Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач

Что бы решить задачу с помощью уравнения, сначала надо составить соответствующее уравнение. Короче говоря, нужно переложить задачу с обыкновенного языка на математический язык. Для этого составляют математическую модель данной задачи. Модель всегда подобна оригиналу. В ней отображаются те или иные важные свойства исследуемого объекта. Глобус – модель Земли, кукла – модель человека. Если модель построена на основании уравнений, формул или других математических понятий, её называют математической моделью.

Чтобы решить задачу с помощью уравнения, необходимо:

– выбрать неизвестное и обозначить его буквой;

– выразить остальные неизвестные в задачи величины с помощью этой буквы;

– составить уравнение;

– решить уравнение;

– сделать проверку.

Двигаясь со скоростью  60 км/час, автомобиль за  2 час  пройдёт

60 ⋅ 2 (км),

за  5 час – 60 ⋅ 5 (км).

Вообще, за  t  часов он пройдёт  60 ⋅ t  (км). Измеряя значение  t, мы можем с помощью выражения  60 ⋅ t  находить путь, пройденный автомобилем за разные промежутки времени. Для этого достаточно вместо буквы  t  подставить её значение и выполнить умножение. Букву  t  в выражении  60 ⋅ t  называют переменной, а само выражение  60 ⋅ t – выражением с переменной.

ЗАДАЧА:

Определите вес одного батона, лежащего на весах:

РЕШЕНИЕ:

Обозначим вес батона через  х. Так как весы уравновешены, то можно составить уравнение:

5х = 2х + 6.

Решим его.

Добавим к обеим частям уравнения по  –2х (снимем с обеих чашек весов по два батона), получим:

5х – 2х = 2х – 2х + 6.

Но  2х – 2х  равно  0, следовательно,

5х – 2х = 6.

Сравним это уравнение с заданным. Видим, что его можно извлечь из данного, если слагаемое  2х  перенести в левую часть, изменив его знак. Решая дальше уравнение 

5х – 2х = 6,

получим:

3х = 6,  х = 2.

Число  2  будет корнем уравнения

5х = 2х + 6,

так как равенство правильное

5 ∙ 2 = 2 ∙ 2 + 6.

ОТВЕТ:  6

ЗАДАЧА:

За  2,5 кг  масла заплатили  8,75 руб. Сколько стоит  1,7 кг  этого масла ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть вторая покупка стоит  х руб. Цену на масло можно найти двумя способами: поделить  8,75  на  2,5  или поделить их на  1,7. В обоих случаях должен получиться один и тот же ответ. Получим пропорцию:

8,75 : 2,5 = х : 1,7.

По основному свойству пропорции имеем:

8,75 ∙ 1,7 = 2,5 ∙ х.

Итак,

х = 8,75 ∙ 1,7 : 2,5,

х = 5,95.

ОТВЕТ:  за вторую покупку заплатили  5,95 руб.

ЗАДАЧА:

В универмаге покупатель потратил  32%  имеющихся у него денег. Это составляет  11,2 руб. Сколько денег было у покупателя ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть у покупателя было  х руб, тогда один процент его денег составляет  0,01х руб, а  32%  составляют

0,01х ∙ 32 = 0,32х (руб).

По условию задачи  0,32х руб  равны  11,2 руб:

0,32х = 11,2,

х = 11,2 : 0,32 = 35,

х = 35.

ОТВЕТ:  35 руб

ЗАДАЧА:

Турист должен пройти  220 км. В первый день он прошел  33 км. Сколько процентов пути прошел турист за первый день ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть в первый день турист прошел х процентов пути. Один процент пути составляет  2,2 км, а  х  процентов составляют  2,2х км, что по условию задачи равно  33 км:

2,2х = 33,

х = 33 : 2,2 = 15,

х = 15.

ОТВЕТ:  15%

ЗАДАЧА:

Если задуманное число умножить на  3  и к полученному результату прибавить  5, то получим  56. Какое число задумали ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть  х – задуманное число, тогда

3х + 5 = 56,

3х = 51, х = 17.

ЗАДАЧА:

Двое рабочих изготовили за первый день  100 деталей. Во второй день первый рабочий изготовил деталей на  20%  больше, чем за первый день, а второй рабочий – на  10%  больше, чем за первый день. Всего за второй день они сделали  116 деталей. Сколько деталей изготовил за первый день первый рабочий ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть за первый день первый рабочий изготовил  х  деталей, тогда второй рабочий за первый день изготовил  (100 – х) деталей. За второй день первый рабочий изготовил  1,2х  деталей, а второй за второй день изготовил  1,1(100 – х) деталей. Поскольку вместе за второй день они изготовили  116  деталей, то:

1,2х + 1,1(100 – х) = 116,

1,2х – 1,1х = 6,

0,1х = 6,  х = 60.

ОТВЕТ:  60 деталей

ЗАДАЧА:

Какую сумму денег нужно положить в банк под  10%  годовых, чтобы через  2 года на счете стало  6050 руб ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть в банк положили  х руб. Тогда через год их стало  1,1х руб, а через год –

1,1х ∙ 1,1 = 1,21х руб.

Итак,

1,21х = 6050,

х = 5000 (руб).

ОТВЕТ:  5000 (руб)

ЗАДАЧА:

После двух последовательных снижений цены на  20%  шкаф стал стоить  1600 руб. Какова была начальная цена шкафа ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть начальная цена шкафа  х руб. После первого понижения стоимость стала  0,8 руб. После второго понижения –

0,8 ∙ 0,8 = 0,64х.

Итак

0,64х = 1600, х = 2500 руб

ОТВЕТ:  25000 (руб)

ЗАДАЧА:

В первом бидоне было молоко с массовой долей жира  2%, а во втором – 5%. Сколько нужно взять молока из каждого бидона, чтобы получить  12 кг  молока, массовая доля жира которого равна  4% ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть из первого бидона нужно взять  х кг молока, масса жира в нем составляет  0,02х кг. Тогда с другой надо взять  (12 – х) кг  молока, масса жира в нем составляет  0,05(12 – х) кг.

Уравнение:

0,02х + 0,05(12 – х) = 0,04 ∙ 12,

2х + 5(12 – х) = 4 ∙ 12,

–3х = –12, х = 4.

Итак, с первого бидона нужно взять  4 кг, со второго –

12 – 4 = 8 (кг).

ОТВЕТ:  4 кг из первого бидона, 8 кг – со второго

ЗАДАЧА:

Цену на товар снизили сначала на  10%, а затем еще на  20%, после чего он стал стоить  28 руб. 80 коп. Какова была начальная цена товара ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть начальная цена товара  х руб. После понижения на  10%  он стал стоить – 0,9х, а после повторного снижения на  20%  цена составила –

0,8 ∙ 0,9х = 0,72х.

Отсюда

0,72х = 28,8, х = 40 (руб).

ОТВЕТ: 40 (руб)

ЗАДАЧА:

Ученик умножил некоторое число на  9  и  12. Потом сложил найденные произведения. Он получил  210. Какое число умножил ученик на  9  и на  12 ?

 РЕШЕНИЕ:

Пусть неизвестное число будет  х. Тогда первое произведение  9х, второе – 12х. По условию задачи сумма этих произведений равна  210. Это утверждение записывается уравнением:

12х + 9х = 210.

Решением уравнения будет  х = 10. Поэтому, неизвестное число равно  10.

ЗАДАЧА:

Брат в четыре раза старше сестры, а сестра на  9  лет младше  брата. Сколько лет сестре и сколько брату ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть возраст сестры – х  лет. Тогда возраст брата  4х. По условию задачи сестра на  9  лет младше брата – это записывается уравнением:

4х – х = 9.

Решением будет 

х = 3  (возраст сестры);

4х = 4 ∙ 3 = 12  (возраст брата).

ЗАДАЧА:

После двух последовательных понижений цены, первое из которых было на  15%, а второе – на  10%, пальто стало стоить  918 руб. Какова белая начальная цена пальто ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть начальная цена пальто х руб. После первого снижения цена стала  0,85х руб, после второго –

0,85х ∙ 0,9 = 0,765х руб

Итак,

0,756х = 918,

х = 1200 руб

ЗАДАЧА:

Телевизор и мобильный телефон стоили вместе  1800 руб. После того, как телевизор подорожал на  10%, а телефон подешевел на  10%, они стали стоить вместе  1840 руб. Найдите первоначальную цену телевизора.

РЕШЕНИЕ:

Пусть начальная цена телевизора  х руб, тогда мобильный телефон стоил  (1800 – х) руб. Новая цена телевизора  1,1х руб, а мобильного телефона – 0,9(1800 – х) руб. Поскольку новая цена их обоих составляет  1840 руб, то:

1,1х + 0,9(1800 – х) = 1840,

0,2х = 1840 – 1620,

0,2х = 220, х = 1100.

ОТВЕТ:  1100 руб

ЗАДАЧА:

В течение двух дней рабочий изготовил некоторое количество деталей. За первый день он изготовил  ⁹/₁₆  всех деталей, а за второй – на  9  деталей меньше, чем за первый. Сколько деталей изготовил рабочий за два дня ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть  х – количество деталей, которое рабочий изготовил за два дня. Тогда за первый день он изготовил  ⁹/₁₆ х  деталей, а за второй – ⁷/₁₆ х  деталей.

Уравнение:

⁹/₁₆ х – ⁷/₁₆ х = 9,

²/₁₆ х = 9, ¹/₈ х = 9,

х = 72.

ЗАДАЧА:

Вкладчик положил в банк на два разных счета  12 000 руб. По первому из счетов банк выплачивает  6%  годовых, а по второму – 8%  годовых. Через год клиент получил  800 руб  процентных денег. Сколько рублей он положил на каждый счет ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть вкладчик положил  х руб  на первый счет. Тогда на второй он положил  (1200 – х) руб. Через год с первого счета он получил  0,06х руб, а со второго – 0,08(1200 – х) руб  процентных денег. Поэтому:

0,06х + 0,08(1200 – х) = 800,

6х + 8(1200 – х) = 80000,

–2х = –16000, х = 8000.

Так что на первый счет вкладчик положил  8000 руб, а на второй –

12000 – 8000 = 4000 (руб).

ОТВЕТ:  8000 руб, 4000 руб

ЗАДАЧА:

После двух последовательных понижений цены, первое из которых было на  20%, а второе – 10%, стул стал стоить  108 руб. Найдите начальную цену стула.

РЕШЕНИЕ:

Пусть начальная цена стула  х руб. После первого понижения стоимость стала  0,8х руб. После второго понижения –

0,8х ∙ 0,9 = 0,72.

Итак

0,72х = 108,

х = 150 руб

ЗАДАЧА:

На клумбе растут тюльпаны и астры, причем тюльпаны составляют  52%  всех цветов. Астр на клумбе растет на  80 меньше тюльпанов. Сколько цветов растет на клумбе ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть на клумбе растет цветок. Тогда тюльпанов растет  0,52х, а астр –

х – 0,52х = 0,48х.

Отсюда:

0,52х – 0,48х = 80,

0,04х = 80,

х = 2000.

ЗАДАЧА:

В саду произрастают яблони и вишни, причем яблони составляют  52%  всех деревьев. Вишен растет на  8  деревьев меньше, чем яблонь. Сколько деревьев растет в саду ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть в саду росло  х  деревьев. Тогда яблонь росло  0,52х  деревьев, а вишен –

0,52х – 8.

Отсюда:

0,52х + 0,52х – 8 = х,

1,04х – 8 = х, 0,04х = 8,

х = 200.

ЗАДАЧА:

Вкладчик положил в банк на два разных счета общую сумму  15 000 руб. По первому из них банк выплачивает  7%  годовых, а по второму – 10%  годовых. Через год вкладчик получил  1200 руб  процентных денег. Сколько рублей он положил на каждый счет ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть вкладчик положил  х руб  на первый счет. Тогда на второй он положил  (15000 – х) руб.  Через год с первого счета он получил  0,07х руб, а со второго – 0,1(15000 – х) руб  процентных денег. Поэтому:

0,07х +0,1(15000 – х) = 1200,

7х +10(15000 – х) = 120000,

 –3х = –30000,  х = 10000

Так что на первый счет вкладчик положил  10000 руб, а на второй –

15000 – 10000 = 5000 (руб).

ОТВЕТ:  10000 руб, 5000 руб

ЗАДАЧА:

Мальчик прочитал книгу за  2 дня, причем за первый день он прочитал  46%  всей книги, а за второй – на  32  страницы больше, чем за первый. Сколько страниц в книге ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть в книге  х  страниц. Тогда за первый день он прочитал  0,46х  страниц, а за второй – 0,54х. За второй день он прочитал на  32 страницы больше:

0,54х – 0,46х = 32,

0,08х = 32,

х = 400 (страниц).

ЗАДАЧА:

Привезенные в магазин фрукты были проданы в течение двух дней. За первый день продали  ⁷/₁₅  всех фруктов, а за второй – на  18 кг больше, чем за первый. Сколько килограммов фруктов продали в магазины за два дня ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть за два дня в магазине продали   х кг  фруктов. Тогда за первый день продали  ⁷/₁₅ х кг  фруктов, а за второй – ⁸/₁₅ х кг. За второй день продали на  18 кг  фруктов больше:

⁸/₁₅ х – ⁷/₁₅ х = 18,

^х/₁₅ = 18,

х = 270 (кг).

ЗАДАЧА:

Вкладчик положил в банк определенную сумму под  8%  годовых. Какова сумма первоначального вклада, если через  2 года на счете вкладчика стало  5832 руб ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть вкладчик положил  х руб, тогда после первого года на счету было  1,08 руб, а после второго –

1,08 ∙ 1,08х = 1,1664х,

1,1664х = 5832,

х = 5000 (руб).

ЗАДАЧА:

Цена товара сначала выросла на  20%, а затем снизилась на  20%. Как изменилась цена товара по сравнению с первоначальной ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть  х руб – начальная цена товара. После первого подорожания она стала  1,2х руб, после понижения –

1,2х ∙ 0,8 = 0,96х (руб),

х – 0,96х = 0,04х,

0,04х : х = 0,04 = 4%.

ОТВЕТ:  уменьшилась на  4%

Задания к уроку 4

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем