Уроки математики и физики (RU + UA)

суббота, 3 сентября 2016 г.

Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

х2 – 6х – 7 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Если к разности  х2 – 6х  прибавить число  9, то полученное выражение можно записать в виде  (х – 3)2, то есть в виде квадрата двучлена. Прибавим к обеим частям уравнения  х2 – 6х – 7 = 0  число  9, а свободный член перенесём в правую часть. Получим:

х2 – 6х + 9 = 9 + 7.

Преобразуем это уравнение:

(х – 3)2 = 16.

Отсюда

х – 3 = –4,  х = –1,

х – 3 = 4,  х = 7,

ОТВЕТ:  х1 = –1х2 = 7

Способ, с помощью которого было решено уравнение

х2 – 6х – 7 = 0,

называется выделением квадрата двучлена.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

х2 + 8х – 1 = 0.

РЕШЕНИЕ:

х2 + 24х – 1 = 0,

х2 + 24х + 16 = 16 + 1,

(х + 4)2 = 17,

х + 4 = –√͞͞͞͞͞17х = –4 – √͞͞͞͞͞17,

х + 4 = √͞͞͞͞͞17х = –4 + √͞͞͞͞͞17,

ОТВЕТ:  х1 = –4 – √͞͞͞͞͞17х2 = –4 + √͞͞͞͞͞17

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

х2 – 4х + 10 = 0.

РЕШЕНИЕ:

х2 – 22х + 4 = 4 – 10,

х2 + 24х + 16 = 16 + 1,

(х – 2)2 = –6,

ОТВЕТ:  корней нет

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

3х2 – 5х – 2 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Разделим обе части уравнения на  3. Получим приведённое квадратное уравнение:

х25/3 х2/3 = 0,

Выделим квадрат двучлена и решим получившееся уравнение:

х2 – 2 5/6 х2/3 = 0,

х2 – 2 5/6 х + (5/6)2 = (5/6)2 + 2/3,

(х5/6)2 = 49/36,
ОТВЕТ:  х1 = 1/3х2 = 2

ПРИМЕР:

Пусть необходимо решить уравнение:

х2 + 14х + 24 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Разложим левую часть на множители, выделив с выражения

х2 + 14х + 24

квадрат двучлена. Первый член есть квадрат числа  х  (первое число), второй член  (14х)  можно рассматривать как удвоенное произведение первого числа на второе число, которое равно  7.

14 = 2 × х × 7.

Чтобы получить квадрат двучлена, прибавим квадрат второго числа

72 = 49,

а чтобы числовое значение не изменилось, отнимем это же самое число  (49). Получим:

(х2 + 14х + 49) – 49 + 24 = 0, или
(х + 7)2 – 25 = 0.

Разложив левую часть на множители, получим:

(х + 7 + 5) (х + 7 – 5) = 0, или
(х + 12)(х + 2) = 0.

Поэтому, уравнение:

х2 + 14х + 24 = 0

равносильно уравнению:

(х + 12)(х + 2) = 0.

Откуда:

х + 12 = 0;    х1 = –12.
х + 2 = 0;      х2 = –2.

ПРИМЕР:

Решите уравнение

х2 – 11х + 30 = 0

способом выделения квадрата двучлена.

РЕШЕНИЕ:
ОТВЕТ:

х1 = 6;    х2 = 5.

ПРИКЛАД:

Решите уравнение:

3х2 – 11х – 20 = 0

способом выделения квадрата двучлена.

РЕШЕНИЕ:
ОТВЕТ:  х1 = 5,  х2 = –4/3.

ПРИМЕР:

Какого наименьшего значения приобретает следующее выражение ?

(х + 5)(х2 – 5х + 25) – (х2 – 10)(х – 1) – 61.

РЕШЕНИЕ:

(х + 5)(х2 – 5х + 25) – (х2 – 10)(х – 1) – 61 =

х3 + 125 – х3 + 10х + х2 – 10 – 61 =

= х2 + 10х + 54 = (х + 5)2 + 29.

Данное выражение приобретает наименьшего значения, если  х + 5 = 0, то есть

 х = –5.

Это значение равно  29.

ОТВЕТ:  29

Задания к уроку 21
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий