Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида

Квадратным уравнением (уравнение второй степени с одной переменной) называют уравнение вида:

где  х – переменная, а, b, с – известные числа, до того ж 

а ≠ 0.

Коэффициенты  а, b, с  имеют следующие названия:

а – первый коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член.

ах² – старшим членом,

bх – членом, который определяет первую степень неизвестного.

Если   b ≠ 0,  c ≠ 0, то квадратное уравнение называют полным квадратным уравнением.

Квадратное уравнение можно решить по формуле:

Корень полного квадратного уравнения общего вида равен дроби, числителем которой есть коэффициент при неизвестном в первой степени, взятый с противоположным знаком, плюс – минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверённого произведения коэффициента при неизвестном во второй степени на свободный член, а знаменатель удвоенный коэффициент при неизвестном во второй степени.

Выражение 

b² – 4ac,

которое находится в этой формуле под радикалом, называется дискриминантом квадратного уравнения общего в вида. Его обычно обозначают буквою  D, а формулу корней записывают так:

Количество корней квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта.

 – если  D < 0, то данное уравнение не имеет корней: нет такого значения  х, при котором значение выражения 

(2ах + b)²  было б отрицательным;

– если  D = 0,

то  2ах + b = 0, откуда:

единственный корень.

– если  D > 0, то данное квадратное уравнение равносильно уравнению:

откуда

или

В этом случае данное уравнение имеет два корня, которые отличаются только знаками перед значением  √͞͞͞͞͞D . Коротко записывают их так:

На примерах покажем, как можно использовать общую формулу корней для решения квадратных уравнений.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

3х² + 11х + 6 = 0.
а = 3, b = 11, с = 6.                                                                                      

По формуле имеем:

Можно записать иначе:

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

Приведём данное уравнение до стандартного вида, а потом воспользуемся формулой:

72х + 6(х² – 6х + 9)

= 3(х² + 6х + 9) + 8(х² – 1);

72х + 6х² – 36х + 54

= 3х² + 18х + 27 + 8х² – 8;

–5х² + 18х + 35 = 0;   

5х² – 18х – 35 = 0.

ПРИМЕР:

Не решая уравнения, определите, сколько действительных корней оно имеет:

4х² + 6х + 9 = 0.

РЕШЕНИЕ:

D = 6² – 4 × 4 × 9

= 36 – 144 < 0.

Уравнение не имеет действительных корней.

ПРИМЕР:

Не решая уравнения, определите, сколько действительных корней оно имеет:

2х² – 3х + 1 = 0.

РЕШЕНИЕ:

D = (–3)² – 4 × 2 × 1

= 9 – 8 > 0.

уравнение имеет два действительных разных корня.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

3х² – 5х + 2 = 0.

D = 25 – 24 = 1,  D > 0,

ОТВЕТ:

х₁ = 1,  х₂ = ²/₃.         

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

5х² – х + 1 = 0.

D = 1 – 20 = –19,  D < 0,

ОТВЕТ:    

Корей нет.   

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

2х² + 5х – 1 = 0.

D = 25 – 4 ∙ 2 ∙ (–1) = 33 > 0,

ОТВЕТ:

Другой вид формулы корней квадратного уравнения.

Корни квадратного уравнения:

ах² + bx + c = 0

можно найти, как известно, по формуле;

Иногда для решения квадратных уравнений удобно пользоваться формулой корней, записанною в другом виде. Поделим числитель и знаменатель дроби

на  2  и внесём множитель  ¹/₂  под знак корня. Получим:

поскольку

то есть:

Формула корней квадратного уравнения приобретает вид:

Формулой, которая записана в таком виде, можно пользоваться для решения любого квадратного уравнения, дискриминант которого отрицательный. На практике, как правило, её применяют тогда, когда  b – чётное число и, тогда  ^b/₂ – целое число.

ПРИМЕР:

Пусть необходимо решить уравнение:

9х² – 14х + 5 = 0.

Используем формулу:

Обратим внимание, что применённая формула

привела бы к сложным вычислениям.

ПРИМЕР:

Решим уравнение:

5х² + 8х + 6 = 0.

В этом уравнении

 ^b/₂ = 4, а = 5, с = 6.

^D/₄ = 4² – 5 × 6 = –14.

Мы нашли, что  ^D/₄  – отрицательное число. Поскольку дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет корней.

ПРИМЕР:

Сколько корней имеет уравнение ?

54х² – 5х – 19 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Найдём дискриминант по формуле:

D = b² – 4ac =

= (–5)² – 4 ∙ 54 ∙ (–19) =

= 25 + 4 ∙ 54 ∙ 19 > 0.

Так как дискриминант больше нуля, значит, уравнение имеет два корня.

ПРИМЕР:

Найдите сумму корней квадратного уравнения.

2х² + 6х – 15 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Найдём корни квадратного уравнения:

Найдём сумму корней квадратного уравнения:

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

2х² – 5х + 2 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Здесь  а = 2, b = –5, с = 2. Имеем:

Так как  D > 0, то уравнение имеет два корня, которые найдём по следующей формуле:

корни заданного уравнения.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

х² – 6х + 9 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Здесь  а = 1, b = –6, с = 9.

Найдём корни по следующей формуле:

то есть  х = 3 – единственный корень уравнения.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

2х² – 3х + 5 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Здесь  а = 2, b = –3, с = 5.

D = b² – 4ac =

= (–3)² – 4 ∙ 2 ∙ 5 = –31.

Так как   D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Задания к уроку 17

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем