Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

х² – 6х – 7 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Если к разности  х² – 6х  прибавить число  9, то полученное выражение можно записать в виде  (х – 3)², то есть в виде квадрата двучлена. Прибавим к обеим частям уравнения  х² – 6х – 7 = 0  число  9, а свободный член перенесём в правую часть. Получим:

х² – 6х + 9 = 9 + 7.

Преобразуем это уравнение:

(х – 3)² = 16.

Отсюда

х – 3 = –4,  х = –1,

х – 3 = 4,  х = 7,

ОТВЕТ:  х₁ = –1,  х₂ = 7

Способ, с помощью которого было решено уравнение

х² – 6х – 7 = 0,

называется выделением квадрата двучлена.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

х² + 8х – 1 = 0.

РЕШЕНИЕ:

х² + 2∙4∙х – 1 = 0,

х² + 2∙4∙х + 16 = 16 + 1,

(х + 4)² = 17,

х + 4 = –√͞͞͞͞͞17,  х = –4 – √͞͞͞͞͞17,

х + 4 = √͞͞͞͞͞17,  х = –4 + √͞͞͞͞͞17,

ОТВЕТ:  х₁ = –4 – √͞͞͞͞͞17,  х₂ = –4 + √͞͞͞͞͞17

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

х² – 4х + 10 = 0.

РЕШЕНИЕ:

х² – 2∙2∙х + 4 = 4 – 10,

х² + 2∙4∙х + 16 = 16 + 1,

(х – 2)² = –6,

ОТВЕТ:  корней нет

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

3х² – 5х – 2 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Разделим обе части уравнения на  3. Получим приведённое квадратное уравнение:

х² – ⁵/₃ х – ²/₃ = 0,

Выделим квадрат двучлена и решим получившееся уравнение:

х² – 2∙ ⁵/₆ х – ²/₃ = 0,

х² – 2∙ ⁵/₆ х + (⁵/₆)² = (⁵/₆)² + ²/₃,

(х – ⁵/₆)² = ⁴⁹/₃₆,

ОТВЕТ:  х₁ = –¹/₃,  х₂ = 2

ПРИМЕР:

Пусть необходимо решить уравнение:

х² + 14х + 24 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Разложим левую часть на множители, выделив с выражения

х² + 14х + 24

квадрат двучлена. Первый член есть квадрат числа  х  (первое число), второй член  (14х)  можно рассматривать как удвоенное произведение первого числа на второе число, которое равно  7.

14 = 2 × х × 7.

Чтобы получить квадрат двучлена, прибавим квадрат второго числа

7² = 49,

а чтобы числовое значение не изменилось, отнимем это же самое число  (49). Получим:

(х² + 14х + 49) – 49 + 24 = 0, или

(х + 7)² – 25 = 0.

Разложив левую часть на множители, получим:

(х + 7 + 5) (х + 7 – 5) = 0, или

(х + 12)(х + 2) = 0.

Поэтому, уравнение:

х² + 14х + 24 = 0

равносильно уравнению:

(х + 12)(х + 2) = 0.

Откуда:

х + 12 = 0;    х₁ = –12.

х + 2 = 0;      х₂ = –2.

ПРИМЕР:

Решите уравнение

х² – 11х + 30 = 0

способом выделения квадрата двучлена.

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ:

х₁ = 6;    х₂ = 5.

ПРИКЛАД:

Решите уравнение:

3х² – 11х – 20 = 0

способом выделения квадрата двучлена.

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ:  х₁ = 5,  х₂ = –⁴/₃.

ПРИМЕР:

Какого наименьшего значения приобретает следующее выражение ?

(х + 5)(х² – 5х + 25) – (х² – 10)(х – 1) – 61.

РЕШЕНИЕ:

(х + 5)(х² – 5х + 25) – (х² – 10)(х – 1) – 61 =

х³ + 125 – х³ + 10х + х² – 10 – 61 =

= х² + 10х + 54 = (х + 5)² + 29.

Данное выражение приобретает наименьшего значения, если  х + 5 = 0, то есть

 х = –5.

Это значение равно  29.

ОТВЕТ:  29

Задания к уроку 21

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем