Урок 7. Треугольники (2)

ВИДЕОУРОК

Высотою треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

Каждый треугольник имеет три высоты. Высоты треугольника, или их продолжения пересекаются в одной точке. В остроугольном треугольнике точка пересечения высот находится внутри треугольника, а в тупоугольном – вне треугольника. Точка пересечения высот, или их продолжений – ортоцентр.

Ортоцентр  О  тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.

Ортоцентр  О  остроугольного треугольника лежит в середине треугольника.

Высоты треугольника, опущенные на стороны  а, b, с, обозначаются соответственно через  h_a, h_b, h_c  и вычисляются по формулам

– полупериметр треугольника.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС:  АD  и  ВЕ – высоты, пересекающиеся в точке  F, ∠ ЕFD = 104°. Найти  ∠ C.

 РЕШЕНИЕ:

∠ AFE = 180° – ∠ EFD = 76°, тогда 

∠ FAE = 90° – ∠ AFE = 14°

(так как  ∠ FEA = 90°).

В треугольнике  ADC, угол  D = 90°, значит 

∠ С =  90° – ∠ FAE = 90° – 14° = 76°.

ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС:  СЕ  и  ВF – высоты, пересекающиеся в точке  Т, ∠ СТВ = 152°. Найти  ∠ А.

РЕШЕНИЕ:

∠ FТС = 180° – ∠ СТВ = 28°, тогда 

∠ ТСF = 90° – ∠ FТС = 62°

(так как  ∠ ТEС = 90°).

В треугольнике  AЕC, угол  Е = 90°, значит 

∠ А =  90° – ∠ ТСF = 90° – 62° = 28°.

ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС: ∠ А = 60°, ∠ С = 80°, СЕ  и  АD – высоты, пересекающиеся в точке  F. Найти  ∠ ЕFD.

РЕШЕНИЕ:

В треугольнике  AЕC, угол  Е = 90°, ∠ А =  60°,

тогда   ∠ АСЕ = 90° – 60° = 30°.

 Аналогично в треугольнике  АDС  находим, что  ∠ DАС = 10°.

Так как сумма углов треугольника равна  180°, то 

∠ АFС = 180° – 10° – 30° = 140°.

Углы  АFС  и  ЕFD  равны как вертикальные, тогда  ∠ EFD = 140°.

ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС:  АЕ  и  ВF – высоты, пересекающиеся в точке  О, ∠ FВС = 19°. Найти  ∠ FОЕ.

РЕШЕНИЕ:

В треугольнике  ВОЕ, угол  Е = 90°, ∠ ОВЕ =  19°,

тогда   ∠ ВОЕ = 90° – 19° = 71°.

∠ FОЕ  смежный с ∠ ВОЕ , тогда их сумма равна  180°  и, значит,  ∠ FОЕ = 109°.

Биссектрисою треугольника называют отрезок биссектрисы угла треугольника, который соединяет его вершину с точкой на противоположной стороне треугольника.

Каждый треугольник имеет три биссектрисы. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая находится в середине треугольника. Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные до прилежащих сторон.

NL – биссектриса

Биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противоположной стороны в такой точке, расстояния которой до концов этой стороны пропорциональны прилежащим сторонам.

В разностороннем треугольнике каждая биссектриса находится между медианой и высотой, опущенных из этой вершины. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрис – инцентр.

В  ∆ АВС  биссектрисы углов  А, В, С, которые лежат против сторон  а, b, с, обозначаются соответственно  l_a, l_b, l_c  и вычисляются по формулам

где  p = ¹/₂ (a + b + c).

Кроме того, биссектрисы могут быть вычислены по формулам

ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС  сторона  ВС  равна  14 см, АC – 12 см. Найти сторону  АВ, если  АD – биссектриса и  DС  равно  8 см.

РЕШЕНИЕ:

– по свойству биссектрисы треугольника.

ВD = ВС – DС =

14 см – 8 см = 6 см.

ОТВЕТ:  9 см.

ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС

∠ А = 60°, ∠ В = 80°.

Биссектриса  АD  этого треугольника отсекает от него треугольник   ACD. Найдите углы этого треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Так как сумма углов треугольника равна  180°, поэтому  ∠ С  будет равен:

∠ С = 180° – 80° – 60° = 40°.

Биссектриса делит  ∠ ВАС  пополам, значит  ∠ DАС  равен  30°.

Тогда  ∠ АDС  будет равен  110°.

ОТВЕТ:

∠ С = 40°,

∠ DАС = 30°,

∠ АDС = 110°.

ЗАДАЧА:

Отрезок  АD – биссектриса треугольника  АВС, изображённого на рисунку. Найдите длину стороны  АС ?

РЕШЕНИЕ:

По свойству биссектрисы

ЗАДАЧА:

Отрезок  АМ – биссектриса треугольника  АВС,

АВ = 30 см, АС = 40 см,

СМ – ВМ = 5 см.

Найдите  ВС.

РЕШЕНИЕ:

Нарисуем чертёж.

Обозначим

ВМ = х, СМ = х + 5.

тогда

30х + 150 = 40х, х = 15,

ВС = х + х + 5 = 35 (см).

ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС: ВР  и  АQ – биссектрисы, пересекающиеся в точке  К, ∠ С = 75°. Найдите угол  РКQ.

РЕШЕНИЕ:

∠ АКР = ∠ РКQ, так как они вертикальные.

∠ КАВ = 0,5 ∙ ∠ САВ,

∠ АВК = 0,5 ∙ ∠ АВС,

тогда при учёте т ого, что сумма углов в треугольнике равна  180°

(∠ САВ + ∠ АВС + ∠ С = 180°).

∠ КАВ + ∠ АВК =

= 0,5∙ (∠ САВ + ∠ АВС) =

= 0,5∙ (180° – 75°) = 52,5°, значит,

∠ АКВ = 180° – (∠ КАВ + ∠ АВК) =

= 180° – 52,5° = 127,5°.

Таким образом,

∠ РКQ = 127,5°.

Медиана треугольника.

Медианою треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Каждый треугольник имеет три медианы.

Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке, которая находится в середине треугольника и называется центроидом (центр масс или центр тяжести).

Медиану обозначают буквою  m.

Медианы точкою пересечения делятся в отношении 2 : 1, начиная от вершины треугольника.

AN –  медиана, ВL – медиана, CM – медиана.

AO : ON = BO : OL = 
CO : OM = 2 : 1

Если медианы проведены к сторонам  a, b  и  c, то соответственно они записываются так:  m_a  m_b  и  m_c.

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (с равными площадями).

S_ABM  = S_CBM

Все медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.

S_APN  = S_BPN = S_BKN  = S_CKN = S_CMN  = S_AMN

Если точку пересечения медиан треугольника соединить отрезками с вершинами треугольника, то треугольник разделится на три равновеликих треугольника.

S_AВN  = S_BСN = S_АСN

Если  ВС = а, АС = b, АВ = с, то:

Медиана треугольника есть геометрическое место точек, являющихся серединами отрезков прямых, заключённых внутри треугольника, параллельных той стороне, к которой проведена медиана.

ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС  на стороне  АС  отмечены точки  M  и  N  так, что  М – середина  АN, а  BN –  медиана в треугольнике  ВMС. Во сколько раз  АС  длиннее, чем  МN ?

РЕШЕНИЕ:

AM = MN,

MN = NC,

тогда

AC = AM + MN + NC = 3MN,

AC = AM : MN = 3.

ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС  заданы медианы

m_a, m_b, m_c.

Найти стороны треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим стороны треугольника 

АВ = с, АС = b, ВС = а.

Тогда используя формулы медиан, получим систему уравнений:

Складывая все уравнения системы, получим:

Умножим обе части уравнения на  2.

Разделим обе части уравнения на  3, и получим следующее уравнение:

Вычтем из полученного равенства первое уравнение системы

или

Аналогично вычитая из полученного равенства

 последовательно второе, а затем третье уравнение системы, получим следующий результат:

Отсюда получаем формулы для вычисления сторон треугольника через его медианы:

Задания к уроку 7

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Точка и прямая
• Урок 2. Угол
• Урок 3. Параллельные и перпендикулярные прямые
• Урок 4. Окружность
• Урок 5. Угол и окружность
• Урок 6. Треугольник (1)
• Урок 8. Прямоугольный треугольник (1)
• Урок 9. Прямоугольный треугольник (2)
• Урок 10. Равнобедренный треугольник (1)
• Урок 11. Равнобедренный треугольник (2)
• Урок 12. Периметр треугольника
• Урок 13. Периметр равнобедренного (равностороннего) треугольника
• Урок 14. Треугольник и окружность
• Урок 15. Прямоугольный треугольник и окружность
• Урок 16. Равнобедренный треугольник и окружность
• Урок 17. Четырёхугольники
• Урок 18. Параллелограмм
• Урок 19. Периметр параллелограмма
• Урок 20. Прямоугольник
• Урок 21. Периметр прямоугольника
• Урок 22. Квадрат
• Урок 23. Ромб
• Урок 24. Периметр ромба
• Урок 25. Трапеция
• Урок 26. Равнобедренная трапеция
• Урок 27. Периметр трапеции
• Урок 28. Четырёхугольник и окружность (1)
• Урок 29. Четырёхугольник и окружность (2)
• Урок 30. Многоугольник
• Урок 31. Правильный многоугольник
• Урок 32. Осевая и центральная симметрии