Уроки математики и физики (RU + UA)

суббота, 23 июля 2016 г.

Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными

Системы уравнений, как и отдельные уравнения, используются для решения сложных и нужных задач. При решении некоторых задач приходится составлять два уравнения, в каждом из которых находится по две неизвестные величины, то есть мы имеем два уравнения с двумя неизвестными. Нужно найти такие значения неизвестных  х  и  у, которые одновременно удовлетворяли бы и первое и второе уравнение, то есть преобразовывали каждое из уравнений в правильное равенство. Иначе: необходимо найти общее решение обоих уравнений. Или решить систему данных уравнений. Пусть даны два уравнения с двумя переменными:

f(x; y) = 0  и  g(x; y) = 0.

Если ставится задача найти все общие решения двух уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений. Пару значений переменных, обращающую в верное равенство каждое уравнение системы, называют решением системы уравнений. Решить систему – значит найти все её решения или доказать, что их нет.

Записывают систему уравнений, объединяя их фигурной скобкой.
ПРИМЕР:
означает, что уравнения

х – 3у = 10,

3х – 2у = 2

образуют систему.

Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными.

Если система из  n  линейных уравнений содержит  n  неизвестных, то возможны следующие три случая:

– система не имеет решений;
– система имеет ровно одно решение;
– система имеет бесконечно много решений. 

ПРИМЕР:
Каждое уравнение этой системы имеет бесконечное количество решений и только  одна пара чисел является общей для обоих уравнений.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

ПРИМЕР:

Приведённую выше систему уравнений удовлетворяет пара чисел:

х = 15;
у = 5.

Это и есть решение данной системы. Других решений она не имеет.

Существуют системы уравнений, которые имеют бесконечное множество решений, а также системы, которые совсем не имеют решений. Система, которая не имеет решений, называется несовместимой. Называть решения системы корнями нельзя.

Решить систему – это значит найти все решения этой системы или показать, что она не имеет их.

Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными), если все решения одной из них будет решением другой, и наоборот, все решения другой системы будут решениями первой.

ПРИМЕР:

Решением системы
будет пара чисел:  х = 4  и  у = 3. Эти числа будут также единственным решением системы:
Поэтому, рассмотренные системы уравнений равносильные.

Две несовместимые системы уравнений также считаются равносильными. Две равносильные системы уравнений могут состоять из одинакового и разного количества уравнений. Отдельно, система уравнений может быть равносильна до одного уравнения. Понятие равносильности систем уравнений будет относительным: две системы уравнений равносильны в одном числовом множестве и неравносильны – в другом.
При решении системы уравнений обычно заменяют данную систему другой, более простой или по каким-либо причинам более <<удобной>>, но равносильной первоначальной.

Любое из уравнений системы можно заменить равносильным ему уравнением; полученная в результате этого система равносильна данной.

ПРИМЕР:

Если в системе
заменить второе уравнение равносильным ему уравнением  

9х + 6у = 57

то получим новую систему равносильную данной:

ПРИМЕР:

Системы
равносильны.
Равносильны будут и следующие системы:
Любое из уравнений системы можно заменить уравнением, полученным в результате алгебраического сложения обоих уравнений системы. Новая система равносильна до данной.

ПРИМЕР:

Если первое уравнение в системе
заменить таким образом, получим новую систему
равносильную данной.

 ПРИМЕР:

Системы
равносильны. Мы заменили уравнение  х – 3у = 10  суммой двух уравнений заданной системы, а уравнение  3х – 2у = 2  оставили неизменным.

Можно из одного уравнения системы виразить некоторое неизвестное через другое и подставить это виражение в другое уравнение, новое уравнение вместе с первым образует систему, равносильную данной.

ПРИМЕР:

Пусть дана система:
Выразим неизвестное  х  через  у  из другого уравнения:

х = 2у + 1,

Подставив это виражение в первое уравнение, получим

 2(2у + 1) + 3у = 33.

Если до этого уравнения с одним неизвестным присоединить второе уравнение системы, получим новую систему
равносильную данной.

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:
РЕШЕНИЕ:

Система не имеет решений, так как два уравнения системы не могут удовлетворяться одновременно (из первого уравнения 

х + y = 3,

а из второго 

х + y = 3,5).

ОТВЕТ:  решений нет

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:
РЕШЕНИЕ:

Система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение получается из первого путём умножения на  2  (то есть фактически есть всего одно уравнение с двумя неизвестными)

ОТВЕТ:  бесконечно много решений 

Задания к уроку 11
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий