Урок 7. Треугольники (2)

вторник, 31 марта 2015 г.

Урок 7. Треугольники (2)

ВИДЕОУРОК

Высотою треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

Каждый треугольник имеет три высоты. Высоты треугольника, или их продолжения пересекаются в одной точке. В остроугольном треугольнике точка пересечения высот находится внутри треугольника, а в тупоугольном – вне треугольника. Точка пересечения высот, или их продолжений – ортоцентр.

Ортоцентр О тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.

Ортоцентр О остроугольного треугольника лежит в середине треугольника.

Высоты треугольника, опущенные на стороны а, b, с, обозначаются соответственно через h_a, h_b, h_c и вычисляются по формулам

– полупериметр треугольника.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

ЗАДАЧА:

В треугольнике АВС: АD и ВЕ – высоты, пересекающиеся в точке F, ∠ ЕFD = 104°. Найти ∠ C.
РЕШЕНИЕ:

∠ AFE = 180° – ∠ EFD = 76°, тогда

∠ FAE = 90° – ∠ AFE = 14°

(так как ∠ FEA = 90°).

В треугольнике ADC, угол D = 90°, значит

∠ С = 90° – ∠ FAE = 90° – 14° = 76°.

ЗАДАЧА:

В треугольнике АВС: СЕ и ВF – высоты, пересекающиеся в точке Т, ∠ СТВ = 152°. Найти ∠ А.
РЕШЕНИЕ:

∠ FТС = 180° – ∠ СТВ = 28°, тогда

∠ ТСF = 90° – ∠ FТС = 62°

(так как ∠ ТEС = 90°).

В треугольнике AЕC, угол Е = 90°, значит

∠ А = 90° – ∠ ТСF = 90° – 62° = 28°.

ЗАДАЧА:

В треугольнике АВС: ∠ А = 60°, ∠ С = 80°, СЕ и АD – высоты, пересекающиеся в точке F. Найти ∠ ЕFD.
РЕШЕНИЕ:

В треугольнике AЕC, угол Е = 90°, ∠ А = 60°,

тогда ∠ АСЕ = 90° – 60° = 30°.

Аналогично в треугольнике АDС находим, что ∠ DАС = 10°.

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то

∠ АFС = 180° – 10° – 30° = 140°.

Углы АFС и ЕFD равны как вертикальные, тогда ∠ EFD = 140°.

ЗАДАЧА:

В треугольнике АВС: АЕ и ВF – высоты, пересекающиеся в точке О, ∠ FВС = 19°. Найти ∠ FОЕ.
РЕШЕНИЕ:

В треугольнике ВОЕ, угол Е = 90°, ∠ ОВЕ = 19°,

тогда ∠ ВОЕ = 90° – 19° = 71°.

∠ FОЕ смежный с ∠ ВОЕ , тогда их сумма равна 180° и, значит, ∠ FОЕ = 109°.

Биссектрисою треугольника называют отрезок биссектрисы угла треугольника, который соединяет его вершину с точкой на противоположной стороне треугольника.

Каждый треугольник имеет три биссектрисы. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая находится в середине треугольника. Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные до прилежащих сторон.

NL – биссектриса

Биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противоположной стороны в такой точке, расстояния которой до концов этой стороны пропорциональны прилежащим сторонам.

В разностороннем треугольнике каждая биссектриса находится между медианой и высотой, опущенных из этой вершины. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрис – инцентр.

В ∆ АВС биссектрисы углов А, В, С, которые лежат против сторон а, b, с, обозначаются соответственно l_a, l_b, l_c и вычисляются по формулам

где p = ¹/₂ (a + b + c).

Кроме того, биссектрисы могут быть вычислены по формулам

ЗАДАЧА:

В треугольнике АВС сторона ВС равна 14 см, АC – 12 см. Найти сторону АВ, если АD – биссектриса и DС равно 8 см.

РЕШЕНИЕ:

– по свойству биссектрисы треугольника.

ВD = ВС – DС =

14 см – 8 см = 6 см.

ОТВЕТ: 9 см.

ЗАДАЧА:

В треугольнике АВС

∠ А = 60°, ∠ В = 80°.

Биссектриса АD этого треугольника отсекает от него треугольник ACD. Найдите углы этого треугольника.
РЕШЕНИЕ:

Так как сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠ С будет равен:

∠ С = 180° – 80° – 60° = 40°.

Биссектриса делит ∠ ВАС пополам, значит ∠ DАС равен 30°.

Тогда ∠ АDС будет равен 110°.

ОТВЕТ:

∠ С = 40°,

∠ DАС = 30°,

∠ АDС = 110°.

ЗАДАЧА:

Отрезок АD – биссектриса треугольника АВС, изображённого на рисунку. Найдите длину стороны АС ?

РЕШЕНИЕ:

По свойству биссектрисы
ЗАДАЧА:

Отрезок АМ – биссектриса треугольника АВС,

АВ = 30 см, АС = 40 см,

СМ – ВМ = 5 см.

Найдите ВС.

РЕШЕНИЕ:

Нарисуем чертёж.
Обозначим

ВМ = х, СМ = х + 5.

тогда
30х + 150 = 40х, х = 15,

ВС = х + х + 5 = 35 (см).

ЗАДАЧА:

В треугольнике АВС: ВР и АQ – биссектрисы, пересекающиеся в точке К, ∠ С = 75°. Найдите угол РКQ.
РЕШЕНИЕ:

∠ АКР = ∠ РКQ, так как они вертикальные.

∠ КАВ = 0,5 ∙ ∠ САВ,

∠ АВК = 0,5 ∙ ∠ АВС,

тогда при учёте т ого, что сумма углов в треугольнике равна 180°

(∠ САВ + ∠ АВС + ∠ С = 180°).

∠ КАВ + ∠ АВК =

= 0,5∙ (∠ САВ + ∠ АВС) =

= 0,5∙ (180° – 75°) = 52,5°, значит,

∠ АКВ = 180° – (∠ КАВ + ∠ АВК) =

= 180° – 52,5° = 127,5°.

Таким образом,

∠ РКQ = 127,5°.

Медиана треугольника.

Медианою треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Каждый треугольник имеет три медианы.

Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке, которая находится в середине треугольника и называется центроидом (центр масс или центр тяжести).

Медиану обозначают буквою m.

Медианы точкою пересечения делятся в отношении 2 : 1, начиная от вершины треугольника.

AN – медиана, ВL – медиана, CM – медиана.

AO : ON = BO : OL =
CO : OM = 2 : 1

Если медианы проведены к сторонам a, b и c, то соответственно они записываются так: m_a m_b и m_c.

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (с равными площадями).

S_ABM = S_CBM

Все медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.

S_APN = S_BPN = S_BKN = S_CKN = S_CMN = S_AMN

Если точку пересечения медиан треугольника соединить отрезками с вершинами треугольника, то треугольник разделится на три равновеликих треугольника.

S_A_ВN = S_B_СN = S_АСN

Если ВС = а, АС = b, АВ = с, то:

Медиана треугольника есть геометрическое место точек, являющихся серединами отрезков прямых, заключённых внутри треугольника, параллельных той стороне, к которой проведена медиана.

ЗАДАЧА:

В треугольнике АВС на стороне АС отмечены точки M и N так, что М – середина АN, а BN – медиана в треугольнике ВMС. Во сколько раз АС длиннее, чем МN ?

РЕШЕНИЕ:

AM = MN,

MN = NC,

тогда

AC = AM + MN + NC = 3MN,

AC = AM : MN = 3.

ЗАДАЧА:

В треугольнике АВС заданы медианы

m_a, m_b, m_c.

Найти стороны треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим стороны треугольника

АВ = с, АС = b, ВС = а.

Тогда используя формулы медиан, получим систему уравнений:

Складывая все уравнения системы, получим:

Умножим обе части уравнения на 2.
Разделим обе части уравнения на 3, и получим следующее уравнение:

Вычтем из полученного равенства первое уравнение системы
или
Аналогично вычитая из полученного равенства
последовательно второе, а затем третье уравнение системы, получим следующий результат:

Отсюда получаем формулы для вычисления сторон треугольника через его медианы:

Задания к уроку 7

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

вторник, 31 марта 2015 г.