Урок 1. Точка и прямая

среда, 26 ноября 2014 г.

Урок 1. Точка и прямая

ВИДЕОУРОК

Первичные понятия.

Поверхность можно представить как общую часть двух смежных областей пространства или как бесконечно тонкий слой, который разделяет две смежные части пространства. Поверхность не имеет толщины.

Линия представляется как общая часть (граница) двух смежных участков поверхности. В результате пересечения двух поверхностей мы получаем линию. Линия имеет лишь одно измерение – длину.

Точка отделяет смежные части линии. Ясное представление о точках дают пересечения линий между собой и линий с поверхностью. Точка не имеет измерения.

Плоскость – частный вид поверхности, любая часть которой может быть совмещена с исходной плоскостью в любом её месте как в прямом, так и в перевёрнутом виде. Если через две точки плоскости провести прямую линию, то и все точки этой прямой будут находиться на плоскости.

Прямая – частный вид линии. Представление о ней дат пересечение двух плоскостей. Прямая делит плоскость на две полуплоскости. Это деление имеет следующее свойство, если концы какого-нибудь отрезка лежат на одной полуплоскости, то отрезок не пересекает эту прямую.

Бесконечная прямая – прямая, продолжающаяся в обе стороны бесконечно. Обычно бесконечную прямую называют просто прямой.

Отрезок прямой – часть прямой, ограниченной с двух сторон точками.

Луч, или полупрямая – часть прямой, ограниченная лишь с одной стороны, т. е. часть прямой, выходящей из заданной точки и уходящей в бесконечность в данном направлении. Эта точка называется начальной точкой полупрямой. Разные полупрямые одной и той же прямой из общей начальной точки называются дополнительными.

Ломаная линия – линия, образуемая отрезками прямых, не лежащих на одной прямой и расположенных так, что конец первого отрезка служит началом второго, конец второго – началом третьего и т. д.отрезки прямых, образующих ломаную, называются сторонами (звеньями) ломаной. Точки стыков отрезков называются вершинами ломаной. Ломаная линия называется выпуклой, если все её звенья расположены по одну сторону от каждого входящего в её состав отрезка, продолженного неограниченно в оба конца. Ломаная линия называется замкнутой, если концы её сходятся в одну точку.

Точками самопересечения ломаной линии называются такие точки, в которых пересекаются её звенья. Концы звеньев при этом не учитываются.

Основными геометрическими фигурами на плоскости есть точка и прямая. Точки принято обозначать большими латинскими буквами A. B, C, D, … . Прямые обозначаются маленькими латинскими буквами a, b, c, d, … . Прямая бесконечна. Мы изображаем лишь часть прямой, но представляем её бесконечно длинной в оба конца.

Прямые а и b пересекаются в точке С. Точка С есть точкой пересечения прямых а и b. Точки А и С лежат на прямой а. Можно сказать также, что точки А и С принадлежат прямой а, или прямая а проходит через точки А и С.

Основные свойства точек и прямых на плоскости.

– для любой прямой существуют точки, которые принадлежат этой прямой, и точки, которые не принадлежат ей;

– через любые две точки можно провести одну прямую и только одну;

– из трёх точек на одной прямой одна и только одна лежит между двумя другими;

– если две прямые наложены одна на другую так, что какие-нибудь две точки прямой совпадают с двумя точками другой прямой, то эти прямые совпадают и во всех остальных точках;

– две прямые могут пересекаться лишь в одной точке;

– прямая разбивает плоскость на две полуплоскости;

– на любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок данной длины и только один;

– прямая линия обладает свойством скольжения – любой её участок может скользить в обе стороны прямой бесконечно.

Отрезок.

Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой примой, которые лежат между двумя её точками.

ПРИМЕР:

Прямая между точками А и С называется отрезком, а точки А и С концами этого отрезка. Длину отрезка АС называют также расстоянием между точками А и С.

Серединою отрезка называется точка, которая лежит на этой прямой и делит этот отрезок пополам.

Равенство и неравенство отрезков.

Два отрезка считаются равными, если при наложении они
совмещаются всеми точками.

Если на данном отрезке взять две точки, из которых хотя бы одна не совпадает с его концом, то отрезок, ограниченный этими точками, называется частью отрезка. Если один отрезок равен части второго, то говорят, что первый меньше второго, а второй больше первого. Отрезок считается ориентированным, если обусловлены его начало и конец.

Сложение и вычитание отрезков.

Сложением (вычитанием) отрезков называется графическая операция, с помощью которой на некоторой прямой может быть построен отрезок, являющийся суммой слагаемых отрезков (или отрезок – разность отрезков уменьшаемого и вычитаемого). Сложение отрезков следует отличать от сложения длин отрезков. В результате сложения отрезков находим длину отрезка-суммы.

Суммой двух или нескольких отрезков называется отрезок, построенный на некоторой прямой по слагаемым без их взаимного наложения и без промежутков между ними (стыка отрезков).

Сумма отрезков обладает переместительным и сочетательным свойствами.

Разностью двух отрезков называется отрезок, построенный путём наложения меньшего отрезка на больший так, чтобы начала или концы их совместились.

ПРИМЕР:

Найти (построить) отрезок

AB + NM + PQ,

где AB, NM и PQ – данные отрезки.

РЕШЕНИЕ:

На произвольной прямой от некоторой точки R откладываем в любую сторону один из данных отрезков AB, NM и PQ. Далее на этой же прямой откладываем любой из оставшихся отрезков так, чтобы один из концов совместился с каким-либо из концов отложенного отрезка, но без наложения этих отрезков. Таким же образом поступаем со следующим отрезком.

ПРИМЕР:

По данной сумме двух отрезков и одному из отрезков-слагаемых построить другой.

РЕШЕНИЕ:

На отрезке-сумме от любого из концов отложим данный отрезок-слагаемое. Оставшийся отрезок будет искомым.

Умножение и деление отрезков на число.

Умножить отрезок на целое положительное число n значит найти сумму n таких отрезков. Отрезок, полученный в результате, является отрезком-произведением.

Разделить отрезок на целое положительное число n значит найти такой отрезок, после умножения которого на число n получим данный отрезок.

Умножить отрезок на положительную рациональную дробь ^m/_n значит умножить этот отрезок на число m и полученный отрезок разделить на n частей. Можно выполнить также сначала деление на n, а затем умножение на m.

Длина отрезка.

Каждый отрезок имеет некоторую длину, большую от нуля. Измерить отрезок, соизмеримый с некоторым отрезком, принятым за единицу длины, значит узнать, сколько раз в нём содержится эта единица или какая-нибудь часть (доля) её. Чтобы измерить отрезок, нужно иметь единичный отрезок (единицу измерения). Например: 1 сантиметр или 1 миллиметр. Для измерения отрезков пользуются разными измерительными инструментами. Простейшими являются линейка и циркуль. Число, полученное в результате измерения, определяет длину отрезка. Таким образом, длина отрезка, соизмеримая с единицей длины, называется число, на которое надо умножить единицу длины, чтобы получить данный отрезок. Это число рациональное.

Отношение отрезков.

Отношением двух отрезков называется отношение их длин, измеренных с помощью одной и той же единицы длины.

ПРИМЕР:

Если отрезки АВ и СD имеют длины m и n, это записывается так:

В частности, отношение отрезка к единице длины численно равно длине отрезка. Отношение двух отрезков не зависит от единицы измерения.

Равенство двух отношений называется пропорцией.

Две пары отрезков называются пропорциональными, если отношение отрезков одной пары равно отношению отрезков другой пары.

ПРИМЕР:

Отрезки АВ и СD пропорциональны отрезкам А₁В₁ и С₁D₁, если:

ПРИМЕР:

Отрезки длиной 2 см и 3 см пропорциональны отрезкам длиной 4 см и 6 см, так как:

Пропорциональными могут быть не только пары отрезков, но и большее их число.

ПРИМЕР:

Отрезки a, b, c, d пропорциональны отрезкам a₁, b₁, c₁, d₁, если:

Отрезок а называется средним пропорциональным отрезком b и c, если:

ПРИМЕР:

Отрезок длиной 24 см разделён на три равные части. Найти расстояние между серединами первой и третьей частей.

РЕШЕНИЕ:

Расстояние между серединами первой и третьей частей будет равно длине отрезка без суммы длин двух половин третьей части всего отрезка, т. е. равно длине всего отрезка без его третьей части. Следовательно, расстояние между указанными серединами равно:

Две точки А и В симметричны относительно точки О, если О – середина отрезка АВ. Точка О симметрична самой себе.

Деление отрезка в заданном отношении.

Делением отрезка AB некоторой точкой N в данном отношении ^m/_n называется такое деление, при котором отношение образующихся в результате отрезков AN и BN равно данному отношению, т. е. имеет место пропорция:

Деление в заданном отношении называется внутренним, если точка N лежит внутри отрезка AB, и внешним – если точка N лежит на продолжении отрезка AB.

ПРИМЕР:

Данный отрезок AB разделить внешним образом в отношении ³/₂.

Проводим через точку A произвольную прямую и на ней от точки A откладываем отрезок AC = 3a, где а – произвольный отрезок. Далее от точки C в сторону точки A откладываем отрезок CD = 2a. Проводим отрезки DB и CN (CN ∥ DB). Точка N и будет искомой, т. е. она делит по определению данный отрезок AB внешним образом в заданном отношении, так как:

Отрезок можно продолжить с помощью линейки в оба два конца. Если продолжим отрезок АВ за его конец В неограниченно, то получим геометрическую фигуру, которую называют лучом АВ.

Точка А – начало луча АВ. Конца в луче нет. При обозначении луча на первом месте пишут букву, которая обозначает начало луча. Если продолжим отрезок АВ за его конец А, то получим луч ВА, началом которого будет точка В. Если мы продолжим отрезок АВ за оба два конца неограниченно, то получим фигуру, которую называют прямою.

Любая точка прямой делит прямую на два луча, которые имеют общее начало.

Полупрямой или лучом называют часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, и лежит по одну сторону от данной на ней точки.

Эта точка называется начальной точкой полупрямой. Разные полупрямые одной и той же самой прямой с общей начальной точкой называются дополнительными. Полупрямые, так же как и прямые, обозначаются малыми латинскими буквами. Можно обозначить полупрямую двумя точками: начальной и ещё какой-нибудь точкой, которая принадлежит полупрямой. Начальную точку ставят на первом месте. Полупрямую, обозначенную жирной линией можно обозначить АВ.

Рассмотрим теперь полупрямые с начальной точкой С (полупрямые СА и СВ). Точка С разделяет точки А и В. Поэтому точки А и В не могут принадлежать одной полупрямой, поэтому, полупрямые СА и СВ дополняющие.

Точки, лучи, отрезки и некоторые другие геометрические фигуры размещаются на плоскости. Когда мы чертим фигуры, то частью плоскости может быть, например, лист тетради или школьная доска. Плоскость не имеет границ, она является <<безграничной>> геометрической фигурой. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Это разграничение имеет такое свойство. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

ЗАДАЧА НА ПОСТРОЕНИЕ:

Разделить данный отрезок пополам.

Из концов А и B данного отрезка АВ одним и тем же произвольным, но большим половины отрезка АВ радиусом R описываем две дуги, которые пересекаются в двух точках С и D. Точки С и D соединяем прямой СD. Точка N пересечения прямых АВ и СD является искомой, делящей отрезок АВ пополам.

Задания к уроку 1

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 26 ноября 2014 г.