Ромб и окружность.
В любой ромб
можно вписать окружность. Центр окружности,
вписанной в ромб, находится на пересечении его диагоналей.Радиус, вписанной
в ромб окружности, равен половине его высоте.
Радиус вписанной в ромб
окружности равен половине произведения стороны ромба на синус его угла.Радиус вписанной в ромб
окружности можно найти, если разделить площадь этого ромба на удвоенную
сторону.Радиус вписанной в ромб
окружности можно найти, зная площадь этого ромба и синус угла.Радиус вписанной в ромб
окружности равен произведению его диагоналей, делённому на сторону ромба,
умноженную на четыре.Радиус окружности, вписанной
в ромб равен квадратному корню из произведения длин отрезков, на которые радиус
делит сторону.Формула радиуса вписанной окружности в ромб
через диагонали.Формула радиуса вписанной окружности в ромб
через диагональ и угол.Таблица формул, для нахождения радиуса вписанной
окружности в ромб.ЗАДАЧА:
В ромб вписана окружность, радиус которой 5
см. Найдите высоту ромба.
РЕШЕНИЕ:
Начертим чертёж.Так как в ромбе радиус вписанной окружности равен
половине высоты ромба, то высота будет в два раза больше.h = 2r = 2 ∙ 5 = 10 (см).
ЗАДАЧА:
Дан ромб АВСD.
Окружность, описанная около треугольника
АВD, пересекает большую диагональ ромба АС в точке
Е.
Найдите СЕ,
если
АВ = 8√͞͞͞͞͞5, ВD = 16.
РЕШЕНИЕ:
Начертим чертёж.∆ АОВ – прямоугольный:По теореме об отрезках пересекающихся хорд:BO∙ OD = AO∙ OE,
8 ∙ 8 = 16∙ OE.
OE = 4,
CE = 16 – 4 = 12.
ОТВЕТ: 12
ЗАДАЧА:
Найти длину окружности
l,
вписанную в ромб, диагонали которого равняются
15
см и
20
см.
РЕШЕНИЕ:
Дан ромб, знаем, что в ромб можно вписать окружность, так
как сумма противоположных сторон равна, а также у ромба диагонали взаимно
перпендикулярны и равны 15 см и 20
см по условию.
Сделаем рисунок.
Длина окружности определяется по формуле:
l =
2πR.
У нас неизвестен радиус. Одним из радиусов вписанной окружности
будет ОМ.
Рассмотрим треугольник АОВ. Он прямоугольный. Наша задача сводится к отысканию отрезка ОМ,
который является высотой в этом треугольнике. Поскольку ромб – это
параллелограмм, значит, и его диагонали в точке пересечения делятся пополам,
следовательно:
ОB = 7,5 см, а AO = 10 см.
Дальше думаем, как связать радиус с известными
величинами.
Найдём сторону ромба:
Обозначим МВ = х, тогда
АМ = (12,5 – х),
Найдём ОМ
(радиус окружности) из
треугольника АОМ, а также из треугольника
ОМВ. Приравняем их и найдём х.
100
– 156,25 + 25х – х2
=
56,25 – х2 ,
25х = 56,25 + 56,25,
25х = 112,5, х =
4,5,
Так как катет прямоугольного треугольника есть среднее
пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключённым между
катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла, то получим:
Тогда длина окружности будет равна
2πR = 2×6 π = 12π (см).
ОТВЕТ: 12π см
Окружность
и трапеция.
Вокруг каждой
равнобедренной трапеции можно описать окружность.
В трапецию можно
вписать окружность, когда сумма её оснований равна сумме боковых сторон.
Высота
равнобочной трапеции, в которую можно вписать окружность, является средней
геометрической величиной между ее основаниями.
Если в равнобедренную
трапецию вписана окружность, то её боковая сторона равняется средней линии:
ЗАДАЧА:
Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную
трапецию, делит её меньшее основание на отрезки
6
см и
3
см, считая от вершины прямого угла. Вычислить периметр трапеции.
РЕШЕНИЕ:
Пусть ABCD данная трапеция, BC и AD параллельные, AB
и AD
перпендикулярные,
точки M,
N, K, E – точки касания вписанной окружности со сторонами
трапеции,
BK = 6 см,
CK = 3 см,
точка О –
центр вписанного круга,
ОК = ON = OM = OE = r.
В четырехугольнике
BKON углы по
90º, следовательно, он прямоугольник.
За свойством, касательных проведенных к окружности из одной
точки
BN = BK = 6 см,
KC = EC = 3 см.
Тогда BKON квадрат,
ON = OK = OE =
OM = BK = 6 см,
AB = 12 см, BC = 9 см.
В треугольнике COD,
OE2 = CE × ED,
ED = 36 : 3 = 12 см.
CD = CE + ED =
3 + 12 = 15 см,
AD = 6 + 12 = 18 см.
Поэтому
P = AB + BC + CD + AD
= 12 + 9 + 15 + 18 = 54 см.
ОТВЕТ: 54 см.
ЗАДАЧА:
Найти диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции
с основаниями 12 см и 20
см, если центр описанной окружности лежит на большом основании.
РЕШЕНИЕ:
Пусть ABCD
вписанная в окружность трапеция, точка
О – центр описанной
окружности,
BC = 12 см, AD = 20 см.
Проведём CK перпендикуляр до AD.
CK = (20 – 12) : 2 =
4 см.
AK = 20 – 4 = 16 см.
Рассмотрим треугольник ACD,
CK2 = AK × KD = 16 × 4 = 64,
CK = 8 см;
AC2 = AK2 + CK2 = 256 + 64 = 320,
AC = 8√͞͞͞͞͞5 см.
AВ2 = СD2 = 64 + 16 = 80,
AB = CD = 4√͞͞͞͞͞5 см.
ОТВЕТ:
AC = 8√͞͞͞͞͞5 см.
AB = CD = 4√͞͞͞͞͞5 см.
ЗАДАЧА:
В прямоугольной трапеции точка касания вписанной в неё окружности
делит большее основание на отрезки 12 см и 16
см, начиная от вершины прямого угла. Найдите меньшее основание трапеции.
РЕШЕНИЕ:
Пусть ABCD трапеция описанная вокруг
окружности, точка К – точка касания,
AK = 12 см, KD = 16 см.
AK = OK = OE = r = 12 см,
KD = ED = 16 см.
В треугольнику COD,
OE2 =
CE × ED, CE
= 122
: 16 = 9 см.
ОТВЕТ: 9 см
ЗАДАЧА:
Концы диаметра
окружности удалены от его касательной соответственно на 9 см и 5 см. Найдите диаметр этой окружности.
РЕШЕНИЕ:
Пусть нам дана
окружность с центром в точке О
и диаметром АВ. Проведём касательную l
и построим расстояния
АD = 9 см
и ВС = 5 см.
Проведём радиус ОН.
Так как AD и BC –
расстояния до касательной, то AD ⊥ l и BC ⊥ l и
так как ОН –
радиус, то OH ⊥ l, следовательно, OH ∥ AD ∥ BC.
Из этого всего получаем, что ABCD – трапеция, а ОН – её средняя линия. Тогда:
Значит
d =
2OH = 2 × 7 = 14 см.
ОТВЕТ: 14 см.
ЗАДАЧА:
Точка касания окружности, вписанную у прямоугольную трапецию,
делит её большее основание на отрезки длиной
2 см и 4 см. Найдите периметр трапеции.
РЕШЕНИЕ:
Пусть
ABCD (АD ∥ ВС, АВ ⊥ АD) –
прямоугольная трапеция,К, М, N, Р – точки касания
вписаной окружности до соответствующих сторон трапеции.АР = 2 см, РD = 4 см.
О – центр вписанной окружности. По свойству
касательных, проведенных из одной точки, получим:
АР = АК = 2 см,
ND = РD = 4 см,
ОР ⊥ АD, тому АКОР – квадрат.
ОР = ОМ, тому КВМР = АКРО,
звідки
ВК = ВМ = АР = 2 см.
Введём обозначение: СМ = х см. По свойству касательных, проведенных из одной точки, получим:
СМ = СN = х см.
Построим высоту СL трапеции и получим:
LD = РD – РL = (4 – х)
см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник СLD (∠ L = 90°):
СD = ND + СN =
= (4 + х) см,
СL = 4 см.
По теореме Пифагора имеем:
CD2 – LD2 = CL2,
(4 + x)2 – (4 – x)2 = 42,
42 + 8x + x2 – 42 + 8x – x2 = 16,
16x = 16, x = 1.
Дальше получим:
СD = 4 + 1 = 5 (см),
ВС = 2 + 1 = 3 (см),
АВ = 2 + 2 = 4 (см),
АD = 4 + 2 = 6 (см).
Р = СD + AD + AB + BC =
= 5 + 6 + 4 + 3 = 18 (см).
ЗАДАЧА:
Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию,
делит точкой касания боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 50 см. Найдите периметр данной трапеции, если радиус
вписанной окружности равен 20 см.РЕШЕНИЕ:По свойству касательных
ВN = ВK = R,
АN = АF = R,
КС = СР = 8 см,
DР = DF = 50 см.
Поэтому,
Р = 4R + 2(8 + 50) = 4R + 116.
∆СОD (∠ О = 90°).
Напомним соотношения в прямоугольном треугольнике.
Квадрат высоты прямоугольного треугольника, опущенной на
гипотенузу, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.
OP2 = CP∙ PD,
OP2 = R2 = 8 ∙ 50 = 400 (см),
R = 20 (см).
Тогда
Р = 4 ∙
20 + 116 = 196 (см).
ВІДПОВІДЬ: 196 см
Задания к уроку 29
Комментариев нет:
Отправить комментарий