Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения

Любое из уравнений системы можно заменить уравнением, полученным в результате алгебраического сложения обоих уравнений системы. Новая система равносильна данной.

Для решения системы уравнений, каждое из которых содержит обе переменные с не равными нулю коэффициентами, её преобразуют так, что бы в одном из уравнений коэффициент при какой-нибудь переменной стал равен нулю. Для этого  две части, в которых присутствую переменные, складывают и приравнивают к ним сумму правых частей. Получается одно уравнение с двумя переменными, в котором, как правило, одна переменная сокращается между собой и остаётся уравнение с одной переменной.

ПРИМЕР:

Решите систему уравнений:

Складываем две левые части:

2х – у + х + у,  

и приравниваем их к сумме правых частей, получаем:

2х – у + х + у = 21, или  
2х + х = 21, или  3x = 21,

откуда  х = 7. Затем значен  х  подставляем во второе уравнение и находим  у.

7 + у = 16,    
у = 16 – 7,    
у = 9.

ОТВЕТ:

Решением системы будет пара чисел  (7; 9).

ПРИМЕР:

Решите систему уравнений:

Тут коэффициенты при  у  за абсолютным значением равны между собою, но противоположны за знаком. Для получения уравнения с одним неизвестным уравнения системы почленно складываем:

Полученное значение  х = 4  подставляем в какое-нибудь уравнение системы (например, в первое) и находим значение  у:

2 × 4 + у = 11;

у = 11 – 8;

у = 3.

Итак, система имеет решение:

х = 4;  у = 3.

Если в системе уравнений коэффициенты при  х  или  у  разные, то необходимо в одном из уравнений (или в обоих уравнениях) умножить левую и правую часть уравнения на такое число чтобы коэффициенты при  х  или у соответственно были одинаковыми, но с разными знаками. После выполнения этих действий, применяется способ сложения.

ПРИМЕР:

Решите систему уравнений:

или   у = –2.

Подставляем  у = –2  во второе уравнение, получаем:

2х + 9 × (–2) = 12;  

2х = 30;     х = 15.

ОТВЕТ:

Решением системы будет пара чисел  (15; –2).

ПРИМЕР:

Решите систему уравнений:

Приравняем коэффициенты при  х. Для этого умножим первое уравнение на  3, а второе на  –2  и сложим полученные уравнения. Решение можно записать так:

4х + 3 × (–2) = –4;

4х = 2;

х = ¹/₂.

ОТВЕТ:

х = ¹/₂;  у = –2.

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:

РЕШЕНИЕ:

Умножив обе части второго уравнения системы на  3, получим систему равносильную данной:

Сложим уравнения полученной системы:

Из уравнения  11x = 55  находим  х = 5. Подставив это значение в уравнение  2x + 3y = 7, находим  у = –1.

ОТВЕТ:  х = 5,  у = –1

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:

РЕШЕНИЕ:

Если обе части первого уравнения системы умножить на  2  и вычесть полученное уравнение из второго уравнения системы, то взаимно уничтожатся члены, содержащие переменные во второй степени,

(2х² + 2у² + x – 3y – 5) – (2х² + 2у² – 4x + 2y) = 0,

5x – 5y – 5 = 0,

x – y – 1 = 0.

мы переходим к более простой системе:

Эту систему нетрудно решить методом подстановки. Имеем

у = х – 1,

значит:

х² + (х – 1)² – 2x + (х – 1) = 0,

2х² – 3x = 0,

х₁ = 0, х₂ = 1,5.

Если  х = 0, то  у = х – 1 = 0 – 1 = –1,

Если  х = 1,5, то  у = х – 1 = 1,5 – 1 = 0,5.

ОТВЕТ:  (0; –1)  и  (1,5; 0,5)

Задания к уроку 13

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем