₁О₁ = х м, тогда

А₁D₁ = 2х м и

А₁В₁ = 2А₁D₁ = 4 м.

Далее,

АС = АО₁ + О₁О₂ + О₂С =

= АО₁ + А₁В₁ + О₂С.

х + 4х + х = 12,

6х = 12 м, х = 2 м.

Тогда

А₁D₁ = 2х = 2 ∙ 2 = 4 (м).

А₁В₁ = 4х = 8 (м).

А₁D₁ = В₁С₁ = 4 (м),

А₁В₁ = D₁С₁ = 8 (м).

ОТВЕТ: 4 м, 8 м

ЗАДАЧА:

В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две других – на катетах. Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна 3 м.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
∆ АВС – прямоугольный, равнобедренный, тогда,

∠ АВС = ∠ АСВ =

= ¹/₂ (180° – 90°) = 45°.

∆ DКС – равнобедренный, так как

∠ DКС = 90°, ∠ АСК = 45°,

тогда и ∠ КDС = 45°.

Значит DК = КС.

Аналогично и ∆ ВLЕ – равнобедренный и

ВЕ = LЕ,

LЕ = КD = ЕК – стороны квадрата.

Пусть ВЕ = х м. Тогда

ЕК = КС = х м,

ВС = ВЕ + ЕК + КС =

= 3х = 3 м,

х = 1 м.

Откуда ЕК = 1 м.

ОТВЕТ: 1 м

Периметр квадрата.

На практике очень часто приходится решать задачи по определению периметра квадрата.

Квадрат – это фигура, лежащая в одной плоскости. Если мы измерим и сложим все стороны квадрата, то получим число, которое называется периметром данного квадрата. Если в квадрате обозначим сторону а, то периметр квадрата Р будет равен:

Найти периметр квадрата – это значит вычислить сумму его сторон. Если периметр – это сумма длин всех сторон фигуры, то полупериметр – сумма двух сторон квадрата.

Формулы для нахождения периметра квадрата.
ЗАДАЧА:

Сумма диагоналей квадрата равна 2√͞͞͞͞͞2. Найдите его периметр.

РЕШЕНИЕ:

Если сумма диагоналей равна 2√͞͞͞͞͞2, а диагонали квадрата равны, то одна диагональ равна √͞͞͞͞͞2. Так как диагональ квадрата в √͞͞͞͞͞2 раз больше стороны, то сторона равна 1. Значит, периметр квадрата будет равен 4.

ЗАДАЧА:

В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что они имеют общий прямой угол. Найдите периметр квадрата, если катет треугольника равен 4 см.

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим ∆ ВРС и ∆ МСК.

Они равнобедренные, так как прямоугольные с острым углом 45° (углы Р и К – углы равнобедренного треугольника по условию) и имеют равные стороны

РВ = ВС = СМ = МК.

Также ∆ ВРС = ∆ МСК по двум катетам или за катетом и острым углом. Поэтому, сторона квадрата равна половине катета заданного равнобедренного прямоугольного треугольника. Периметр квадрата АВСМ

2 × 4 = 8 (см).

ОТВЕТ: 8 см.

ЗАДАЧА:

Через вершины квадрата с периметром 8√͞͞͞͞͞2 см проведены прямые параллельные его диагоналям. Найдите периметр полученного четырёхугольника.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

Дано: квадрат KLMN, у которого сторона KL равна

8√͞͞͞͞͞2 : 4 = 2√͞͞͞͞͞2 (см).

Рассмотрим треугольник KBL. Он равнобедренный и прямоугольный, в котором

KL = 2√͞͞͞͞͞2 (см) – гипотенуза.

Обозначим

КВ = ВL = х,

тогда по теореме Пифагора, получим:

х² + х² = (2√͞͞͞͞͞2)²,

Найдём х.

2х² = 8, х² = 4,

х = 2.

Это половина стороны четырёхугольника, который является квадратом, значит, его периметр равен:

2 ∙ 2 ∙ 4 = 16 (см).

Задания к уроку 22

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

вторник, 27 ноября 2018 г.