Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами

Уравнение – одно из важнейших понятий не только в математике, а также и во многих прикладных науках.

Два числа или любые выражения, соединенные знаком равенства (=), образуют равенство.

Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестные числа, обозначенные буквами и верно только при подстановке некоторых определённых значений.

Корень уравнения – это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что корней нет.

Линейное уравнение с одной переменной – это уравнение вида 

где  х – переменная, a  и  b – некоторые числа.

Если  a = b = 0, то это уравнение имеет бесконечно много решений

Если a не равно  0, то это уравнение имеет один корень:  x = b/a

Если  a = 0  и  b  не равно  0, то это уравнение не имеет корней.

Уравнение первой степени.

Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и сведения подобных членов приобретает вид

аx + b = 0,

где  a ≠ 0  и  b – произвольные числа, а  х – неизвестное, называется уравнением первой степени с одним неизвестным.

Вид уравнения  аx + b = 0  при  a ≠ 0  называется нормальным видом уравнения первой степени с одним неизвестным. Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и сведения подобных членов приобретает вид  аx + b = 0, где  a ≠ 0  и  b – произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Каждое уравнение первой степени – линейное, но не каждое линейное уравнение есть уравнение первой степени.

ПРИМЕР:

Все уравнения

2х + 3 = 7 – 0,5х;   

0,3у = 0;    

^х/₂ + 3 = ¹/₂(х – 2).

линейные, но только два первых будут уравнениями первой степени.

Уравнение первой степени с одним неизвестным всегда имеет одно решение.

Линейное уравнение может не иметь решений 

ПРИМЕР:

0х = 5. 

Иметь их бесконечное множество

ПРИМЕР: 

0х = 0.

Решение уравнений.

Если в уравнение с одним неизвестным вместо неизвестного подставить какое-то число, выраженное цифрами или буквами, и в результате левая часть будет тождественно равна правой, то говорят, что данное число (значение неизвестного) удовлетворяет уравнению. В противном случае говорят, что оно не удовлетворяет уравнению.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Для нахождения неизвестного слагаемого надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Для нахождения неизвестного уменьшаемого нужно к разности прибавить вычитаемое.

Для нахождения неизвестного вычитаемого нужно от уменьшаемого отнять разность.

Для нахождения неизвестного множителя нужно произведение поделить на известный множитель.

Для нахождения неизвестного делимого нужно частное умножить на делитель.

Для нахождения неизвестного делителя нужно делимое поделить на частное.

Уравнения, содержащие скобки, решают по тем же правилам.

Уравнение может совсем не иметь решений.

ПРИМЕР:

Уравнение 

2х + 5 = 2(х + 6)  

не имеет корней, так как при любом х значение выражения  2х + 5  меньше соответственного значения выражения  2(х + 6)  на  7. Если мы будем решать это уравнение, то получим: 2х + 5 = 2х + 12  или  2х – 2х = 12 – 5  или  0 ∙ х = 7. Равенство  0 ∙ х = 7 не является верным ни при каких значениях х. Множество корней уравнения пусто.

ПРИМЕР:

Уравнение  х² + 1 = 0  не имеет действительных корней.

ПРИМЕР:

Уравнение

х + 8 = х + 5

не имеет решений, ибо при любых действительных значениях  х  левая часть больше правой.

Уравнение может иметь единственное решение.

ПРИМЕР:

Уравнение

3х + 2 = 11

имеет единственный корень  х = 3.

ПРИМЕР:

Уравнение 

х + 5 = 8 

имеет единственный корень 3.

ПРИМЕР:

Уравнение  3 + х = 7  имеет единственный корень  4, так как при этом и только при этом значении переменной равенство  3 + х = 7  является верным.

Уравнение может иметь несколько решений.

ПРИМЕР:

Уравнение

(х – 1)(х – 2) = 0

имеет два корня:  1  и  2.

ПРИМЕР:

Уравнение 

(х + 2)(х – 1)(х – 7) = 0 

имеет три корня:  –2; 1; 7, так как каждое из этих чисел обращает уравнение в верное равенство, а при всех других значениях х ни один из множителей не равен нулю, а значит, и их произведение не равно нулю.

Уравнение может иметь бесконечное множество решений.

ПРИМЕР:

Корнем уравнения 

3(5х + 10) = 30 + 15х 

является любое значение х, так как выражения  3(5х + 10)  и  30 + 15х  тождественно равны. Решив уравнение получим 0 ∙ Х = 0. Произведение  0 ∙ Х  равно нулю при всех значениях  Х.

ПРИМЕР:

Уравнение

5(х – 3) + 2 = 3(х – 4) + 2х – 1

удовлетворяется при любом значении  х, то есть является тождеством.

Чтобы выполнить проверку найденных решений уравнения, необходимо в уравнении вместо неизвестного подставить найденное значение. Если полученное числовое равенство верно, то найденное число является корнем уравнения; если полученное числовое равенство неправильно, то найденное число не является корнем уравнения.

Значение выражения зависит от значения буквы, которая входит в выражение. Если в выражение с переменными подставить вместо каждой переменной какое-либо её значение, то получится числовое выражение. Его значение называют значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных. Выражения с переменными используются для записи формул.

Неизвестное обозначают буквой, например,  х, у  и т.д. В уравнении могут быть неизвестные буквы (параметры). Выражения, стоящие в уравнении слева и справа от знака равенства, называют соответственно левой и правой частями уравнения.

ПРИМЕР:

Можно считать, что уравнение

ах + 3 = с

имеет одно неизвестное  х  и параметры  а  и  с.

ПРИМЕР:

Возьмём два выражения 

3х  и  х + 8.

Приравняем их друг к другу и определим, при каком значении  х  эти выражения равны.

 3х = х + 8;  3х – х = 8;  или  2х = 8; откуда  х = 4.

Выражение  3х = х + 8  называется уравнением, а число  4 – корень уравнения. Напомним, что корнем уравнения с одной переменной называется то значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Равносильность уравнений.

Два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые корни.

Равносильными считают и такие уравнения, которые не имеют решений. В результате таких преобразований всегда получаем уравнение, равносильное предыдущему.

ПРИМЕР:

Если в уравнение

3х + 7 = 13

вместо  х  подставить число  2, получим тождество

3 × 2 + 7 = 13.

Следовательно, значение  х = 2  удовлетворяет данное уравнение, число  2  есть решение или корень этого уравнения. А значение  х = 3 не удовлетворяет этому уравнению, ибо

3 × 3 + 7 ≠ 13.

ПРИМЕР:

Уравнение

х + 2 = 5  и  х + 5 = 8

равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень – число  3.

Равносильны и уравнения

х² + 1 = 0.  и  2х² + 5 = 0

– ни одно из них не имеет корней.

Уравнения

х – 5 = 1  и  х² = 36

неравносильны, так как первое имеет только один корень  6, тогда как второе имеет два корня:  6  и  –6.

ПРИМЕР:

Уравнения

2х – 5 = 11  и

7х + 6 = 62

равносильны, потому что они имеют тот же корень  х = 8.

ПРИМЕР:

Уравнения

х + 2 = 2(х + 1) – х  и

3х = 3(х – 1) + 3

равносильны, ибо любое значение  х  удовлетворяет и первое и второе уравнение.

ПРИМЕР:

Уравнения

х + 2 = х + 51  и

2х + 7 = 2х

равносильны, потому что они оба не имеют решений.

В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, но равносильным данному. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.

Основные свойства уравнений.

К обеим частям уравнения можно добавить любое выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение равносильно данному.

В частности, если к обеим частям уравнения добавить то же число или многочлен, то новое уравнение будет равносильно данному.

ПРИМЕР:

Уравнение

2х – 1 = 7

имеет корень  х = 4; прибавив к обеим частям по  5, получим уравнение

2х + 4 = 12,

которое имеет тот же корень  х = 4.

Если в обеих частях уравнения имеются одинаковые члены, то их можно опустить.

ПРИМЕР:

Уравнение

9х + 5х = 18 + 5х

имеет один корень  х = 2; пустив в обеих частях  5х, получим уравнение

9х = 18,

которое имеет тот же корень  х = 2.

В любой части уравнения можно раскрыть скобки и сложить подобные члены, если они есть.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

2х – 3 + 4(х – 1) = 5.

РЕШЕНИЕ:

Последовательно раскроем скобки, приведем подобные члены и найдем  х.

2х – 3 + 4х – 4 = 5,

2х + 4х = 5 + 3 + 4,

6х = 12,  х = 2.

ОТВЕТ:  2

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

2х – 3 + 2(х – 1) = 4(х – 1) – 7.

РЕШЕНИЕ:

Последовательно раскроем скобки, приведем подобные члены и найдем  х.

2х – 3 + 4х – 4 = 5,

2х + 2х – 4х = –4 – 7 + 3 + 2,

0 × х = –6.

ОТВЕТ:  ∅

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

2х + 3 – 6(х – 1) = 4(1 – х) + 5.

РЕШЕНИЕ:

Последовательно раскроем скобки, приведем подобные члены и найдем  х.

2х – 6х + 3 + 6 = 4 – 4х + 5,

– 4х + 9 = 9 – 4х,

– 4х + 4х = 9 – 9,

0 × х = 0.

ОТВЕТ:  любое число

Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, сменив его знак на противоположный.

ПРИМЕР:

Уравнение

7х – 11 = 3

имеет один корень  х = 2. Если перенести  11  в правую часть с противоположным знаком, получим уравнение

7х = 3 + 11,

которое имеет то же решение  х = 2.

ПРИМЕР:

Уравнение

х² + 2 = 3х.

равносильно уравнению

х² + 2 – 3х = 0.

Обе части уравнения можно умножить на любое выражение, имевшее смысл и отличающееся от нуля при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение равносильно данному.

В частности, если обе части уравнения умножить на то же число, не равное нулю, то получим уравнение, равносильное данному.

ПРИМЕР:

Уравнение

2х – 15 = 10 – 3х

имеет корень  х = 5. Умножив обе части на  3, получим уравнение

(2х – 15) × 3 = (10 – 3х) × 3, или

6х – 45 = 30 – 9х,

которое имеет тот же корень  х = 5.

ПРИМЕР:

Уравнение

равносильно уравнению  х² – 1 = 6х  (обе части первого уравнения умножили на  3).

Иногда приходится умножать обе части уравнения на какое-либо выражение, содержащее неизвестное. В результате можно получить уравнение, не равносильное данному.

Уравнение можно сократить (разделить все его члены на то же число).

Деление на любое число, отличающееся от нуля, можно рассматривать как умножение на число, обратное к данному. Поэтому обе части уравнения можно также и разделить на то же число, отличающееся от нуля.

Знаки всех членов уравнения можно изменить на противоположные (это равносильно умножению обеих частей уравнения на  –1).

ПРИМЕР:

Уравнение

–3х + 7 = –8

после умножения обеих частей на  –1  примет вид

3х – 7 = 8.

Первое и второе уравнения имеют единый корень  х = 5.

Преобразуя уравнения в соответствии с названными свойствами и последствиями, мы каждый раз получаем новое, более простое уравнение, равносильное данному. Таким способом можно прийти к очень простому уравнению, корни которого определить нетрудно. А поскольку полученное уравнение равносильно данному, то и корни его есть не что иное, как корни данного уравнения.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

78 + х = 100.

РЕШЕНИЕ:

Применим известное правило нахождения неизвестного слагаемого:

чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Имеем:

х = 100 – 78 = 22.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

х – 34 = 82.

РЕШЕНИЕ:

Применим известное правило нахождения неизвестного уменьшаемого:

чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Имеем:

х = 82 + 34 = 116.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

108 – х = 96.

РЕШЕНИЕ:

Применим известное правило нахождения неизвестного вычитаемого:

чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно от уменьшаемого отнять разность.

Имеем:

х = 108 – 96 = 12.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

(х – 124) + 316 = 900.

РЕШЕНИЕ:

Применим известное правило нахождения неизвестного слагаемого, получаем:

х – 124 = 900 – 316 = 584.

Далее применяем правило нахождения неизвестного уменьшаемого:

х = 584 + 124 = 708.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

1000 – (537 – х) = 642.

РЕШЕНИЕ:

Применим дважды правило нахождения неизвестного вычитаемого:

537 – х = 1000 – 642 = 358,

х = 537 – 358 = 179.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

12х = 84.

РЕШЕНИЕ:

Применим правило нахождения неизвестного множителя:

чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение поделить на известный множитель.

Имеем:

х = 84 : 12 = 7.

ПРИМЕР:

Найдите корни уравнения:

2х – 14 = 56.

РЕШЕНИЕ:

2х – 14 = 56,

2х = 56 + 14,

2х = 70,  х = 35. 

ПРИМЕР:

Найдите корни уравнения:

4х – 14 = 26.

РЕШЕНИЕ:

4х – 14 = 26,

4х = 26 + 14,

4х = 40,  х = 10.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

х : 21 = 16.

РЕШЕНИЕ:

Применим правило нахождения неизвестного делимого:

чтобы найти неизвестное делимое, нужно делитель умножить на частное.

Имеем:

х = 21 ∙ 16 = 336.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

576 : х = 18.

РЕШЕНИЕ:

Применим правило нахождения неизвестного делителя:

чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое поделить на частное.

Имеем:

х = 576 : 18 = 32.

ПРИМЕР:

Какое из чисел

3; 12; 14

является корнем уравнения

2х – 5 = 23 ?

РЕШЕНИЕ:

2х – 5 = 23,

 2х = 23 + 5,  2х = 28,

х = 28 : 2,  х = 14.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

8х + 3 = 10х – 7.

РЕШЕНИЕ:

Перенесем с противоположными знаками слагаемое  10х  из правой части уравнения в левую, а слагаемое  3  из левой части в правую:

8х – 10х = – 7 – 3.

Упростим левую и правую части уравнения:

–2х = –10.

Теперь разделим обе части уравнения на  –2:

х = 5.

Проверим найденный ответ:

8 ∙ 5 + 3 = 10 ∙ 5 – 7.

Образовавшееся равенство верно, ибо значение каждой ее части равно  43. Следовательно, корнем заданного уравнения является число:

8х + 3 = 10х –7,

3 + 7 = 10х – 8х,

10 = 2х, 5 = х,

х = 5.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

(х – 4)(х + 5) = х².

РЕШЕНИЕ:

(х – 4)(х + 5) = х²,

х² + х – 20 = х²,

х – 20 = 0,  х = 20.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

(х – 6)(х + 7) = х².

РЕШЕНИЕ:

(х – 6)(х + 7) = х²,

х² – 6х + 7х – 42 = х²,

х – 42 = 0,  х = 42.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

1 – 2(х – 1) = х + 3.

РЕШЕНИЕ:

1 – 2(х – 1) = х + 3,

1 – 2х + 2 = х + 3,

2х + х = 1 + 2 – 3,

3х = 0, х = 0.

Задания к уроку 1

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем