Урок 8. Прямоугольный треугольник (1)

четверг, 22 января 2015 г.

Урок 8. Прямоугольный треугольник (1)

ВИДЕОУРОК

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой (90°).

Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла, – называется гипотенузой, а две других стороны – катетами. В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза больше каждого катета.

Два прямоугольных треугольника равны, если:

– катеты одного из них равны соответственно катетам другого;

– катет и прилегающий острый угол одного треугольника равен соответственно катету и прилегающему острому углу другого;

– гипотенуза и прилегающий угол одного треугольника равны соответственно гипотенузе и прилегающему углу другого;

– катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и гипотенузе другого.

Если АNМ – прямоугольный треугольник с прямым углом N, то его катет АN – перпендикуляр, проведённый из точки А на прямую NМ. Гипотенузу АМ называют также наклонной, проведённой из точки А до прямой NМ, а катет NМ – проекцией этой наклонной на прямую NМ. Любой треугольник можно разрезать на два прямоугольных треугольника, а для каждого прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора.

Если в треугольнике АNМ угол N – прямой, то

NМ² + АN² = АМ².

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник является прямоугольным.

Если в треугольнике со сторонами а, b і с справедливо неравенство

а² + b² < с²,

то угол лежащий против стороны с – тупой.

В прямоугольном треугольнике против угла 30°, лежит катет равный половине гипотенузы.

Пифагоровы треугольники – прямоугольные треугольники, длины сторон которых выражаются целыми числами.

Например, треугольники со сторонами

5, 12 и 13; 8, 15 и 17; 7, 24 и 25

являются пифагоровыми.

Египетский треугольник – прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5.

ЗАДАЧА:

Определите вид треугольника АВС, если

∠ А = 37°, ∠ В = 53°.

РЕШЕНИЕ:

∠ С = 180° – (37° + 53°) =

= 180° – 90° = 90°,

поэтому треугольник АВС – прямоугольный.

ЗАДАЧА:

Определите вид треугольника, стороны которого равны

26 см, 24 см, 10 см.

РЕШЕНИЕ:

Так как

24² + 10² = 576 + 100 =

= 676 = 26²,

то треугольник прямоугольный.

ЗАДАЧА:

Дано: ∆ АВС,

∠ С = 90°,

АС = 3 см,

ВС = 5 см.

Найти: АВ.

РЕШЕНИЕ:

АВ² = АС² + ВС²,

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

Дано: ∆ АВС,

∠ С = 90°,

АВ = 10 см,

ВС = 5 см.

Найти: АС.

РЕШЕНИЕ:

АВ² = АС² + ВС²,

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

Найдите катет прямоугольного треугольника, если его другой катет и гипотенуза соответственно равны

1 см, √͞͞͞͞͞17 см.

РЕШЕНИЕ:
ЗАДАЧА:

С точки до прямой проведены две наклонные, длины проекций которых на эту прямую равны 6 см и 15 см. Найдите длины наклонных, если они относятся как 10 : 17.

РЕШЕНИЕ:

Нарисуем чертёж.
Составим пропорцию
Пусть АВ = 10х,

тогда АС = 17х.

З ∆ АОС (∠ О = 90°),

АО² = АС² – ОС² =

= 289х² – 225.

З ∆ АОВ (∠ О = 90°),

АО² = АВ² – ВО² =

= 100х² – 36.

Откуда:

289х² – 225 = 100х² – 36,

289х² = 289, х² = 1, х = 1.

Поэтому,

АВ = 10 ∙ 1 = 10 (см),

АС = 17 ∙ 1 = 17 (см).

ЗАДАЧА:

Из точки до прямой проведено две наклонных линии длиной 13 см и 15 см. Найдите расстояние от данной точки до прямой, если разность проекций этих наклонных на прямую равна 4 см.

РЕШЕНИЕ:

Нарисуем чертёж.
КС – ВК = 4 см.

Пусть ВК = х,

тогда КС = х + 4.

З ∆ АКВ (∠ К = 90°),

АК² = АС² – КС² =

= 225 – (х + 4)².

Откуда:

169 – х² = 225 – х² – 8х – 16,

8х = 40, х = 5 (см)

Поэтому, ВК = 5 см,
Задания к уроку 8

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

четверг, 22 января 2015 г.