Урок 28. Четырёхугольник и окружность (1)

понедельник, 2 февраля 2015 г.

Урок 28. Четырёхугольник и окружность (1)

ВИДЕОУРОК

Четырёхугольник, все вершины которого касаются окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность называют описанной вокруг четырёхугольника.

Вокруг четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°.

Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.

Четырёхугольник, все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность называют вписанной в этот четырёхугольник.

В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.

AB = a, BC = b,
CD = c, DA = d.

a + c = b + d

Если сумма двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна сумме двух других его сторон, то такой четырёхугольник можно описать вокруг окружности.

Не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность и не вокруг каждого четырёхугольника можно описать окружность.

ЗАДАЧА:

Найдите угол АDС четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если

∠ АСD = 32°,

∠ СВD = 56°.
РЕШЕНИЕ:

∠ 1 = ∠ СВD = 56°

(опираются на одну дугу DС). Из ∆ АСD:

56° + 32° + ∠ АDС = 180°,

∠ АDС = 180° – 88° = 92°.

ЗАДАЧА:

Вокруг окружности описан четырёхугольник АВСD, у которого

АВ = 14 см,

ВС = 16 см,

АD = 18 см.

Найдите длину стороны СD.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
AB + CD = AD + ВC,

CD = AD + ВC – AВ =

=18 + 16 – 14 = 20 (см).

ЗАДАЧА:

Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Диагональ АС данного четырёхугольника является диаметром окружности. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника, который лежит против стороны AD, если

∠ ВАС = 23°,

∠ DАС = 52°.

РЕШЕНИЕ:

Пусть ABCD – данный четырёхугольник, вписанный в окружность, АС – диаметр окружности. Поэтому,

∠ B =∠ D = 90°.

Пусть К – точка пересечения диагоналей четырёхугольника, тогда искомый угол – АКD. Углы ВАС и ВDС опираются на одну и ту же дугу и лежат с одной стороны от хорды ВС. Поэтому,

∠ BDC =∠ DAC = 23°.

Поскольку ∠ D = 90°, то

∠ ADK = 90° – ∠ BDC =

= 90° – 23° = 67°.

В треугольнику AKD

∠ AKD = 180° – (∠ KAD + ∠ ADK)

= 180° – (52° + 67°) = 61°.

ОТВЕТ: 61°

ЗАДАЧА:

Центр окружности, описанной вокруг четырёхугольника АВСD, принадлежит его стороне СD. Найдите углы данного четырёхугольника, если

∠ АВD = 34°, ∠ ВАС = 41°.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
∠ ВDС = ∠ ВАС = 41°

как вписанные углы, которые опираются на одну дугу.

Из прямоугольного треугольника DВС (∠ В = 90°):

∠ С = 90° – 41° = 49°.

Аналогично

∠ АСD = ∠ АВD = 34°,

∠ D = 90° – 34° = 56°,

∠ А = ∠ DАС + ∠ САВ =

= 90° + 41° = 131°,

∠ В = ∠ АВD + ∠ DВС =

= 34° + 90° = 124°.

ОТВЕТ:

56°, 49°, 131°, 124°.

ЗАДАЧА:

Диагональ ВD четырёхугольника АВСD является диаметром его описанной окружности, М – точка пересечения его диагоналей,

∠ АВD = 32°, ∠ СВD = 64°.

Найдите угол ВМС.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

∠ А = 90°,

∠ 1= 90°– 32°= 58°,

∠ 2 = ∠ 1 = 58°,

∠ 3 = 180°– 64° – ∠ 2 =

= 180°– 64° – 58° = 58°

Прямоугольник и окружность.

Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Центром окружности, описанной вокруг прямоугольника, будет точка пересечения его диагоналей.

ЗАДАЧА:

В окружность вписан прямоугольник со сторонами 32 и 24. Найдите радиус окружности.

РЕШЕНИЕ:

Диагональ Д этого прямоугольника является диаметром окружности, тогда, по теореме Пифагора:

Радиус равен 40 : 2 = 20.

ОТВЕТ: 20

Квадрат и окружность.

В любой квадрат можно вписать окружность и вокруг любого квадрата можно описать окружность.

Центром вписанной и описанной окружности будет точка пересечения диагоналей квадрата.

Формулы для нахождения радиуса описанной окружности.
Формулы для нахождения радиуса вписанной окружности.
ЗАДАЧА:

Найдите радиус окружности, описанной вокруг квадрата со стороной 8√͞͞͞͞͞2 см.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Воспользуемся формулой:

ЗАДАЧА:

Найдите длину окружности, вписанной в квадрат со стороною 10 см ?

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

r = ¹/₂ OE = ¹/₂ AB =

= ¹/₂ ∙ 10 = 5 (см),

l = 2πr = 2π ∙ 5 = 10π (см).

ЗАДАЧА:

Диагональ квадрата равна 6√͞͞͞͞͞2 см. Найдите радиус вписанной в этот квадрат окружности.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

Рассмотрим треугольник ОЕС. Он прямоугольный и равнобедренный. ОЕ – радиус вписанной окружности. Обозначим его через х и воспользуемся теоремой Пифагора:

х² + х² = (6√͞͞͞͞͞2 : 2)²,

2х² = (3√͞͞͞͞͞2 )²,

х² = 18 : 2 = 9,

х = 3 (см).

Задания к уроку 28

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 2 февраля 2015 г.