Уроки математики и физики (RU + UA)

воскресенье, 18 сентября 2016 г.

Урок 23. Квадратный трёхчлен

Квадратным трёхчленом называют многочлен вида

ax2 + bx + c, 

где  х – переменная, a,b, и  c  – некоторые числа, причём,  а ≠ 0. Корнем квадратного трёхчлена называется значение переменной, при котором значения квадратного трёхчлена равно нулю. Чтобы найти корень квадратного трёхчлена 

ax2 + bx + c,

нужно решить соответствующее квадратное уравнение 

ax2 + bx + c = 0.

Число 

D = b2 – 4ac  

называют дискриминантом квадратного трёхчлена 

ax2 + bx + c.

Если  D < 0, то квадратный трёхчлен корней не имеет.
Если  D = 0, то квадратный трёхчлен имеет один корень.
Если  D > 0, то два корня.

Разложение квадратного трёхчлена на множители.

Связь между корнями квадратного трёхчлена и линейными множителями, на который он раскладывается, устанавливает следующая теорема.

Если дискриминант квадратного трёхчлена

ax2 + bx + c 

положительный, то данный трёхчлен можно разложить на линейные множители.

ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2),

где  х1  и  х2 – корни квадратного трёхчлена. Если дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, то считают, что квадратный трёхчлен имеет два равных корня, то есть  х1 = х2.  В этом случае разложение квадратного трёхчлена на множители имеет такой вид: 

ax2 + bx + c = а(х – х1)2.

Если дискриминант квадратного трёхчлена отрицательный, то такой трёхчлен нельзя разложить на линейные множители.

Рассмотрим задачу разложения на линейные множители квадратного трехчлена – многочлена второй степени с одной переменной. Пусть известно, что квадратный трехчлен 

ах2 + bх + с,

где  х – переменная, а, b  и  с – числа, причём  а 0, имеет корни  х1  и  х2. Покажем, что в этом случае можно подать его в виде произведения:

ах2 + bх + с = а(х – х1)(х – х2).

Чтобы доказать тождество, превратим ее правую часть:

а(х – х1)(х – х2) =

а(х2х1хх2х + х1х2) =

а[х2 – (х1 +  х2)х + х1х2].

Корни  х1  и  х2  трёхчлена 

ах2 + bх + с 

являются корнями уравнения 

ах2 + bх + с = 0.

По теореме Виета
Выполнив подстановку, получим:

а(х2х1хх2х + х1х2) =

ах2 + bх + с.

Тождество доказано.

ПРИМЕР:

Чтобы разложить на множители трёхчлен 

х2 + 5х + 6,

запишем одночлен  5х  в виде  2х + 3х:

х2 + 5х + 6 =
х2 + 3х + 2х + 6 =
(х2 + 3х) + (2х + 6) =
х(х + 3) + 2(х + 3) =
(х + 3)(х + 2).

Чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители, иногда приходится пользоваться несколькими способами. Сначала применить способ группирования, затем вынесение общего множителя за скобки и затем применение какой-нибудь формулы сокращённого умножения. 

ПРИМЕР:

Трёхчлен:

2х2 – 5х – 3

имеет корни, поскольку дискриминант квадратного уравнения

2х2 – 5х – 3 = 0

положительный. Корни этого трехчлена – числа  –1/2  и  3. Пользуясь тождеством, приведем трехчлен в виде произведения:
Когда множитель  2  внести в скобки, то полученное тождество запишется так:

2х2 – 5х – 3 =

(2х + 1)(х – 3).

Тождество может распространяться и на квадратный трехчлен, имеющий единый корень. В этом случае  х1 = х2, и тождество примет вид:

ах2 + bх + с =

а(х – х1)(х – х2), тоесть

ах2 + bх + с = а(х – х1)2.

ПРИКЛАД:

Трёхчлен:

–25х2 + 10х – 1

Имеет единственный корень, равный  1/5  (в этом легко убедиться, решив уравнение 

25х2 + 10х – 1 = 0).

Применяя тождество, получим:

–25х2 + 10х – 1 =
Когда квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя подать в виде произведения двух многочленов первой степени. В самом деле, пусть при  D < 0 

ах2 + bх + с =

= (kх + m)(pх +q).

Очевидно, что в этом случае
– корни трехчлена. Но это противоречит условию. 

ПРИМЕР:

Сократить дробь:
Попробуем разложить на множители знаменатель дроби – квадратный трехчлен:

3х2 – 13х – 10.

D = 132 + 4 × 3 × 10 =

= 289;  D > 0.

Следовательно, квадратный трехчлен имеет два корня. Применяя формулу корней квадратного уравнения, найдем их:
Пользуясь тождеством, имеем:
Мы разложили на множители знаменатель дроби, и теперь его можно сократить:
ПРИМЕР:

Разложите на множители:

6х2х – 2.

РЕШЕНИЕ:

Применим формулу корней квадратного уравнения к уравнению

6х2х – 2 = 0,

находим

х1 = –1/2, х2 = 2/3.

Значит,

6х2х – 2 = 6(х + 1/2)(х2/3) =

= 2(х + 1/2)3(х2/3) = (2х + 1)(3х – 2).

Разложение на множители двучлена  хn – аn.

Известно, что

х2а2 = (ха)(х + а),

х3а3 = (ха)(х2 + ха + а2).

Если перемножить многочлены

(хаи  (x3х2a + ха2 + а3), то получим

х4а4 = (ха)(x3 +х2a + ха2 + а3).

Обобщением полученных выше формул является формула разложения на множители двучлена  хn – аn

хn – аn = (ха)(xn-1 +хn-2a + хn-3а2 + … + n-2 + an-1).

Если, в частности, а = 1, то получаем:

хn1 = (х – 1)(xn-1 +хn-2 + хn-3 + … + x + 1).

ПРИМЕР:

х71 = (х – 1)(x6 +х5 + х4 + х3 + х2 + x + 1).

Задания к уроку 23
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий