Уроки математики и физики (RU + UA)

пятница, 5 августа 2016 г.

Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения

Любое из уравнений системы можно заменить уравнением, полученным в результате алгебраического сложения обоих уравнений системы. Новая система равносильна данной.

Для решения системы уравнений, каждое из которых содержит обе переменные с не равными нулю коэффициентами, её преобразуют так, что бы в одном из уравнений коэффициент при какой-нибудь переменной стал равен нулю. Для этого  две части, в которых присутствую переменные, складывают и приравнивают к ним сумму правых частей. Получается одно уравнение с двумя переменными, в котором, как правило, одна переменная сокращается между собой и остаётся уравнение с одной переменной.

ПРИМЕР:

Решите систему уравнений:
Складываем две левые части:

2х – у + х + у,  

и приравниваем их к сумме правых частей, получаем:

2х – у + х + у = 21, или  
2х + х = 21, или  3x = 21,

откуда  х = 7. Затем значен  х  подставляем во второе уравнение и находим  у.

7 + у = 16,    
у = 16 – 7,    
у = 9.

ОТВЕТ:

Решением системы будет пара чисел  (7; 9).

ПРИМЕР:

Решите систему уравнений:
Тут коэффициенты при  у  за абсолютным значением равны между собою, но противоположны за знаком. Для получения уравнения с одним неизвестным уравнения системы почленно складываем:
Полученное значение  х = 4  подставляем в какое-нибудь уравнение системы (например, в первое) и находим значение  у:

× 4 + у = 11;
у = 11 – 8;
у = 3.

Итак, система имеет решение:

х = 4;  у = 3.

Если в системе уравнений коэффициенты при  х  или  у  разные, то необходимо в одном из уравнений (или в обоих уравнениях) умножить левую и правую часть уравнения на такое число чтобы коэффициенты при  х  или у соответственно были одинаковыми, но с разными знаками. После выполнения этих действий, применяется способ сложения.

ПРИМЕР:

Решите систему уравнений:
или   у = –2.
Подставляем  у = –2  во второе уравнение, получаем:

2х + × (–2) = 12;  
2х = 30;     х = 15.

ОТВЕТ:

Решением системы будет пара чисел  (15; –2).

ПРИМЕР:

Решите систему уравнений:
Приравняем коэффициенты при  х. Для этого умножим первое уравнение на  3, а второе на  –2  и сложим полученные уравнения. Решение можно записать так:
4х + 3 × (–2) = –4;
4х = 2;
х = 1/2.

ОТВЕТ:

х = 1/2у = –2.

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:
РЕШЕНИЕ:

Умножив обе части второго уравнения системы на  3, получим систему равносильную данной:
Сложим уравнения полученной системы:
Из уравнения  11x = 55  находим  х = 5. Подставив это значение в уравнение  2x + 3y = 7, находим  у = –1.

ОТВЕТ:  х = 5,  у = –1

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:
РЕШЕНИЕ:

Если обе части первого уравнения системы умножить на  2  и вычесть полученное уравнение из второго уравнения системы, то взаимно уничтожатся члены, содержащие переменные во второй степени,

(2х2 + 2у2 + x – 3y – 5) – (2х2 + 2у2 – 4x + 2y) = 0,

5x – 5y – 5 = 0,

xy – 1 = 0.

мы переходим к более простой системе:
Эту систему нетрудно решить методом подстановки. Имеем

у = х – 1,

значит:

х2 + (х – 1)2 – 2x + (х – 1) = 0,

2х2 – 3x = 0,

х1 = 0, х2 = 1,5.

Если  х = 0, то  у = х – 1 = 0 – 1 = –1,

Если  х = 1,5, то  у = х – 1 = 1,5 – 1 = 0,5.

ОТВЕТ:  (0; –1)  и  (1,5; 0,5)

Задания к уроку 13
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий