Урок 31. Правильный многоугольник

воскресенье, 15 февраля 2015 г.

Урок 31. Правильный многоугольник

ВИДЕОУРОК

Правильным многоугольником называют выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Сумма углов правильного многоугольника, как и произвольного многоугольника, равна 180° (n – 2).

Величина угла α_n правильного n – угольника равна:

Многоугольник называют вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.

Многоугольник называют описанным вокруг окружности, если все его стороны касаются окружности.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность: в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, к тому же центры вписанной и описанной окружности совпадают.

где R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, a – сторона правильного n-угольника.

Формулы для нахождения стороны a_n радиуса R описанной и радиуса r вписанной окружности для правильных n-угольников.

Общий центр описанной и вписанной окружности называют центром правильного многоугольника.

Апофемою правильного многоугольника называется перпендикуляр, проведенный с центра правильного многоугольника до его стороны.

Апофема – это радиус вписанной окружности.

Центральным углом правильного многоугольника называют угол, образованный двумя радиусами, проведенными до соседних вершин.

Центральный угол правильного n – угольника вычисляют по формуле:

ЗАДАЧА:

Найдите внешний угол при вершине правильного шестиугольника.
РЕШЕНИЕ:

Внутренний угол правильного шестиугольника равен 120°. Поэтому внешний его угол равен

180° – 120° = 60°.

ЗАДАЧА:

Определите количество сторон правильного многоугольника, внутренний угол которого равен 150°.

РЕШЕНИЕ:

180°n – 360° = 150°n,

30°n = 360°,

n = 360° : 30°,

n = 12.

ЗАДАЧА:

Центральный угол правильного многоугольника равен 30°. Определите количество сторон многоугольника.

РЕШЕНИЕ:

Центральный угол
откуда
ЗАДАЧА:

Как найти диагонали правильного шестиугольника, если известна длина его стороны ?

РЕШЕНИЕ:

СЕ – одна из коротких диагоналей шестиугольника, ВЕ – одна из длинных диагоналей.

Учитывая, что углы правильного шестиугольника равны 120°, легко найти прямоугольный треугольник, в котором есть угол 30°, и воспользоваться соотношениями в этом треугольнике.

ОТВЕТ: а√͞͞͞͞͞3, 2а.

ЗАДАЧА:

Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен 2√͞͞͞͞͞3 см, а радиус окружности, описанной вокруг него 4 см. Найдите периметр многоугольника.

РЕШЕНИЕ:

Пусть n – количество сторон правильного многоугольника. По известной формуле имеем: