Урок 16. Равнобедренный треугольник и окружность

ВИДЕОУРОК

Описанная окружность равнобедренного треугольника.

Для того, чтобы найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника можно воспользоваться следующей формулой:

ЗАДАЧА:

Основание равнобедренного тупоугольного треугольника равно  18 см, а радиус описанной вокруг него окружности – 15 см. Найдите боковую сторону треугольника.

РЕШЕНИЕ:

В четырёхугольнике  АОВС

АО = ВО = СО = 15 см

как радиусы описанной окружности.

В равнобедренном треугольнике  АВС

АС = ВС, 

основание  

АВ = 18 см.

Высота  СD  лежит на серединном перпендикуляре основания  АВ, поэтому

АD = ВD = 0,5АВ 
= 0,5 × 18 = 9 см.

В треугольнике  ОВD  согласно теореме Пифагора:

СD = СО – DО =
= 15 – 12 = 3 (см).

В треугольнике  СDВ  согласно теореме Пифагора:

ОТВЕТ:  3√͞͞͞͞͞10 см

ЗАДАЧА:

Высота равнобедренного тупоугольного треугольника, опущенная на его основание, равна  8 см, а радиус описанной вокруг неё окружности – 13 см. Найдите боковую сторону треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

ОА = ОВ = ОС = R = 13 см.

ОН = 13 – 8 = 5 (см).

Вписанная окружность равнобедренного треугольника.

Для того, чтобы найти радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника можно воспользоваться следующей формулой:

Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, выраженный через боковую сторону и высоту, опущенную на основание, выражается следующей формулой:

ЗАДАЧА:

Высота равнобедренного треугольника равна  18 см, а радиус вписанной в него окружности – 8 см. Найдите периметр данного треугольника.

РЕШЕНИЕ:

В треугольнику  АВС 

АВ = ВС,

отрезок  ВD – высота,

ВD = 18 см, точка  О – центр вписанной окружности.

Так как  ∆ АВС – равнобедренный, то точка  О  принадлежит его высоте и биссектрисе  ВD, а отрезок  ОD – радиус вписанной окружности,

ОD = 8 см. Тогда

ВО = ВD – ОD = 10 см.

Центром окружности, вписанной в треугольник, будет точка пересечения биссектрис треугольника. Тогда отрезок  АО – биссектриса треугольника  АDВ. Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника

Пусть  АВ = 5х см, х ˃ 0,

тогда АD = 4х см.

Из  ∆ АDВ (∠ АDВ = 90°):

АВ² – АD² = ВD²_,

25х² – 16х² = 18²,

9х² = 324, х = 6.

Поэтому,

АВ = 30 см, АD = 24 см,

АС = 2АD = 48 см.

Тогда

Р = 2АВ + АС = 108 см.

Радиус вписанной и описанной окружности для равностороннего треугольника выражается следующими формулами:

У равностороннего треугольника центры вписанной и описанной окружности, центр тяжести и ортоцентр совпадают, а сумма радиусов описанной и вписанной окружности равна высоте.

ЗАДАЧА:

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороною  12 см ?

РЕШЕНИЕ:

Так как треугольник  АВС – равносторонний, в котором  ВD  является биссектрисой, высотой и медианой, то угол  DВС будет равен  30°.

Треугольник  ВDС – прямоугольный в котором против угла в  30°  находится катет, равный половине гипотенузы. Значит  DС = 6 см.

По теореме Пифагора находим  ВD.

Тогда

r = ¹/₃ ВD = ¹/₃∙ 6√͞͞͞͞͞3 = 2√͞͞͞͞͞3 (см).

ЗАДАЧА:

Определить отношение радиуса вписанной в равносторонний треугольник окружности к радиусу описанной окружности.

РЕШЕНИЕ:

В равностороннем  АВС  его три медианы, биссектрисы и высоты совпадают и пересекаются в одной точке – центре треугольника. Радиусом описанной окружности будет отрезок, соединяющий центр  О  с одной из вершин треугольника.

А вписанной – апофема  ОD. Но так как  АО  ещё и биссектриса, то  

∠ ОАD = 30°, 

а  ∆ АOD – прямоугольный, следовательно,

ЗАДАЧА:

Окружность касается одного из катетов равнобедренного прямоугольного треугольника и проходит через вершину противоположного острого угла. Найдите радиус окружности, если её центр находится на гипотенузе треугольника, а катет треугольника равен  10 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть   АВС – заданный прямоугольный треугольник  (∠ А = 90°),

АВ = АС = 10 см.

О ∈ ВС – центр окружности, которая проходит через точку  С.

Е – точка касания окружности до катета  АВ.

В треугольнику  АВС

∠ В = ∠ С = 45°  і 

АВ = АС = 10 (см).

Пусть  ОС = ОЕ = х (см).

Из треугольника 

ОЕВ (∠ Е = 90°, ∠ В = 45°) 

ОВ = √͞͞͞͞͞2  ∙ ОЕ = √͞͞͞͞͞2 х (см).

Так как  ВС = ОВ + ОС,

то имеем: 

10√͞͞͞͞͞2 = √͞͞͞͞͞2 х + х, 

откуда

ОТВЕТ:  10(2 – √͞͞͞͞͞2) см

Задания к уроку 16

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Точка и прямая
• Урок 2. Угол
• Урок 3. Параллельные и перпендикулярные прямые
• Урок 4. Окружность
• Урок 5. Угол и окружность
• Урок 6. Треугольник (1)
• Урок 7. Треугольник (2)
• Урок 8. Прямоугольный треугольник (1)
• Урок 9. Прямоугольный треугольник (2)
• Урок 10. Равнобедренный треугольник (1)
• Урок 11. Равнобедренный треугольник (2)
• Урок 12. Периметр треугольника
• Урок 13. Периметр равнобедренного (равностороннего) треугольника
• Урок 14. Треугольник и окружность
• Урок 15. Прямоугольный треугольник и окружность
• Урок 17. Четырёхугольники
• Урок 18. Параллелограмм
• Урок 19. Периметр параллелограмма
• Урок 20. Прямоугольник
• Урок 21. Периметр прямоугольника
• Урок 22. Квадрат
• Урок 23. Ромб
• Урок 24. Периметр ромба
• Урок 25. Трапеция
• Урок 26. Равнобедренная трапеция
• Урок 27. Периметр трапеции
• Урок 28. Четырёхугольник и окружность (1)
• Урок 29. Четырёхугольник и окружность (2)
• Урок 30. Многоугольник
• Урок 31. Правильный многоугольник
• Урок 32. Осевая и центральная симметрии