Урок 15. Прямоугольный треугольник и окружность

пятница, 9 января 2015 г.

Урок 15. Прямоугольный треугольник и окружность

ВИДЕОУРОК

Вписанная окружность прямоугольного треугольника.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник,

можно найти по формуле:

где r – искомый радиус, а и b – катеты,

с – гипотенуза треугольника.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

равен произведению катетов, делённому на сумму катетов и гипотенузы,

где r – искомый радиус, а и b – катеты,

с – гипотенуза треугольника.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен площади этого треугольника, делённой на полупериметр:

где р – полупериметр

ЗАДАЧА:

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит один из катетов на отрезки 2 см и 8 см, отсчитывая от вершины прямого угла. Найдите периметр треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж:

ВМ = ВN = х.

(2 + х)² + (2 + 8)² = (8 + х)²,

х² + 4х + 4 + 100 =

= х² + 16х + 64,

12х = 40,

х = ¹⁰/₃ (см).

Р = (2 + 8) + (8 + ¹⁰/₃) + (¹⁰/₃ + 2) = 26²/₃ (см).

ЗАДАЧА:

Вписанная окружность прямоугольного треугольника АВС касается гипотенузы АВ в точке К. Найдите радиус вписанной окружности, если АК = 4 см, ВК = 6 см.

РЕШЕНИЕ:

За свойством касательных имеем:

АК = АМ = 4 см,
ВК = ВN = 6 см.

Обозначим радиус вписанной окружности через х:

СN = СM = NО = МО = х.

Тогда

АС = (4 + х) см.
ВС = (6 + х) см,

АВ = 4 см + 6 см = 10 см.

По теореме Пифагора для треугольника АВС можно записать соотношение:

(4 + х)² + (6 + х)² = 10².

Решим это квадратное уравнение:

16 + 8x + x² + 36 + 12x + x² = 100,

2x² + 20x + 52 – 100 = 0,

2x² + 20x – 48 = 0,

x² + 10x – 24 = 0,

x₁ = 2, x₂ = –10.

x₂не удовлетворяет условию задачи.

ОТВЕТ: 2 см.

ЗАДАЧА:

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делить гипотенузу на отрезки 8 см и 12 см. Найдите периметр треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж:

(8 + 12)² = (8 + х)² + (12 + х)²,

400 = 64 + 16x + x² + x² + 24x + 144,

2x² + 40x – 192 = 0,

x² + 20x – 96 = 0,

x₁ = 4, x₂ = –24.

x₂не подходит.

Р = 8 + 12 + 12 + 4 + 4 + 8 = 48 (см).

ОТВЕТ: 48 см.

Описанная окружность прямоугольного треугольника.

Центром окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, будет середина его гипотенузы.

Диаметр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен его гипотенузе.
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к его гипотенузе, равна половине гипотенузы и является радиусом окружности, описанной около этого треугольника.

ОА = ОВ = ОС = R
Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:

ЗАДАЧА:

Отрезок ВС – диаметр окружности, изображённой на рисунку.
Угол АВС = 55°.

Найдите величину угла АСВ ?

РЕШЕНИЕ:

ВС – диаметр, поэтому ∠ ВАС = 90°,

∠ АСВ = 180° – (90° + 55°) = 35°.

ЗАДАЧА:

Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на его диаметр, делит диаметр на отрезки, разность между которыми равна 5 см. Найдите радиус окружности, если длина перпендикуляра равна 6 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть АВ – диаметр окружности с центром в точке О, СD ⊥ АВ,
где С – точка окружности,

СD = 6 см, АD = х см,

ВD – АD = 5 см.

Тогда

DВ = (х + 5) см.

Треугольник АСВ – прямоугольный (угол С прямой, так как он вписанный и опирается на диаметр).

СD – перпендикуляр, проведений из вершины прямого угла на гипотенузу. Тогда:

АD ∙ DВ = СD²,

х(х + 5) = 6²,

х² + 5х – 36 = 0,

x₁ = –9, x₂ = 4.

x₁не подходит.

Поэтому, АD = 4 см,

DВ = 4 + 5 = 9 (см).

АВ = АD + DВ =

= 4 + 9 = 13 (см).

Тогда

r = АВ : 2 = 13 : 2 = 6,5 (см).

ОТВЕТ: 6,5 см

ЗАДАЧА:

Из точки на окружности проведены две перпендикулярные хорды, разность между которыми равна 4 см. Найдите эти хорды, если радиус окружности равен 10 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть задана окружность радиуса R,
в которой проведены хорды АВ и АС (АВ ⊥ АС),

R = АО = ВО = СО = 10 см,

АС – АВ = 4 см.

Пусть АВ = х см, тогда

АС = (4 + х) см.

Так как ∠ А = 90°, то треугольник ВАС – прямоугольный, в котором

ВС = 2ОВ= 2 ∙ 10 = 20 см.

Из прямоугольного треугольника ВАС имеем:

АВ² + АС² = ВС²,

х² + (4 + х)² = 20²,

х² + 16 + 8х + х² = 400,

х² + 4х – 192 = 0,

х₁ = 12,

х₂ = –16 – не подходит.

Поэтому, АВ = 12 см,

АС = 4 + 12 = 16 (см).

ОТВЕТ: 12 см, 16 см

ЗАДАЧА:

Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол этого треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Так как треугольник прямоугольный и медиана ВМ иcходит из прямого угла В, то точка М является центром описанной окружности вокруг треугольника АВС. Следовательно,

АМ = МС = МВ = R,

где R – радиус описанной окружности.

Найдём сначала угол МВС. Учитывая, что BD – биссектриса, то

∠ DВС = ⁹⁰/₂ = 45°. Тогда

∠ МВС = ∠ МВD + ∠ DВС,

∠ МВС = 14° + 45° = 59°.

Рассмотрим равнобедренный треугольник МВС со сторонами

МВ = МС,

в котором углы при основании ВС равны, то есть

∠ С = ∠ МВС = 59°.

Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, то

∠ А + ∠ С = 90°,

∠ А = 90° – ∠ С =

= 90° – 59° = 31°.

ЗАДАЧА:

Периметр прямоугольного треугольника равен 72 м, а радиус вписанной в него окружности – 6 м. Найдите диаметр описанной окружности.

РЕШЕНИЕ:

DO = OF = OE = r = 6 м.

Поэтому AD = AF = 6 м.

FC = EC, BD = BE (отрезки касательных, проведённых из одной точки)

Пусть

BD = BE = x,

FC = EC = y,

Тогда

AB = x + 6, AC = y + 6,

BC = x + y.

AB + AC + BC =

= x + 6 + y + 6 + x + y = 72.

2x + 2y + 12 = 72,

2x + 2y = 60,

x + y = 30.

(x + y) – гипотенуза, или диаметр описанной окружности.

ОТВЕТ: 30 м.

ЗАДАЧА:

В окружности на расстоянии 6 см от его центра проведена хорда длинной 16 см. Найдите радиус окружности.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж:

Пользуясь теоремой Пифагора, находим радиус.
ЗАДАЧА:

Две окружности, радиусы которых равны 4 см и 9 см, имеют внешнее касание. Найдите расстояние между точками касания данных окружностей с их общей внешней касательной.

РЕШЕНИЕ:

ВК ⊥ АD, АК = 9 – 4 = 5 см.

Из ∆ ВКА:

СD = ВК = 12 см.

ЗАДАЧА:

В угол, величина которого равна 60°, вписано две окружности, которые внешне касаются одна другой. Найдите радиус большой окружности, если радиус меньшей равен 6 см.

РЕШЕНИЕ:
∠ СОА = 60°,

ОС = 2СА = 12 см,

∆ ОDВ:

ОD = 2DВ = 2R,

12 + 6 + R = 2R,

R + 18 = 2R,

R = 18 см.

ЗАДАЧА:

Биссектриса АМ треугольника АВС (∠ С = 90°) делит катет ВС на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите радиус окружности, которая проходит через точки А, С, и М.
РЕШЕНИЕ:

АМ – биссектриса угла А, поэтому
Так как АВ ˃ АС, то

ВМ ˃ МС и

ВМ = 10 см, МС = 6 см.

Поэтому
Пусть АС = 6х,

тогда АВ = 10х.

Из прямоугольного треугольника АВС (∠ С = 90°) имеем:

АВ² = АС² + ВС²,

(10х)² = (6х)²+ (10 + 6)²,

64х² = 16², х = 2 (см),

АС = 6х = 12 (см).

Из прямоугольного треугольника АСМ (∠ С = 90°) имеем:

АМ² = АС² + СМ²,

12² + 6², АМ = 6√͞͞͞͞͞5 (см).

Окружность, которая проходит через точки А, М и С, будет описанной окружностью вокруг прямоугольного треугольника АСМ. Тогда её диаметр равен гипотенузе треугольника. Поэтому,

r = ¹/₂ АМ = 3√͞͞͞͞͞5 (см).

ЗАДАЧА:

В окружность по разные стороны от её центра проведены две параллельные хорды, длины которых равны 6 см и 8 см, а расстояние между ними – 4 см. Найдите радиус окружности.

РЕШЕНИЕ:

Пусть задана окружность О,

в которой проведены хорды АВ и СD,

АВ = 6 см, СD = 8 см.

Через точку О проведём

FЕ ⊥ АВ.

АЕ = ВЕ = 3 см,

FЕ ⊥ СD,

СF = FD = 4 см,

ЕF = 4 см.

Треугольники ОВЕ и ОDF прямоугольные, до того ж

ОВ = ОD = r.

Пусть ОF = х см, тогда

ОЕ = ЕF – х = (4 – х) см.

Из прямоугольного треугольника ОЕВ по теореме Пифагора

ОВ² = ОЕ² + ВЕ²,

r² = (4 – х)² + 3².

Аналогично

ОD² = ОF² + FD²,

r² = х² + 4².

(4 – х)² + 3² = х² + 4².

16 – 8х + х² + 9 = х² + 16,

8х = 9, х = ⁹/₈.

Тогда
Задания к уроку 15

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 9 января 2015 г.