среда, 14 января 2015 г.

Урок 5. Угол и окружность

ВИДЕОУРОК
Центральный угол – угол с вершиной в центре окружности. 

ПРИМЕР:

АОВ центральный угол.
Стороны центрального угла пересекают окружность в двух точках и делят её на две дуги. 
Если центральный угол развёрнутый, то ему соответствуют две полуокружности. 
Если центральный угол неразвёрнутый, то дуга, расположенная внутри этого угла, меньше полуокружности, а вторая дуга больше полуокружности. 
Каждая дуга окружности содержит некоторую угловую меру – меру соответствующего ей центрального угла. Говорят также, что центральный угол измеряется дугою, на которую он опирается. 
Пишут: 

АВ = 60°.

Угловая мера всей окружности равна  360°
Полуокружность равна развёрнутому углу, то есть она равна  180°. Если дуга окружности меньше или равна полуокружности, то её градусная мера равна градусной мере соответствующего ей центрального угла. Если дуга окружности больше полуокружности, то её градусная мера равна  360°  минус центральный угол. Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна  360°.

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Если дуга лежит во внутренней области вписанного угла, то говорят, что данный вписанный угол опирается на эту дугу.

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Если дуга лежит во внутренней области вписанного угла, то говорят, что данный вписанный угол опирается на эту дугу.

ПРИМЕР:

АВС вписанный угол.
– вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается;

ЗАДАЧА:

Угол  АВС вписанный в окружность с центром  О, угол 
АОС = 120°.
Найти угол  АВС.
РЕШЕНИЕ:

АВС = 1/2 АОС = 
1/2 ×120° = 60°.

ОТВЕТ:  60°.

ЗАДАЧА:

Точки  А, В  и  С  лежат на окружности с центром  О. Найдите угол  АОС, если АВС = 66°.

РЕШЕНИЕ:

Угол  АВС, вписанный в окружность, опирается на дугу  АС.
АОС = 132°так как это центральный угол данной окружности и он в два раза больше вписанного.

– вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны;
– вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой;

ЗАДАЧА:

Точка  О – центр окружности, изображённой на рисунку.
Найдите градусную меру угла  АОС.

РЕШЕНИЕ:

Вписанный угол  АВС  опирается на дугу  АmС, поэтому градусная мера дуги будет равна

2 ∙ 130° = 260°.

Градусная мера дуги, на которую опирается центральный угол АОС равна

360° – 260° = 100°,

АОС = 100°.

ЗАДАЧА:

Найдите вписанный угол, который опирается на дугу, которая составляет 1/4  части окружности.

РЕШЕНИЕ:

360° : 4 = 90° – мера дуги,

90° : 2 = 45° – мера вписанного угла.

ЗАДАЧА:

Точка  О – центр окружности, изображенной на рисунку. Найдите градусную меру угла  АВС.
РЕШЕНИЕ:

АС = 52°, тогда

АВС  = 1/2 АС =

= 1/2 52° = 26°.

Длина дуги окружности.

Угол и дуга измеряются в градусах и радианах. Длина дуги
где  n  – градусная мера соответствующего центрального угла.
Пусть  l – длина дуги окружности радиуса  R, α – радианная мера центрального угла этой окружности, опирающегося на рассматриваемую дугу.
На основании определения радианной меры угла имеем:
Последнее равенство позволяет выразить длину  l  дуги окружности через  α  и  R:

l = R α.

Длина окружности равна длине радиуса этой окружности, умноженной на радианную меру центрального угла, опирающегося на эту дугу.

ЗАДАЧА:

Найдите градусную меру дуги окружности, длина которой равна  π см, если радиус окружности равен  12 см.

РЕШЕНИЕ:
ЗАДАЧА:

Найдите градусную меру дуги окружности, длина которой равна  2π см, если радиус окружности равен  6 см.

РЕШЕНИЕ:
ЗАДАЧА:

Концы хорды окружности делят её на две дуги, градусные меры которых относятся как  1 : 17. Найдите  градусную меру меньшей дуги.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  х – градусная мера одной дуги, тогда  17х – другой.

х + 17х = 360°,

18х = 360°х = 20°.

ЗАДАЧА:

Найдите длину дуги окружности, градусная мера которой равна  60°, если радиус окружности – 7 см.
РЕШЕНИЕ:

Длина окружности равна

2π   7 = 14π см.

Длина дуги окружности равна

14π : 360° 60° = 7π/3 см.

ЗАДАЧА:

Найдите длину  1/3  дуги окружности радиуса  12 см.

РЕШЕНИЕ:

l = 2πr = 2π12 = 24π см,

1/3 l =1/324π = 8π см.

ЗАДАЧА:

Точки  M  и  N  делят окружность на две дуги, разность градусных мер которых равна  90°. Чему равны градусные меры каждой из дуг ?

РЕШЕНИЕ:

Сумма градусных мер дуг равна  360°, а разность равна  90°. Обозначим градусные меры этих дуг  х  и  у. Имеем:
Решая эту систему, получим:

х = 225°, у = 135°.

ЗАДАЧА:

Найти длину  l  дуги окружности радиуса  20 см, если эта дуга стягивает центральный угол, равный  48°42'.

РЕШЕНИЕ:

Мы знаем, что один радиан равен:

1 рад = 57°18'.

Значит, радианная мера угла  48°42'  будет равна:

48°42' : 57°18' ≈ 0,8467 ≈ 0,8500.

Тогда имеем:

l 20 0,8500 17 см.

ЗАДАЧА:

Найти длину  l  дуги окружности, радиус которой  R, равен  25 см, если дуга содержит  42°24'.

РЕШЕНИЕ:

Радианная мера данной дуги равна  0,7400. Тогда дуга вычисляется так:

l = 25 ∙ 0,7400 ≈ 18,5 см.

– угол, вершина которого лежит в середине окружности, измеряется полу суммой двух дуг, на которые опираются данный и вертикальный c ним углы;
– угол, стороны которого пересекают окружность, а вершина лежит вне окружности, измеряется полуразностью дуг этой окружности, которые лежат внутри угла;
– угол между касательной и хордой, которая проходит через точку касания, измеряется половиной дуги, которая лежит между его сторонами.
– если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

ПРИМЕР:

Если  АВ  и  СD – хорды окружности, пересекающиеся в точке  К, то
АК × ВК = СК × DК.
– отрезки касательных к окружности, приведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через точку и центр окружности.
Задания к уроку 5
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий