Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами

Пусть дано равенство с переменными  х, а:

f(x; a) = 0.

Если ставится задача для каждого действительного значения  а  решить это уравнение относительно  х, то уравнение  f(x; a) = 0  называют уравнением с переменной  х  и параметром  а.

Решить уравнение с параметром  а – значит, для каждого значения  а,  найти значения  х, удовлетворяющие этому уравнению.

Решение квадратного уравнения с параметрами следует начинать с вопроса  << А будет ли уравнение квадратным ? >>. Если коэффициент перед  х²  может приобретать нулевое значение, то уравнение 

aх² + bx + c = 0  

преобразуется в линейное уравнение 

bx + c = 0.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:  

aх² + 2x + 1 = 0.

Если  a ≠ 0, то вычислим: 

D = 4 – 4a = 4(1 – a),

Если  a > 1, то  D < 0  и  x ∈ ∅.

Если  a = 1, то

Если  a < 1, то   D > 0  и

ОТВЕТ: 

Если  a > 1, то  x ∈ ∅.

Если  a = 1, то 

D = 0  і  x = –1.

Если  a ∈ (–∞) ∪ (0;1), то

Если  a ∈ (1; +∞), то  x ∈ ∅.  

ПРИМЕР:

При каком значении  k  уравнение

kx² + 12x – 3 = 0

имеет корень который равен  ¹/₅ ?

ПРИМЕР:

При каком значении  а  уравнение

аx² + 4x + 1 = 0

имеет два одинаковых корня ?

Уравнение имеет два одинаковых корня при условии, что его дискриминант равен нулю. В нашем случае 

4² – 4 × 1 × а = 0,

откуда  а = 4.   

ПРИМЕР:

При каких значениях  a  уравнение не имеет корней ?                   

x² + 5aх + 5а = 0.

РЕШЕНИЕ:

Данное уравнение не имеет корней, если его дискриминант отрицательный.

x² + 5aх + 5а = 0,

D = (5а)² – 4∙5a = 25а² – 20а =

= 5а(5а – 4) < 0, а ∈ (0; 0,8).

ПРИМЕР:

При каких значениях  с  уравнение не имеет корней ?

x² + сх + 25 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Данное уравнение не имеет корней, если его дискриминант отрицательный.

x² + сх + 25 = 0,

D = с² – 4∙25 = с² – 100 < 0,

(с – 10)(с + 10) < 0, с ∈ (–10; 10).

ПРИМЕР:

При каких значениях  a  уравнение не имеет корней ?                   

x² + 2ах + 7а = 0.

РЕШЕНИЕ:

Данное уравнение не имеет корней, если его дискриминант отрицательный.

x² + 2ах + 7а = 0,

D = (2а)² – 4∙7a = 4а² – 28а =

= 4а(а – 7) < 0, а ∈ (0; 7).

ПРИМЕР:

При каких значениях  a  уравнение не имеет корней ?                   

x² – х + а – 5 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Данное уравнение не имеет корней, если его дискриминант отрицательный.

x² – х + а – 5 = 0,

D = (–1)² – 4(а – 5) = 1 –  4а + 20 =

= 21 – 4а < 0, 4а > 21, а > 5,25,

а ∈ (5,25; +∞).

ПРИМЕР:

При каких значениях  b  уравнение имеет два разных корня ?                   

x² + bx + 49 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Данное уравнение будет иметь два разных корня, когда его дискриминант будет положительным.

x² + bx + 49 = 0,

D = b² – 4∙49 = b² – 196 > 0,

(b – 14)(b + 14) > 0,

b ∈ (–∞; –14) ∪ (14; +∞).

ПРИМЕР:

При каких значениях  b  уравнение не имеет корней ?                   

5x² + bх + 20 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Данное уравнение не имеет корней, если его дискриминант отрицательный.

5x² + bх + 20 = 0,

D = b² – 4∙5∙20 = b² – 400 < 0,

(b – 20)(b + 20) > 0,

b ∈ (–20; 20).

ПРИМЕР:

Число  –3  является корнем уравнения

x² + bх – 12 = 0.

Найдите другой корень уравнения.

РЕШЕНИЕ:

Из теоремы Виета

х₁ ∙ х₂ = –12,

–3х₂ = –12, х₂ = 4.

ПРИМЕР:

Число  –3  является корнем уравнения

3x² + 2х + с = 0.

Найдите другой корень уравнения.

РЕШЕНИЕ:

Поскольку число  –3  является корнем, то оно удовлетворяет уравнение:

3 ∙ (–3)² + 2 ∙ (–3) + с = 0,

27 – 6 + с = 0, с = –21.

Уравнение:

3x² + 2х – 21 = 0,

(3х – 7)(х + 3) = 0,

х₁ = –3,  х₂ = 2¹/₃.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

(а –1)x² + 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Выделим особо значение параметра  а = 1. Дело в том, что при  а = 1  данное уравнение не является квадратным, а при  а ≠ 1  оно квадратное.

Решать уравнение в каждом из этих случаев надо по-своему. При  а = 1  уравнение принимает вид  6х + 7 = 0, откуда находим

х = –⁷/₆.

В случае, если  а ≠ 1  для квадратного уравнения выделим те значения параметра, при которых дискриминант уравнения обращается в нуль.

Имеем:

D/₄ = 5а + 4.

Значит,

а = –⁴/_5.

значение параметра на которое нам надо обратить внимание.

Если

а < –⁴/_5,   D < 0

и, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Если

а > –⁴/₅  и  а ≠ 1, то  D > 0  мы получаем:

Если

а = –⁴/₅, то  D = 0.

Получаем:

Итак,

если  а < –⁴/₅  то действительных корней нет,

если  а = 1, то  х = –⁷/₆,

если  а = –⁴/₅, то  х = –¹/₃,

если  а > –⁴/₅  и  а ≠ 1, то

ПРИМЕР:

При каком значении параметра  а  уравнение

х² + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0

имеет два различных отрицательных корня.

РЕШЕНИЕ:

Так как уравнение должно иметь два различных действительных корня  х₁  и  х₂, его дискриминант должен быть положительным. Имеем:

D = 4(а + 1)² – 4(9а – 5) =

= 4а² – 28а + 24 = 4(а – 1)(а – 6).

Значит должно выполняться неравенство:

4(а – 1)(а – 6) ˃ 0.

По теореме Виета для заданного уравнения имеем:

х₁  + х₂ = –2(а + 1),

х₁ х₂ = 9а – 5.

Так как, по условию,

х₁ < 0  и  х₂ < 0, то

–2(а + 1) < 0  и  9а – 5 > 0.

В итоге приходим к системе неравенств:

Из первого неравенства системы находим  а < 1, а > 6.

Из второго неравенства находим  а > –1.

Из третьего неравенства находим   а > ⁵/₉.

С помощью координатной прямой

находим, что либо  ⁵/₉ < а < 1, либо  а > 6.

Задания к уроку 24

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем