Урок 26. Равнобедренная трапеция

воскресенье, 9 декабря 2018 г.

Урок 26. Равнобедренная трапеция

ВИДЕОУРОК

Равнобедренной называется трапеция, в которой боковые стороны равны.

Свойства равнобедренной трапеции:

– в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны;
– сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°;
– диагонали равнобедренной трапеции равны;
– если BK и CM – высоты равнобедренной трапеции ABCD, то:

∆ABK = ∆DCM;

AK = DM = ¹/₂ (AD – BC);

KD = MA = ¹/₂ (AD + BC).

ЗАДАЧА:

Найдите меньшее основание равнобедренной трапеции, если высота, опущенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки 7 см и 22 см.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
ВС = АD – 2АК =

= (22 + 7) – 2 ∙ 7 = 15 (см).

ЗАДАЧА:

Высота равнобедренной трапеции в два раза меньше чем боковая сторона. Определите углы трапеции.

РЕШЕНИЕ:

В трапеции АВСD проводим из точки В высоту ВF ⊥ AD,
AB = 2BF;
∆ ABF – прямоугольный; поэтому, гипотенуза его в два раза больше чем катет.

ОТВЕТ:

∠ А = ∠ С = 30°;

∠ B = ∠ D = 150°.

ЗАДАЧА:

Определите углы равнобедренной трапеции, в которой верхнее основание равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярная боковой стороне.

РЕШЕНИЕ:

По условию

AB = CD = BC, AC ⊥ CD.

В таком случае ∆ ABC – равнобедренный; поэтому,

∠ BCA = ∠ CAB.

Но ∆ ABC углы которого при основании равнобедренной трапеции, а ∠ CAD = ∠ BCA как внутренний разносторонний угол при BC ∥ AD и секущей AC. Поэтому,

∠ A = 2∠ CAD.

Дальше, по условию ∆ ACD – прямоугольный, так що

∠ CAD + ∠ D = 90°;

Но так как

∠ D = ∠ A, то 90° = 3∠ CAD;

поэтому,

∠ CAD = 30° и тогда

∠ D = ∠ A = 60°,

∠ C = ∠ B = 120°.

ОТВЕТ:

∠ А = ∠ D = 60°;

∠ B = ∠ C = 120°.

ЗАДАЧА:

Найти среднюю линию равнобедренной трапеции, диагональ которой является биссектрисой острого угла, боковая сторона 5, а одно из оснований в 2 раза больше другого.

РЕШЕНИЕ:

Поскольку основания трапеции параллельны, то угол ADВ равен углу DВС, как внутренние накрест лежащие углы. Так как по условию диагональ является биссектрисой, то углы ADВ и ВDС равны. Откуда следует, что углы CВD и CDВ равны.

Из сказанного выше следует, что треугольник ВСD – равнобедренный. Таким образом, поскольку боковая сторона равна 5 см, то основание ВС также равно 5 см.

Согласно условию, второе основание больше в два раза, то есть равно 10 см. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Откуда средняя линия трапеции равна:

(5 + 10) : 2 = 7,5 (см).

ОТВЕТ: 7,5 см.

ЗАДАЧА:

Боковые стороны равнобедренной трапеции равны меньшему основанию и образуют с большим основанием углы по 60°. Найдите большее основание трапеции, если меньшее основание равно 5 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть АВСD (АВ ∥ СD) – заданная трапеция,
∠ ВАЕ = ∠ СDА = 60°,

АВ = ВС = СD = 5 см.

Проведем ВЕ ∥ СD,

ВСDЕ – параллелограмм.

ЕD = ВС = 5 см,

ВЕ = СD = 5 см.

В треугольнику АВЕ, АВ = ВЕ, поэтому

∠ Е = ∠ А = 60°

и треугольник равносторонний. Значит,

АЕ = АВ = 5 см. Поэому

АD = АЕ + ЕD =

= 5 + 5 = 10 (см).

ОТВЕТ: 10 см

Задания к уроку 26

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

воскресенье, 9 декабря 2018 г.