Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 5. Угол и окружность

ВИДЕОУРОК

Центральный угол – угол с вершиной в центре окружности.

ПРИМЕР:

∠ АОВ – центральный угол.

Стороны центрального угла пересекают окружность в двух точках и делят её на две дуги.

Если центральный угол развёрнутый, то ему соответствуют две полуокружности.

Если центральный угол неразвёрнутый, то дуга, расположенная внутри этого угла, меньше полуокружности, а вторая дуга больше полуокружности.

Каждая дуга окружности содержит некоторую угловую меру – меру соответствующего ей центрального угла. Говорят также, что центральный угол измеряется дугою, на которую он опирается.

Пишут:

∪АВ = 60°.

Угловая мера всей окружности равна 360°.

Полуокружность равна развёрнутому углу, то есть она равна 180°. Если дуга окружности меньше или равна полуокружности, то её градусная мера равна градусной мере соответствующего ей центрального угла. Если дуга окружности больше полуокружности, то её градусная мера равна 360° минус центральный угол. Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360°.

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Если дуга лежит во внутренней области вписанного угла, то говорят, что данный вписанный угол опирается на эту дугу.

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Если дуга лежит во внутренней области вписанного угла, то говорят, что данный вписанный угол опирается на эту дугу.

ПРИМЕР:

∠ АВС – вписанный угол.

– вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается;

ЗАДАЧА:

Угол АВС – вписанный в окружность с центром О, угол

АОС = 120°.

Найти угол АВС.

РЕШЕНИЕ:

∠ АВС = ¹/₂∠ АОС =

¹/₂×120° = 60°.

ОТВЕТ: 60°.

ЗАДАЧА:

Точки А, В и С лежат на окружности с центром О. Найдите угол АОС, если ∠ АВС = 66°.

РЕШЕНИЕ:

Угол АВС, вписанный в окружность, опирается на дугу АС.
∠ АОС = 132° – так как это центральный угол данной окружности и он в два раза больше вписанного.

– вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны;

– вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой;

ЗАДАЧА:

Точка О – центр окружности, изображённой на рисунку.
Найдите градусную меру угла АОС.

РЕШЕНИЕ:

Вписанный угол АВС опирается на дугу АmС, поэтому градусная мера дуги будет равна

2 ∙ 130° = 260°.

Градусная мера дуги, на которую опирается центральный угол АОС равна

360° – 260° = 100°,

∠ АОС = 100°.

ЗАДАЧА:

Найдите вписанный угол, который опирается на дугу, которая составляет ¹/₄ части окружности.

РЕШЕНИЕ:

360° : 4 = 90° – мера дуги,

90° : 2 = 45° – мера вписанного угла.

ЗАДАЧА:

Точка О – центр окружности, изображенной на рисунку. Найдите градусную меру угла АВС.
РЕШЕНИЕ:

∪ АС = 52°, тогда

∠ АВС = ¹/₂ ∪ АС =

= ¹/₂ ∙ 52° = 26°.

Длина дуги окружности.

Угол и дуга измеряются в градусах и радианах. Длина дуги

где n – градусная мера соответствующего центрального угла.

Пусть l – длина дуги окружности радиуса R, α – радианная мера центрального угла этой окружности, опирающегося на рассматриваемую дугу.

На основании определения радианной меры угла имеем:

Последнее равенство позволяет выразить длину l дуги окружности через α и R:

l = R∙ α.

Длина окружности равна длине радиуса этой окружности, умноженной на радианную меру центрального угла, опирающегося на эту дугу.

ЗАДАЧА:

Найдите градусную меру дуги окружности, длина которой равна π см, если радиус окружности равен 12 см.

РЕШЕНИЕ:
ЗАДАЧА:

Найдите градусную меру дуги окружности, длина которой равна 2π см, если радиус окружности равен 6 см.

РЕШЕНИЕ:
ЗАДАЧА:

Концы хорды окружности делят её на две дуги, градусные меры которых относятся как 1 : 17. Найдите градусную меру меньшей дуги.

РЕШЕНИЕ:

Пусть х – градусная мера одной дуги, тогда 17х – другой.

х + 17х = 360°,

18х = 360°, х = 20°.

ЗАДАЧА:

Найдите длину дуги окружности, градусная мера которой равна 60°, если радиус окружности – 7 см.
РЕШЕНИЕ:

Длина окружности равна

2π ∙ 7 = 14π см.

Длина дуги окружности равна

14π : 360° ∙ 60° = ⁷^π/₃ см.

ЗАДАЧА:

Найдите длину ¹/₃ дуги окружности радиуса 12 см.

РЕШЕНИЕ:

l = 2πr = 2π ∙ 12 = 24π см,

¹/₃l =¹/₃ ∙ 24π = 8π см.

ЗАДАЧА:

Точки M и N делят окружность на две дуги, разность градусных мер которых равна 90°. Чему равны градусные меры каждой из дуг ?

РЕШЕНИЕ:

Сумма градусных мер дуг равна 360°, а разность равна 90°. Обозначим градусные меры этих дуг х и у. Имеем:

Решая эту систему, получим:

х = 225°, у = 135°.

ЗАДАЧА:

Найти длину l дуги окружности радиуса 20 см, если эта дуга стягивает центральный угол, равный 48°42'.

РЕШЕНИЕ:

Мы знаем, что один радиан равен:

1 рад = 57°18'.

Значит, радианная мера угла 48°42' будет равна:

48°42' : 57°18' ≈ 0,8467 ≈ 0,8500.

Тогда имеем:

l ≈ 20 ∙ 0,8500 ≈ 17 см.

ЗАДАЧА:

Найти длину l дуги окружности, радиус которой R, равен 25 см, если дуга содержит 42°24'.

РЕШЕНИЕ:

Радианная мера данной дуги равна 0,7400. Тогда дуга вычисляется так:

l = 25 ∙ 0,7400 ≈ 18,5 см.

– угол, вершина которого лежит в середине окружности, измеряется полу суммой двух дуг, на которые опираются данный и вертикальный c ним углы;

– угол, стороны которого пересекают окружность, а вершина лежит вне окружности, измеряется полуразностью дуг этой окружности, которые лежат внутри угла;