Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

воскресенье, 1 февраля 2015 г.

Урок 18. Параллелограмм

ВИДЕОУРОК
Параллелограмм – четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны (т. е. лежат на параллельных прямых).

Например,  АВСD – параллелограмм, так как 

АВ ॥ СD, BC ॥ AD.
Основные свойства параллелограмма.

 – противоположные стороны равны;
– противоположные стороны параллельны;
– диагонали делятся в точке пересечения пополам;
– противоположные углы равны.
Наличие у четырёхугольника одного из этих свойств или равенства или параллельности одной пары противоположных сторон вызывает, как следствие, все остальные свойства.

 Признаки параллелограмма.

– если две стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм;
– если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм;
– если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм, а точка пересечения диагоналей является его центром симметрии;
– сумма углов, прилегающих к одной стороне равна  180°;
– диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника;
– сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов ого сторон.

Высотою параллелограмма называют перпендикуляр, опущенный из любой точки одной стороны на противоположную сторону или её продолжение.    

– в параллелограмме угол между высотами равен его острому углу;
– биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, взаимно перпендикулярны;
– биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма параллельны.
ЗАДАЧА:

Один из углов параллелограмма равен  45°. Его высота, опущенная из вершины тупого угла, равна  3 см  и  делит сторону параллелограмма пополам. Найдите эту сторону параллелограмма.

РЕШЕНИЕ:
∠ 1 = 90° – 45° = 45°,

АЕ = ВЕ = 3 (см).

АD = 2 ∙ АЕ = 2 ∙ 3 = 6 (см).

ЗАДАЧА:

Разность двух углов параллелограмма равна  20°. Найдите меньший угол параллелограмма.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим меньший угол – х, тогда больший будет  х + 20°.

Составим уравнение:

х + х + 20° = 180°.

Решим его:

2х = 160°, х = 80°.

ЗАДАЧА:

Сумма двух углов параллелограмма равна  168°. Найти его углы.

РЕШЕНИЕ:

Два заданных угла могут быть только противоположные углы параллелограмма, так как сумма углов, которые прилегают до одной стороны равна  180°. Поэтому, эти углы по

168° : 2 = 84°

(противоположные углы параллелограмма равны).
Тогда каждый из остальных углов по

180° – 84° = 96°.

ОТВЕТ:  84°, 96°.

ЗАДАЧА:

Стороны треугольника равны  8 см, 9 см  и  13 см. Найдите медиану треугольника, проведённую до наибольшей стороны.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВС – заданный треугольник,
в котором 

ВС = 8 см,

АВ = 9 см,

АС = 13 см,

ВМ – медиана, поэтому 

МС = 1/2 АС.

Отложим на продолжении медианы  ВМ 

МD = ВМ.

Получим параллелограмм  АВСD  (диагонали четырёхугольника точкою пересечения делятся  пополам).

На основании формулы
запишем:

ВD2 + АС2 = 2(АВ2 + ВС2),

Найдём  ВD:

ВD2 + 132 = 2(92 + 82),

ВD2 = 121, ВD = 11.

Теперь найдём медиану  ВМ:

ВМ = 0,5 ∙ ВD = 5,5 см.

ЗАДАЧА:

Стороны треугольника равны  6 см  и  8 см. Медиана треугольника, проведённая до третьей стороны, равна  √͞͞͞͞͞46 см. Найдите неизвестную сторону треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВС – заданный треугольник,
ВО – медиана,

ВС = 6 см,

АВ = 8 см,

ВО = √͞͞͞͞͞46 см.

На луче  ВО  построим отрезок  ОD  так, что  ОВ = ОD. В четырёхугольнику  АВСD  диагонали точкою пересечения делятся пополам, поэтому этот четырёхугольник будет параллелограммом. По свойству диагоналей параллелограмма получим:

АС2 + ВD2 = 2АВ2 + 2ВС2,

Найдём  АС:

АС2 + (2√͞͞͞͞͞46)2 = 2(82 + 62),

АС2 = 200 – 184 = 16,

АС = 4 (см).

 Задания к уроку 18
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий