Урок 18. Параллелограмм

воскресенье, 1 февраля 2015 г.

Урок 18. Параллелограмм

ВИДЕОУРОК

Параллелограмм – четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны (т. е. лежат на параллельных прямых).

Например, АВСD – параллелограмм, так как

АВ ॥ СD, BC ॥ AD.

Основные свойства параллелограмма.

– противоположные стороны равны;
– противоположные стороны параллельны;
– диагонали делятся в точке пересечения пополам;
– противоположные углы равны.
Наличие у четырёхугольника одного из этих свойств или равенства или параллельности одной пары противоположных сторон вызывает, как следствие, все остальные свойства.

Признаки параллелограмма.

– если две стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм;

– если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм;

– если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм, а точка пересечения диагоналей является его центром симметрии;

– сумма углов, прилегающих к одной стороне равна 180°;

– диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника;
– сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов ого сторон.

Высотою параллелограмма называют перпендикуляр, опущенный из любой точки одной стороны на противоположную сторону или её продолжение.

– в параллелограмме угол между высотами равен его острому углу;
– биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, взаимно перпендикулярны;
– биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма параллельны.
ЗАДАЧА:

Один из углов параллелограмма равен 45°. Его высота, опущенная из вершины тупого угла, равна 3 см и делит сторону параллелограмма пополам. Найдите эту сторону параллелограмма.

РЕШЕНИЕ:
∠ 1 = 90° – 45° = 45°,

АЕ = ВЕ = 3 (см).

АD = 2 ∙ АЕ = 2 ∙ 3 = 6 (см).

ЗАДАЧА:

Разность двух углов параллелограмма равна 20°. Найдите меньший угол параллелограмма.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим меньший угол – х, тогда больший будет х + 20°.

Составим уравнение:

х + х + 20° = 180°.

Решим его:

2х = 160°, х = 80°.

ЗАДАЧА:

Сумма двух углов параллелограмма равна 168°. Найти его углы.

РЕШЕНИЕ:

Два заданных угла могут быть только противоположные углы параллелограмма, так как сумма углов, которые прилегают до одной стороны равна 180°. Поэтому, эти углы по

168° : 2 = 84°

(противоположные углы параллелограмма равны).

Тогда каждый из остальных углов по

180° – 84° = 96°.

ОТВЕТ: 84°, 96°.

ЗАДАЧА:

Стороны треугольника равны 8 см, 9 см и 13 см. Найдите медиану треугольника, проведённую до наибольшей стороны.

РЕШЕНИЕ:

Пусть АВС – заданный треугольник,
в котором

ВС = 8 см,

АВ = 9 см,

АС = 13 см,

ВМ – медиана, поэтому

МС = ¹/₂АС.

Отложим на продолжении медианы ВМ

МD = ВМ.

Получим параллелограмм АВСD (диагонали четырёхугольника точкою пересечения делятся пополам).

На основании формулы
запишем:

ВD² + АС² = 2(АВ² + ВС²),

Найдём ВD:

ВD² + 13² = 2(9² + 8²),

ВD² = 121, ВD = 11.

Теперь найдём медиану ВМ:

ВМ = 0,5 ∙ ВD = 5,5 см.

ЗАДАЧА:

Стороны треугольника равны 6 см и 8 см. Медиана треугольника, проведённая до третьей стороны, равна √͞͞͞͞͞46 см. Найдите неизвестную сторону треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Пусть АВС – заданный треугольник,
ВО – медиана,

ВС = 6 см,

АВ = 8 см,

ВО = √͞͞͞͞͞46 см.

На луче ВО построим отрезок ОD так, что ОВ = ОD. В четырёхугольнику АВСD диагонали точкою пересечения делятся пополам, поэтому этот четырёхугольник будет параллелограммом. По свойству диагоналей параллелограмма получим:

АС² + ВD² = 2АВ² + 2ВС²,

Найдём АС:

АС² + (2√͞͞͞͞͞46)² = 2(8² + 6²),

АС² = 200 – 184 = 16,

АС = 4 (см).

Задания к уроку 18

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

воскресенье, 1 февраля 2015 г.