Уроки математики и физики (RU + UA)

вторник, 31 марта 2015 г.

Урок 7. Треугольники (2)

ВИДЕОУРОК
Высотою треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

Каждый треугольник имеет три высоты. Высоты треугольника, или их продолжения пересекаются в одной точке. В остроугольном треугольнике точка пересечения высот находится внутри треугольника, а в тупоугольном вне треугольника. Точка пересечения высот, или их продолжений – ортоцентр.
Ортоцентр  О  тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
Ортоцентр  О  остроугольного треугольника лежит в середине треугольника.
Высоты треугольника, опущенные на стороны  а, b, с, обозначаются соответственно через  ha, hb, hc  и вычисляются по формулам
полупериметр треугольника.
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС:  АD  и  ВЕ – высоты, пересекающиеся в точке  F, ЕFD = 104°. Найти  C.
 
РЕШЕНИЕ:

AFE = 180°EFD = 76°, тогда 

FAE = 90°AFE = 14°

(так как  FEA = 90°).

В треугольнике  ADC, угол  D = 90°, значит 

С =  90°FAE = 90°14° = 76°.

ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС:  СЕ  и  ВF – высоты, пересекающиеся в точке  Т, СТВ = 152°. Найти  А.
РЕШЕНИЕ:

FТС = 180° СТВ = 28°, тогда 

ТСF = 90° FТС = 62°

(так как  ТEС = 90°).

В треугольнике  AЕC, угол  Е = 90°, значит 

А =  90° ТСF = 90°62° = 28°.

ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС: А = 60°, С = 80°, СЕ  и  АD – высоты, пересекающиеся в точке  F. Найти  ЕFD.
РЕШЕНИЕ:

В треугольнике  AЕC, угол  Е = 90°, А =  60°,

тогда    АСЕ = 90°60° = 30°.

 Аналогично в треугольнике  АDС  находим, что  DАС = 10°.

Так как сумма углов треугольника равна  180°, то 

АFС = 180°10° – 30° = 140°.

Углы  АFС  и  ЕFD  равны как вертикальные, тогда  EFD = 140°.

ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС:  АЕ  и  ВF – высоты, пересекающиеся в точке  О, FВС = 19°. Найти  FОЕ.
РЕШЕНИЕ:

В треугольнике  ВОЕ, угол  Е = 90°, ОВЕ =  19°,

тогда    ВОЕ = 90°19° = 71°.

FОЕ  смежный с ВОЕ , тогда их сумма равна  180°  и, значит,  FОЕ = 109°.

Биссектрисою треугольника называют отрезок биссектрисы угла треугольника, который соединяет его вершину с точкой на противоположной стороне треугольника.

Каждый треугольник имеет три биссектрисы. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая находится в середине треугольника. Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные до прилежащих сторон.
NL – биссектриса
Биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противоположной стороны в такой точке, расстояния которой до концов этой стороны пропорциональны прилежащим сторонам.
В разностороннем треугольнике каждая биссектриса находится между медианой и высотой, опущенных из этой вершины. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрис – инцентр.
В  ∆ АВС  биссектрисы углов  А, В, С, которые лежат против сторон  а, b, с, обозначаются соответственно  la, lb, lc  и вычисляются по формулам
где  p = 1/2 (a + b + c).

Кроме того, биссектрисы могут быть вычислены по формулам
ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС  сторона  ВС  равна  14 см, АC – 12 см. Найти сторону  АВ, если  АD – биссектриса и  DС  равно  8 см.
РЕШЕНИЕ:
по свойству биссектрисы треугольника.

ВD = ВС – DС =
14 см8 см = 6 см.
ОТВЕТ:  9 см.

ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС

А = 60°, В = 80°.

Биссектриса  АD  этого треугольника отсекает от него треугольник   ACD. Найдите углы этого треугольника.
РЕШЕНИЕ:

Так как сумма углов треугольника равна  180°, поэтому  С  будет равен:

С = 180° – 80° – 60° = 40°.

Биссектриса делит  ВАС  пополам, значит  DАС  равен  30°.

Тогда  АDС  будет равен  110°.

ОТВЕТ:

С = 40°,

DАС = 30°,

АDС = 110°.

ЗАДАЧА:

Отрезок  АD – биссектриса треугольника  АВС, изображённого на рисунку. Найдите длину стороны  АС ?
РЕШЕНИЕ:

По свойству биссектрисы
ЗАДАЧА:

Отрезок  АМ – биссектриса треугольника  АВС,

АВ = 30 см, АС = 40 см,

СМ – ВМ = 5 см.

Найдите  ВС.

РЕШЕНИЕ:

Нарисуем чертёж.
Обозначим

ВМ = х, СМ = х + 5.

тогда
30х + 150 = 40х, х = 15,

ВС = х + х + 5 = 35 (см).

ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС: ВР  и  АQ – биссектрисы, пересекающиеся в точке  К, С = 75°. Найдите угол  РКQ.
РЕШЕНИЕ:

АКР = РКQ, так как они вертикальные.

КАВ = 0,5 САВ,

АВК = 0,5 АВС,

тогда при учёте т ого, что сумма углов в треугольнике равна  180°

( САВ + АВС + С = 180°).

КАВ + АВК =

= 0,5 ( САВ + АВС) =

= 0,5 (180°75°) = 52,5°, значит,

АКВ = 180° ( КАВ + АВК) =

= 180°52,5° = 127,5°.

Таким образом,

РКQ = 127,5°.

Медиана треугольника.

Медианою треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Каждый треугольник имеет три медианы.

Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке, которая находится в середине треугольника и называется центроидом (центр масс или центр тяжести).

Медиану обозначают буквою  m.

Медианы точкою пересечения делятся в отношении 2 : 1, начиная от вершины треугольника.

AN –  медиана, ВL – медиана, CM – медиана.

AO : ON = BO OL = 
CO : OM = 2 : 1

Если медианы проведены к сторонам  ab  и  cто соответственно они записываются так:  ma  mb  и  mc.

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (с равными площадями).
SABM  = SCBM

Все медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.
SAPN  = SBPN = SBKN  = SCKN = SCMN  = SAMN

Если точку пересечения медиан треугольника соединить отрезками с вершинами треугольника, то треугольник разделится на три равновеликих треугольника.
SAВN  = SBСN = SАСN

Если  ВС = а, АС = b, АВ = с, то:
Медиана треугольника есть геометрическое место точек, являющихся серединами отрезков прямых, заключённых внутри треугольника, параллельных той стороне, к которой проведена медиана.

ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС  на стороне  АС  отмечены точки  M  и  N  так, что  М – середина  АN, а  BN –  медиана в треугольнике  ВMС. Во сколько раз  АС  длиннее, чем  МN ?
РЕШЕНИЕ:

AM = MN,

MN = NC,

тогда

AC = AM + MN + NC = 3MN,

AC = AM : MN = 3.

ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС  заданы медианы

ma, mb, mc.

Найти стороны треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим стороны треугольника 

АВ = с, АС = b, ВС = а.

Тогда используя формулы медиан, получим систему уравнений:
Складывая все уравнения системы, получим:
Умножим обе части уравнения на  2.
Разделим обе части уравнения на  3, и получим следующее уравнение:
Вычтем из полученного равенства первое уравнение системы
или
Аналогично вычитая из полученного равенства
 
последовательно второе, а затем третье уравнение системы, получим следующий результат:
Отсюда получаем формулы для вычисления сторон треугольника через его медианы:
Задания к уроку 7
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий