Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

х(х – 4) = х² + 8.

РЕШЕНИЕ:

х² – 4х = х² + 8,

–4х = 8,  х = –2.

ПРОВЕРКА:

Подставим в уравнение вместо  х  полученное значение:

(–2)((–2) – 4) = (–2)² + 8,

(–2)(–6) = 4 + 8,

12 = 12.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

6х + 1 = 43.

РЕШЕНИЕ:

6х = 43 – 1, 6х = 42, 

х = 42 : 6 = 7.

ПРОВЕРКА:

Подставим в уравнение вместо  х  полученное значение:

6∙7 + 1 = 43,  43 = 43.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

¹/₆  х + 2 = 0.

РЕШЕНИЕ:

¹/₆  х = –2,  х = –2 : ¹/₆ ,

х = –2 ∙ 6,  х = –12.

ПРОВЕРКА:

Подставим в уравнение вместо  х  полученное значение:

¹/₆  (–12) + 2 = 0,

–2 + 2 = 0.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

¹/₅ х + ²/₁₅ = 0.

РЕШЕНИЕ:

¹/₅ х = –²/₁₅,

Если разделить обе части этого уравнения на коэффициент при  х, то получим уравнение равносильное данному:

х = –²/₁₅ : ¹/₅,  х = –²/₃.

Итак, –²/₃ – корень уравнения.

ПРОВЕРКА:

Подставим в уравнение вместо  х  полученное значение:

¹/₅  ∙ (–²/₃) + ²/₁₅ = 0,

–²/₁₅ + ²/₁₅ = 0,  0 = 0.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

(х² + 2х)(х – 1) = 0.

РЕШЕНИЕ:

х(х + 2)(х – 1) = 0,

х = 0,  х = –2,  х = 1.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

(t – 1)(t + 2)(3 – t) = 0.

РЕШЕНИЕ:

Из условия равенства произведения нулю следует, что значение переменной  t  будет корнем данного уравнения тогда и только тогда, когда значение  t  будет корнем хотя бы одного из трёх уравнений:

t – 1 = 0;

t + 2 = 0;

3 – t.

Решив эти уравнения, получим:

t = 1;  t = –2;  t = 3.

ОТВЕТ:  –2;  1;  3.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

|у – 5| = 3.

РЕШЕНИЕ:

у – 5 = 3;     у = 8. 

у – 5 = –3;   у = 2.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Это уравнение сводится к линейному уравнению. Умножив обе части уравнения на  12  (наименьшее общее кратное знаменателей  3, 4, 6, 12), получим:

и далее

8 + 3х + 2 – 2х = 5х – 12,

8 + 2 + 12 = 5х – 3х + 2х,

4х = 22,  х = 5,5.

ПРОВЕРКА:

Подставим в уравнение вместо  х  полученное значение:

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

(2х + 1)(3х – 2) – 6х(х + 4) = 67 – 2х.

РЕШЕНИЕ:

(6х² + 3х – 4х – 2) – (6х² + 24х) = 67 – 2х,

6х² + 3х – 4х – 2 – 6х² – 24х = 67 – 2х,

3х – 4х – 2 – 24х = 67 – 2х,

3х – 4х – 24х + 2х = 67 + 2,

–23х = 69,  х = –3.

ПРОВЕРКА:

Подставим в уравнение вместо  х  полученное значение:

(2 ∙ (–3) + 1)(3 ∙ (–3) – 2) – 6 ∙ (–3) ((–3) + 4) =

= 67 – 2 ∙ (–3),

(–6 + 1)( –9 – 2) + 18 ∙ 1 =

= 67 + 6,

(–5)( –11) + 18 = 73,

55 + 18 = 73, 73 = 73.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

(х + 2)∙4 – (3х – 1)∙3 = –24,

4х + 8 – 9х + 3 = –24,

4х – 9х + 3 = –24 – 8 – 3,

–5х = –35,  х = 7.

ПРОВЕРКА:

Подставим в уравнение вместо  х  полученное значение:

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

4х – 14 – 4х + 1 = 0,

0∙х = 13.

ОТВЕТ:  уравнение не имеет решений

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

(5х – 1) – 2(3х – 6) = 11 – х.

РЕШЕНИЕ:

5х – 1 – 6х + 12 = 11 – х,

5х – 6х + х = 11 +1 – 12,

0∙х = 0.

ОТВЕТ:  уравнение имеет бесконечное множество решений

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

12 – (4х – 18) = (36 + 4х) + (18 – 6х).

РЕШЕНИЕ:

12 – 4х + 18 = 36 + 4х + 18 – 6х,

–4х – 4х + 6х = 36 + 18 – 12 = 18,

–2х = 24,  х = 24 : (–2),  х = –12.

ПРОВЕРКА:

Подставим в уравнение вместо  х  полученное значение:

12 – (4∙(–12) – 18) = (36 + 4∙(–12)) + (18 – 6∙(–12)),

12 – (–48 – 18) = (36 – 48) + (18 + 72),

12 – (–66) = (– 12) + 90,  78 = 78.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

1 – 3(х – 1) = 2 – 7(1 – х).

РЕШЕНИЕ:

1 – 3х + 3 = 2 – 7 + 7х,

–7х – 3х = 2 – 7 – 4,

–10х = –9,  х = 9 : (–10),

х = 0,9.

ПРОВЕРКА:

Подставим в уравнение вместо  х  полученное значение:

1 – 3(0,9 – 1) = 2 – 7(1 – 0,9),

1 – 3(–0,1) = 2 – 7(0,1),

1 + 0,3 = 2 – 0,7,  1,3 = 1,3.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

х + ¹/₃ х = 4 – ¹/₂ х.

РЕШЕНИЕ:

Приведём левую и правую части уравнения к общему знаменателю, который равен  6:

^6х/₆ + ^2х/₆ = ²⁴/₆ – ^3х/₆,

6х + 2х = 24 – 3х,

6х + 2х + 3х = 24,

11х = 24,  х = ²⁴/₁₁ = 2²/₁₁.

ПРОВЕРКА:

Подставим в уравнение вместо  х  полученное значение:

2²/₁₁ + ¹/₃ ∙ 2²/₁₁ = 4 – ¹/₂ ∙ 2²/₁₁,

²⁴/₁₁ + ¹/₃ ∙ ²⁴/₁₁ = 4 – ¹/₂ ∙ ²⁴/₁₁,

²⁴/₁₁ + ⁸/₁₁ = 4 – ¹²/₁₁,

³²/₁₁ = ⁴⁴/₁₁ – ¹²/₁₁,   ³²/₁₁ = ³²/₁₁.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

3х + ^х/₃+ ¹/₃ ∙ ^х/₃ + ¹/₉ х = 1.

РЕШЕНИЕ:

Приведём левую и правую части уравнения к общему знаменателю, который равен  9:

^27х/₉ + ^3х/₉+ ^х/₉ + ^х/₉ = ⁹/₉.

27х + 3х + х + х = 9,

32х = 9,  х = ⁹/₃₂.

ПРОВЕРКА:

Подставим в уравнение вместо  х  полученное значение:

3∙⁹/₃₂ + ⁹/₃₂ ∙ ¹/₃+ ¹/₃ ∙ ⁹/₃₂ ∙ ¹/₃ + ¹/₉∙ ⁹/₃₂ = 1,

²⁷/₃₂ + ³/₃₂+ ¹/₃₂+ ¹/₃₂ = 1,  1 = 1.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

|1,1 – х| = 1,2.

РЕШЕНИЕ:

1,1 – х = 1,2,  –х = 1,2 – 1,1,

– х = 0,1,  х₁ = –0,1.

1,1 – х = –1,2,  – х = –1,2 – 1,1,

– х = –2,3,  х₂ = 2,3.

ПРОВЕРКА:

Подставим в уравнение вместо  х  полученные значения:

|1,1 + 0,1| = 1,2,  1,2 = 1,2.

|1,1 – 2,3| = 1,2,  1,2 = 1,2.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

|2,5 – |х + 2|| – 2,5 = 1,5.

РЕШЕНИЕ:

|2,5 – |х + 2|| = 4,

2,5 – |х + 2| = 4,

–|х + 2| = 4 – 2,5,

–|х + 2| = 1,5,  –|х + 2| = –1,5.

Решений нет.

|2,5 – |х + 2|| = 4,

2,5 – |х + 2| = –4,

–|х + 2| = –6,5,

|х + 2| = 6,5,

х + 2 = 6,5,  х = 4,5.

х + 2 = –6,5,  х = –8,5.

ПРОВЕРКА:

Подставим в уравнение вместо  х  полученные значения:

|2,5 – |4,5 + 2|| – 2,5 = 1,5,

|2,5 – 6,5| – 2,5 = 1,5,

4 – 2,5 = 1,5,  1,5 = 1,5.

|2,5 – |–8,5 + 2|| – 2,5 = 1,5,

|2,5 – 6,5| – 2,5 = 1,5,

4 – 2,5 = 1,5,  1,5 = 1,5.

Задания к уроку 5

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем