среда, 1 апреля 2015 г.

Урок 29. Четырёхугольник и окружность (2)

ВИДЕОУРОК
Ромб и окружность.

В любой ромб можно вписать окружность.
Центр окружности, вписанной в ромб, находится на пересечении его диагоналей.
Радиус, вписанной в ромб окружности, равен половине его высоте.
Радиус вписанной в ромб окружности равен половине произведения стороны ромба на синус его угла.
Радиус вписанной в ромб окружности можно найти, если разделить площадь этого ромба на удвоенную сторону.
Радиус вписанной в ромб окружности можно найти, зная площадь этого ромба и синус угла.
Радиус вписанной в ромб окружности равен произведению его диагоналей, делённому на сторону ромба, умноженную на четыре.
Радиус окружности, вписанной в ромб равен квадратному корню из произведения длин отрезков, на которые радиус делит сторону.
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали.
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол.
Таблица формул, для нахождения радиуса вписанной окружности в ромб.
ЗАДАЧА:

В ромб вписана окружность, радиус которой  5 см. Найдите высоту ромба.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Так как в ромбе радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба, то высота будет в два раза больше.

h = 2r = 2 ∙ 5 = 10 (см).

ЗАДАЧА:

Дан ромб  АВСD. Окружность, описанная около треугольника  АВD, пересекает большую диагональ ромба  АС  в точке  Е. Найдите  СЕ, если

АВ = 8√͞͞͞͞͞5, ВD = 16.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
∆ АОВ – прямоугольный:
По теореме об отрезках пересекающихся хорд:

BO OD = AO OE,

8 8 = 16 OE.

OE = 4,

CE = 16 – 4 = 12.

ОТВЕТ:  12

ЗАДАЧА:

Найти длину окружности  l, вписанную в ромб, диагонали которого равняются  15 см  и  20 см.

РЕШЕНИЕ:

Дан ромб, знаем, что в ромб можно вписать окружность, так как сумма противоположных сторон равна, а также у ромба диагонали взаимно перпендикулярны и равны  15 см  и  20 см  по условию. Сделаем рисунок.
Длина окружности определяется по формуле:

l = 2πR.

У нас неизвестен радиус. Одним из радиусов вписанной окружности будет  ОМ. Рассмотрим треугольник  АОВ. Он прямоугольный. Наша задача сводится к отысканию отрезка  ОМ, который является высотой в этом треугольнике. Поскольку ромб – это параллелограмм, значит, и его диагонали в точке пересечения делятся пополам, следовательно: 

ОB = 7,5 см, а  AO = 10 см.

Дальше думаем, как связать радиус с известными величинами.
Найдём сторону ромба:
Обозначим  МВ = х, тогда 

АМ = (12,5 – х),

Найдём  ОМ  (радиус окружности)  из треугольника  АОМ, а также из треугольника  ОМВ. Приравняем их и найдём  х.
100 – 156,25 + 25хх2
= 56,25 – х2 ,
25х = 56,25 + 56,25,
25х = 112,5,  х = 4,5, 

Так как катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключённым между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла, то получим:
Тогда длина окружности будет равна 

2πR = 2×6 π = 12π (см).

ОТВЕТ:  12π см

Окружность и трапеция.

Вокруг каждой равнобедренной трапеции можно описать окружность.

В трапецию можно вписать окружность, когда сумма её оснований равна сумме боковых сторон.

Высота равнобочной трапеции, в которую можно вписать окружность, является средней геометрической величиной между ее основаниями.
Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то её боковая сторона равняется средней линии:
ЗАДАЧА:

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит её меньшее основание на отрезки  6 см  и  3 см, считая от вершины прямого угла. Вычислить периметр трапеции.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  ABCD  данная трапеция, BC  и  AD  параллельные, AB и  AD  перпендикулярные, точки  M, N, K, E – точки касания вписанной окружности со сторонами трапеции, 

BK = 6 см, CK = 3 см, 

точка  О – центр вписанного круга,

ОК = ON = OM = OE = r.

В четырехугольнике  BKON  углы по  90º, следовательно, он прямоугольник.
За свойством, касательных проведенных к окружности из одной точки

BN = BK = 6 см
KC = EC = 3 см.

Тогда  BKON  квадрат,

ON = OK = OE = 
OM = BK = 6 см,
AB = 12 см, BC = 9 см.

В треугольнике  COD,

OE2 = CE × ED,
ED = 36 : 3 = 12 см.
CD = CE + ED =
3 + 12 = 15 см,
AD = 6 + 12 = 18 см.

Поэтому

P = AB + BC + CD + AD 
12 + 9 + 15 + 18 = 54 см.

ОТВЕТ:  54 см.

ЗАДАЧА:

Найти диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями  12 см  и  20 см, если центр описанной окружности лежит на большом основании.

РЕШЕНИЕ:
Пусть  ABCD  вписанная в окружность трапеция, точка  О – центр описанной окружности,

BC = 12 см, AD = 20 см.

Проведём  CK  перпендикуляр до  AD.

CK = (20 – 12) : 2 = 4 см.
AK = 20 – 4 = 16 см.

Рассмотрим треугольник  ACD,

CK2 = AK × KD = 16 × 4 = 64,
CK = 8 см;
AC2 = AK2 + CK2 = 256 + 64 = 320,
AC = 8√͞͞͞͞͞5 см.
AВ2 = СD2 = 64 + 16 = 80,  
AB = CD = 4√͞͞͞͞͞5 см.

ОТВЕТ:

AC = 8√͞͞͞͞͞5 см.
AB = CD = 4√͞͞͞͞͞5 см.

ЗАДАЧА:

В прямоугольной трапеции точка касания вписанной в неё окружности делит большее основание на отрезки  12 см  и  16 см, начиная от вершины прямого угла. Найдите меньшее основание трапеции.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  ABCD  трапеция описанная вокруг окружности, точка  К – точка касания,

AK = 12 см, KD = 16 см.
AK = OK = OE = r = 12 см,
KD = ED = 16 см.
В треугольнику  COD,

OE2 = CE × ED, CE
= 122 : 16 = 9 см.

ОТВЕТ:  9 см 

ЗАДАЧА:

Концы диаметра окружности удалены от его касательной соответственно на  9 см  и  5 см. Найдите диаметр этой окружности.

РЕШЕНИЕ:

Пусть нам дана окружность с центром в точке  О  и диаметром  АВ. Проведём касательную l   и построим расстояния  

АD = 9 см  и  ВС = 5 см. 

Проведём радиус  ОН.
Так как  AD  и  BC – расстояния до касательной, то  AD l  и  BC l  и так как  ОН – радиус, то  OH l, следовательно, OH AD BC. Из этого всего получаем, что  ABCD – трапеция, а  ОН – её средняя линия. Тогда:
Значит

d = 2OH = 2 × 7 = 14 см.

ОТВЕТ:  14 см.

ЗАДАЧА:

Точка касания окружности, вписанную у прямоугольную трапецию, делит её большее основание на отрезки длиной  2 см  и  4 см. Найдите периметр трапеции.

РЕШЕНИЕ:

Пусть

ABCD  (АD ВС, АВ АD)

прямоугольная трапеция,
К, М, N, Р – точки касания вписаной окружности до соответствующих сторон трапеции.

АР = 2 см, РD = 4 см.

О – центр вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки, получим:

АР = АК = 2 см,

ND = РD = 4 см,

ОР АD, тому  АКОР – квадрат.

ОР = ОМ, тому КВМР = АКРО,

звідки 

ВК = ВМ = АР = 2 см.

Введём обозначение: СМ = х см. По свойству касательных, проведенных из одной точки, получим:

СМ = СN = х см.

Построим высоту  СL  трапеции и получим:

LD = РD – РL = (4 – х) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник  СLD ( L = 90°):

СD = ND + СN =

= (4 + х) см,

СL = 4 см.

По теореме Пифагора имеем:

CD2 – LD2 = CL2,

(4 + x)2(4 – x)2 = 42,

42 + 8x + x242 + 8x – x2 = 16,

16x = 16, x = 1.

Дальше получим:

СD = 4 + 1 = 5 (см),

ВС = 2 + 1 = 3 (см),

АВ = 2 + 2 = 4 (см),

АD = 4 + 2 = 6 (см).

Р = СD + AD + AB + BC =

= 5 + 6 + 4 + 3 = 18 (см).

ЗАДАЧА:

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит точкой касания боковую сторону на отрезки длиной  8 см  и  50 см. Найдите периметр данной трапеции, если радиус вписанной окружности равен  20 см.
РЕШЕНИЕ:

По свойству касательных

ВN = ВK = R,

АN = АF = R,

КС = СР = 8 см,

DР = DF = 50 см.

Поэтому,

Р = 4R + 2(8 + 50) = 4R + 116.

∆СОD (О = 90°).

Напомним соотношения в прямоугольном треугольнике.

Квадрат высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.

OP2 = CP PD,

OP2 = R2 = 8 50 = 400 (см),

 R = 20 (см).

Тогда

Р = 4 20 + 116 = 196 (см).

ВІДПОВІДЬ:  196 см

Задания к уроку 29
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий