Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными

Системы уравнений, как и отдельные уравнения, используются для решения сложных и нужных задач. При решении некоторых задач приходится составлять два уравнения, в каждом из которых находится по две неизвестные величины, то есть мы имеем два уравнения с двумя неизвестными. Нужно найти такие значения неизвестных  х  и  у, которые одновременно удовлетворяли бы и первое и второе уравнение, то есть преобразовывали каждое из уравнений в правильное равенство. Иначе: необходимо найти общее решение обоих уравнений. Или решить систему данных уравнений. Пусть даны два уравнения с двумя переменными:

f(x; y) = 0  и  g(x; y) = 0.

Если ставится задача найти все общие решения двух уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений. Пару значений переменных, обращающую в верное равенство каждое уравнение системы, называют решением системы уравнений. Решить систему – значит найти все её решения или доказать, что их нет.

Записывают систему уравнений, объединяя их фигурной скобкой.

ПРИМЕР:

означает, что уравнения

х – 3у = 10,

3х – 2у = 2

образуют систему.

Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными.

Если система из  n  линейных уравнений содержит  n  неизвестных, то возможны следующие три случая:

– система не имеет решений;

– система имеет ровно одно решение;

– система имеет бесконечно много решений. 

ПРИМЕР:

Каждое уравнение этой системы имеет бесконечное количество решений и только  одна пара чисел является общей для обоих уравнений.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

ПРИМЕР:

Приведённую выше систему уравнений удовлетворяет пара чисел:

х = 15;

у = 5.

Это и есть решение данной системы. Других решений она не имеет.

Существуют системы уравнений, которые имеют бесконечное множество решений, а также системы, которые совсем не имеют решений. Система, которая не имеет решений, называется несовместимой. Называть решения системы корнями нельзя.

Решить систему – это значит найти все решения этой системы или показать, что она не имеет их.

Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными), если все решения одной из них будет решением другой, и наоборот, все решения другой системы будут решениями первой.

ПРИМЕР:

Решением системы

будет пара чисел:  х = 4  и  у = 3. Эти числа будут также единственным решением системы:

Поэтому, рассмотренные системы уравнений равносильные.

Две несовместимые системы уравнений также считаются равносильными. Две равносильные системы уравнений могут состоять из одинакового и разного количества уравнений. Отдельно, система уравнений может быть равносильна до одного уравнения. Понятие равносильности систем уравнений будет относительным: две системы уравнений равносильны в одном числовом множестве и неравносильны – в другом.

При решении системы уравнений обычно заменяют данную систему другой, более простой или по каким-либо причинам более <<удобной>>, но равносильной первоначальной.

Любое из уравнений системы можно заменить равносильным ему уравнением; полученная в результате этого система равносильна данной.

ПРИМЕР:

Если в системе

заменить второе уравнение равносильным ему уравнением  

9х + 6у = 57, 

то получим новую систему равносильную данной:

ПРИМЕР:

Системы

равносильны.

Равносильны будут и следующие системы:

Любое из уравнений системы можно заменить уравнением, полученным в результате алгебраического сложения обоих уравнений системы. Новая система равносильна до данной.

ПРИМЕР:

Если первое уравнение в системе

заменить таким образом, получим новую систему

равносильную данной.

 ПРИМЕР:

Системы

равносильны. Мы заменили уравнение  х – 3у = 10  суммой двух уравнений заданной системы, а уравнение  3х – 2у = 2  оставили неизменным.

Можно из одного уравнения системы виразить некоторое неизвестное через другое и подставить это виражение в другое уравнение, новое уравнение вместе с первым образует систему, равносильную данной.

ПРИМЕР:

Пусть дана система:

Выразим неизвестное  х  через  у  из другого уравнения:

х = 2у + 1,

Подставив это виражение в первое уравнение, получим

 2(2у + 1) + 3у = 33.

Если до этого уравнения с одним неизвестным присоединить второе уравнение системы, получим новую систему

равносильную данной.

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:

РЕШЕНИЕ:

Система не имеет решений, так как два уравнения системы не могут удовлетворяться одновременно (из первого уравнения 

х + y = 3,

а из второго 

х + y = 3,5).

ОТВЕТ:  решений нет

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:

РЕШЕНИЕ:

Система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение получается из первого путём умножения на  2  (то есть фактически есть всего одно уравнение с двумя неизвестными)

ОТВЕТ:  бесконечно много решений 

Задания к уроку 11

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем