Урок 23. Квадратный трёхчлен

Квадратным трёхчленом называют многочлен вида

ax² + bx + c, 

где  х – переменная, a,b, и  c  – некоторые числа, причём,  а ≠ 0. Корнем квадратного трёхчлена называется значение переменной, при котором значения квадратного трёхчлена равно нулю. Чтобы найти корень квадратного трёхчлена 

ax² + bx + c,

нужно решить соответствующее квадратное уравнение 

ax² + bx + c = 0.

Число 

D = b² – 4ac  

называют дискриминантом квадратного трёхчлена 

ax² + bx + c.

Если  D < 0, то квадратный трёхчлен корней не имеет.

Если  D = 0, то квадратный трёхчлен имеет один корень.

Если  D > 0, то два корня.

Разложение квадратного трёхчлена на множители.

Связь между корнями квадратного трёхчлена и линейными множителями, на который он раскладывается, устанавливает следующая теорема.

Если дискриминант квадратного трёхчлена

ax² + bx + c 

положительный, то данный трёхчлен можно разложить на линейные множители.

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂),

где  х₁  и  х₂ – корни квадратного трёхчлена. Если дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, то считают, что квадратный трёхчлен имеет два равных корня, то есть  х₁ = х₂.  В этом случае разложение квадратного трёхчлена на множители имеет такой вид: 

ax² + bx + c = а(х – х₁)².

Если дискриминант квадратного трёхчлена отрицательный, то такой трёхчлен нельзя разложить на линейные множители.

Рассмотрим задачу разложения на линейные множители квадратного трехчлена – многочлена второй степени с одной переменной. Пусть известно, что квадратный трехчлен 

ах² + bх + с,

где  х – переменная, а, b  и  с – числа, причём  а ≠ 0, имеет корни  х₁  и  х₂. Покажем, что в этом случае можно подать его в виде произведения:

ах² + bх + с = а(х – х₁)(х – х₂).

Чтобы доказать тождество, превратим ее правую часть:

а(х – х₁)(х – х₂) =

а(х² – х₁х – х₂х + х₁х₂) =

а[х² – (х₁ +  х₂)х + х₁х₂].

Корни  х₁  и  х₂  трёхчлена 

ах² + bх + с 

являются корнями уравнения 

ах² + bх + с = 0.

По теореме Виета

Выполнив подстановку, получим:

а(х² – х₁х – х₂х + х₁х₂) =

ах² + bх + с.

Тождество доказано.

ПРИМЕР:

Чтобы разложить на множители трёхчлен 

х² + 5х + 6,

запишем одночлен  5х  в виде  2х + 3х:

х² + 5х + 6 =

х² + 3х + 2х + 6 =

(х² + 3х) + (2х + 6) =

х(х + 3) + 2(х + 3) =

(х + 3)(х + 2).

Чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители, иногда приходится пользоваться несколькими способами. Сначала применить способ группирования, затем вынесение общего множителя за скобки и затем применение какой-нибудь формулы сокращённого умножения. 

ПРИМЕР:

Трёхчлен:

2х² – 5х – 3

имеет корни, поскольку дискриминант квадратного уравнения

2х² – 5х – 3 = 0

положительный. Корни этого трехчлена – числа  –¹/₂  и  3. Пользуясь тождеством, приведем трехчлен в виде произведения:

Когда множитель  2  внести в скобки, то полученное тождество запишется так:

2х² – 5х – 3 =

(2х + 1)(х – 3).

Тождество может распространяться и на квадратный трехчлен, имеющий единый корень. В этом случае  х₁ = х₂, и тождество примет вид:

ах² + bх + с =

а(х – х₁)(х – х₂), тоесть

ах² + bх + с = а(х – х₁)².

ПРИКЛАД:

Трёхчлен:

–25х² + 10х – 1

Имеет единственный корень, равный  ¹/₅  (в этом легко убедиться, решив уравнение 

–25х² + 10х – 1 = 0).

Применяя тождество, получим:

–25х² + 10х – 1 =

Когда квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя подать в виде произведения двух многочленов первой степени. В самом деле, пусть при  D < 0 

ах² + bх + с =

= (kх + m)(pх +q).

Очевидно, что в этом случае

– корни трехчлена. Но это противоречит условию. 

ПРИМЕР:

Сократить дробь:

Попробуем разложить на множители знаменатель дроби – квадратный трехчлен:

3х² – 13х – 10.

D = 13² + 4 × 3 × 10 =

= 289;  D > 0.

Следовательно, квадратный трехчлен имеет два корня. Применяя формулу корней квадратного уравнения, найдем их:

Пользуясь тождеством, имеем:

Мы разложили на множители знаменатель дроби, и теперь его можно сократить:

ПРИМЕР:

Разложите на множители:

6х² – х – 2.

РЕШЕНИЕ:

Применим формулу корней квадратного уравнения к уравнению

6х² – х – 2 = 0,

находим

х₁ = –¹/₂, х₂ = ²/₃.

Значит,

6х² – х – 2 = 6(х + ¹/₂)(х – ²/₃) =

= 2(х + ¹/₂)∙3(х – ²/₃) = (2х + 1)(3х – 2).

Разложение на множители двучлена  хⁿ – аⁿ.

Известно, что

х² – а² = (х – а)(х + а),

х³ – а³ = (х – а)(х² + ха + а²).

Если перемножить многочлены

(х – а)  и  (x³ + х²a + ха² + а³), то получим

х⁴ – а⁴ = (х – а)(x³ +х²a + ха² + а³).

Обобщением полученных выше формул является формула разложения на множители двучлена  хⁿ – аⁿ

хⁿ – аⁿ = (х – а)(x^n-1 +х^n-2a + х^n-3а² + … + xа^n-2 + a^n-1).

Если, в частности, а = 1, то получаем:

хⁿ – 1 = (х – 1)(x^n-1 +х^n-2 + х^n-3 + … + x + 1).

ПРИМЕР:

х⁷ – 1 = (х – 1)(x⁶ +х⁵ + х⁴ + х³ + х² + x + 1).

Задания к уроку 23

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем