Уроки математики и физики (RU + UA)

среда, 24 августа 2016 г.

Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида

Квадратным уравнением (уравнение второй степени с одной переменной) называют уравнение вида:
где  х – переменная, а, b, с – известные числа, до того ж 
а 0.

Коэффициенты  а, b, с  имеют следующие названия:

а – первый коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член.
ах2 – старшим членом,
– членом, который определяет первую степень неизвестного.
Если   b 0c 0, то квадратное уравнение называют полным квадратным уравнением.
Квадратное уравнение можно решить по формуле:
Корень полного квадратного уравнения общего вида равен дроби, числителем которой есть коэффициент при неизвестном в первой степени, взятый с противоположным знаком, плюс – минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверённого произведения коэффициента при неизвестном во второй степени на свободный член, а знаменатель удвоенный коэффициент при неизвестном во второй степени.

Выражение 

b2 4ac,

которое находится в этой формуле под радикалом, называется дискриминантом квадратного уравнения общего в вида. Его обычно обозначают буквою  D, а формулу корней записывают так:
Количество корней квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта.

 – если  D < 0, то данное уравнение не имеет корней: нет такого значения  х, при котором значение выражения 
(2ах + b)2  было б отрицательным;

– если  D = 0,
то  2ах + b = 0, откуда:
единственный корень.

– если  D > 0, то данное квадратное уравнение равносильно уравнению:
откуда
или
В этом случае данное уравнение имеет два корня, которые отличаются только знаками перед значением  √͞͞͞͞͞D . Коротко записывают их так:
На примерах покажем, как можно использовать общую формулу корней для решения квадратных уравнений.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

3х2 + 11х + 6 = 0.
а = 3, b = 11, с = 6.                                                                                      
По формуле имеем:
Можно записать иначе:
ПРИМЕР:

Решите уравнение:
Приведём данное уравнение до стандартного вида, а потом воспользуемся формулой:

72х + 6(х2 – 6х + 9)
= 3(х2 + 6х + 9) + 8(х2 – 1);
72х + 6х2 – 36х + 54
= 3х2 + 18х + 27 + 8х2 – 8;
–5х2 + 18х + 35 = 0;   
5х2 – 18х – 35 = 0.
ПРИМЕР:

Не решая уравнения, определите, сколько действительных корней оно имеет:

4х2 + 6х + 9 = 0.

РЕШЕНИЕ:

D = 62 – 4 × 4 × 9
= 36 – 144 < 0.

Уравнение не имеет действительных корней.

ПРИМЕР:

Не решая уравнения, определите, сколько действительных корней оно имеет:

2х2 – 3х + 1 = 0.

РЕШЕНИЕ:

D = (–3)2 – 4 × 2 × 1
= 9 – 8 > 0.

уравнение имеет два действительных разных корня.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

3х2 – 5х + 2 = 0.
D = 25 – 24 = 1,  D > 0,
ОТВЕТ:

х1 = 1,  х2 = 2/3.         

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

5х2х + 1 = 0.
D = 1 – 20 = –19,  D < 0,

ОТВЕТ:    

Корей нет.   

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

2х2 + 5х – 1 = 0.
D = 25 – 4 2 (–1) = 33 > 0,
ОТВЕТ:

Другой вид формулы корней квадратного уравнения.

Корни квадратного уравнения:

ах2 + bx + c = 0

можно найти, как известно, по формуле;
Иногда для решения квадратных уравнений удобно пользоваться формулой корней, записанною в другом виде. Поделим числитель и знаменатель дроби
на  2  и внесём множитель  1/2  под знак корня. Получим:
поскольку
то есть:
Формула корней квадратного уравнения приобретает вид:
Формулой, которая записана в таком виде, можно пользоваться для решения любого квадратного уравнения, дискриминант которого отрицательный. На практике, как правило, её применяют тогда, когда  b – чётное число и, тогда  b/2 – целое число.

ПРИМЕР:

Пусть необходимо решить уравнение:

9х2 – 14х + 5 = 0.

Используем формулу:
Обратим внимание, что применённая формула
привела бы к сложным вычислениям.

ПРИМЕР:

Решим уравнение:

5х2 + 8х + 6 = 0.

В этом уравнении

 b/2 = 4, а = 5, с = 6.
D/4 = 42 – 5 × 6 = –14.
Мы нашли, что  D/4  – отрицательное число. Поскольку дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет корней.

ПРИМЕР:

Сколько корней имеет уравнение ?

54х2 – 5х – 19 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Найдём дискриминант по формуле:

D = b2 – 4ac =

= (–5)2 – 4 54 (–19) =

= 25 + 4 54 19 > 0.

Так как дискриминант больше нуля, значит, уравнение имеет два корня.

ПРИМЕР:

Найдите сумму корней квадратного уравнения.

2х2 + 6х – 15 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Найдём корни квадратного уравнения:
Найдём сумму корней квадратного уравнения:
ПРИМЕР:

Решите уравнение:

2х2 – 5х + 2 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Здесь  а = 2, b = –5, с = 2. Имеем:
Так как  D > 0, то уравнение имеет два корня, которые найдём по следующей формуле:
корни заданного уравнения.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

х2 – 6х + 9 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Здесь  а = 1, b = –6, с = 9.

Найдём корни по следующей формуле:
то есть  х = 3 – единственный корень уравнения.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

2х2 – 3х + 5 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Здесь  а = 2, b = –3, с = 5.

D = b2 – 4ac =

= (–3)2 – 4 2 5 = –31.

Так как   D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Задания к уроку 17
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий