Урок 30. Многоугольник

вторник, 17 марта 2015 г.

Урок 30. Многоугольник

ВИДЕОУРОК

Многоугольник – геометрическая фигура, составленная из отрезков

А₁А₂, А₂А₃, А₃А₄, …, А_n_-1А_n, А_nА₁

таким образом, что смежные отрезки (отрезки, имеющие общие концы) не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.

Вершины многоугольника – точки

А_1,А₂, …, А_n_-1А_n.

Стороны многоугольника – отрезки

А₁А₂, А₂А₃, А₃А₄, …, А_n_-1А_n, А_nА₁.

Периметр многоугольника – сумма длин всех его сторон. Периметр многоугольника обозначают буквой Р. Если каждая сторона n-угольника равна а, то его периметр можно вычислить по формуле:

Соседние вершины многоугольника – две вершины, принадлежащие одной стороне.

Диагональ многоугольника – отрезок, который соединяет любые две не соседние вершины многоугольника.

n – угольник – многоугольник с n вершинами, имеющий n сторон.

Многоугольник обозначают названиями его вершин. При этом буквы, что стоят в названии многоугольника рядом, будут названиями соседних вершин.

Например, восьмиугольник

ABCDEFGQ

нельзя назвать

ACBDEFGQ.

Длина каждой стороны многоугольника меньше чем сумма длин всех других сторон.

Выпуклый многоугольник – многоугольник, который лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

ABCDE – выпуклый многоугольник.

FKLMN – невыпуклый многоугольник.

Свойства выпуклого n – угольника.

– сумма внешних углов выпуклого n – угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°;

– из одной вершины выпуклого многоугольника выходит (n – 3) диагоналей, которые разбивают его на (n – 2) треугольника;

– в выпуклом многоугольнике будет

диагоналей;

– выпуклый многоугольник существует, если сумма его углов
кратна 180°.

Сумма углов выпуклого n – угольника равна

ПРИМЕР:

Многоугольник ABCDE.

Углы выпуклого 5 – угольника – углы

EAB, ABC, BCD, CDE, DEА

Вершины

A, B, C, D, E.

Стороны

AB, BC, CD, DE, EА.

Периметр

Р = AB + BC + CD + DE + EА.

ПРИМЕР:

ABCD – не является многоугольником, так как

АС и ВD – несмежные отрезки – имеют общую точку.

ПРИМЕР:

ABC – треугольник,

n = 3.

ABCD – четырёхугольник,

n = 4.

ABCDEF – шестиугольник,

n = 6.

ЗАДАЧА:

Сколько сторон имеет выпуклый n–угольник, каждый угол которого равен 120° ?

РЕШЕНИЕ:

Выпуклый n-угольник имеет n углов и n сторон. Сумма углов n-угольника равна

(n – 2) × 180°,

Или n × 120° по условию.

Следовательно,

120n = 180n – 360,

60n = 360, n = 6.

ОТВЕТ: 6 сторон.

Окружность, вписанная в многоугольник – окружность, которая касается всех его сторон.

Многоугольник, описанный около окружности – многоугольник, в который вписана окружность.

Окружность, описанная около многоугольника – окружность, на которой лежат все вершины многоугольника.

Многоугольник, вписанный в окружность – многоугольник, около которого описана окружность.

ЗАДАЧА:

Многоугольник ABCDE вписан в окружность с центром в точке О, градусная мера дуги АВ равна 100°. Найдите угол между диагоналями BD и AD.

РЕШЕНИЕ:

Проведём диагонали BD и AD. Тогда угол BАD – вписанный в окружность, а его градусная мера равна половине центрального, на который он опирается. Данный центральный угол АОВ опирается на дугу АВ, поэтому его градусная мера равна градусной мере дуги АВ и равна 100°. Поэтому, угол BDА равен 50°.

ОТВЕТ: 50°

Задания к уроку 30

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

вторник, 17 марта 2015 г.