Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки

Чтобы решить систему способом подстановки, необходимо:

– выразить из какого-нибудь уравнения одну переменную через другую;

– подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;

– решить полученное уравнение с одной переменной;

– найти соответствующее значение второй переменной.

Этим способом можно решить любую систему линейных уравнений с двумя переменными. Особенно, когда коэффициент при какой-нибудь переменной равен  1.

ПРИМЕР:

Пусть дана система:

Выразим неизвестное  х  через  у  из другого уравнения:

х = 2у + 1,

Подставив это выражение в первое уравнение, получим

2(2у + 1) + 3у = 33.

Если к этому уравнению с одним неизвестным присоединить второе уравнение системы, получим новую систему равносильную данной:

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:

Выразим из второго уравнения переменную  х  через  у:  

x = 9 – 3у.

Подставим полученное выражение вместо  x  в первое уравнение. Получим:

2(9 – 3у) – у = 4,  

решив это уравнение, получим:

у = 2,

Подставим значение  у = 2  в уравнение:

x = 9 – 3у, 

и найдём соответственное значение переменной  х.   

х = 3.

ОТВЕТ:

Решением системы будет пара чисел  (3; 2).

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:

Из первого уравнения находим:

Подставив это значение в другое уравнение, получим уравнение с одним неизвестным:

4(11 + 2у) – 15у = 9;

44 + 8у – 15у = 9.

–7у = –35;

у = 5.

Подставив  у = 5  в выражение для  х, получим:

х = 7.

ОТВЕТ:

х = 7;  у = 5.

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:

РЕШЕНИЕ:

Из первого уравнения находим:

Подставив это значение в другое уравнение, получим уравнение с одним неизвестным:

3(8 – 3у) + 4у = 14;

24 – 9у + 4у = 14.

–5у = –10;

у = 2.

Подставив  у = 2  в выражение для  х, получим:

х = 1.

ОТВЕТ:  (1; 2)

Некоторым видоизменением этого способа есть способ сравнения неизвестных. Чтобы решить систему этим способом, необходимо в каждом уравнении одно и тоже неизвестное выразить через другое. Полученные таким образом разные выражения для неизвестного приравнивают и получают уравнения с одним неизвестным. Решая это 

уравнение, находят значение одного неизвестного, потом другого.

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:

Из двух уравнений находим  х  через  у:

Приравнивая эти выражения, получаем уравнение с одним неизвестным:

Решаем это уравнение:

7(13 – 6у) = –5(1 + 18у);

91 – 42у = –5 – 90у;

48у = –96;

у = –2.

Неизвестное  х  найдём, подставив значение  у  в одно из выражений для  х:

ОТВЕТ:

х = 5;  у = –2.

Задания к уроку 12

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем