Уроки математики и физики (RU + UA)

среда, 21 сентября 2016 г.

Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами

Пусть дано равенство с переменными  х, а:

f(x; a) = 0.

Если ставится задача для каждого действительного значения  а  решить это уравнение относительно  х, то уравнение  f(x; a) = 0  называют уравнением с переменной  х  и параметром  а.

Решить уравнение с параметром  а – значит, для каждого значения  а,  найти значения  х, удовлетворяющие этому уравнению.

Решение квадратного уравнения с параметрами следует начинать с вопроса  << А будет ли уравнение квадратным ? >>. Если коэффициент перед  х2  может приобретать нулевое значение, то уравнение 

2 + bx + c = 0  

преобразуется в линейное уравнение 

bx + c = 0.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:  

2 + 2x + 1 = 0.

Если  a 0, то вычислим

D = 44a = 4(1 – a),

Если  a > 1, то  D < 0  и  x ∈ ∅.

Если  a = 1, то
Если  a < 1, то   D > 0  и
ОТВЕТ: 

Если  a > 1, то  x ∈ ∅.
Если  a = 1, то 
D = 0  і  x = 1.
Если  a ∈ (∞) ∪ (0;1), то
Если  a ∈ (1; +∞), то  x ∈ ∅.  

ПРИМЕР:

При каком значении  k  уравнение

kx2 + 12x – 3 = 0

имеет корень который равен  1/5 ?
ПРИМЕР:

При каком значении  а  уравнение

аx2 + 4x + 1 = 0

имеет два одинаковых корня ?

Уравнение имеет два одинаковых корня при условии, что его дискриминант равен нулю. В нашем случае 

42 – 4 × 1 × а = 0,

откуда  а = 4.   

ПРИМЕР:

При каких значениях  a  уравнение не имеет корней ?                   

x2 + 5 + 5а = 0.

РЕШЕНИЕ:

Данное уравнение не имеет корней, если его дискриминант отрицательный.

x2 + 5 + 5а = 0,

D = (5а)2 – 45a = 25а2 – 20а =

= 5а(5а – 4) < 0, а (0; 0,8).

ПРИМЕР:

При каких значениях  с  уравнение не имеет корней ?

x2 + сх + 25 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Данное уравнение не имеет корней, если его дискриминант отрицательный.

x2 + сх + 25 = 0,

D = с2 – 4∙25 = с2 – 100 < 0,

(с – 10)(с + 10) < 0, с (–10; 10).

ПРИМЕР:

При каких значениях  a  уравнение не имеет корней ?                   

x2 + 2ах + 7а = 0.

РЕШЕНИЕ:

Данное уравнение не имеет корней, если его дискриминант отрицательный.

x2 + 2ах + 7а = 0,

D = (2а)2 – 47a = 4а2 – 28а =

= 4а(а – 7) < 0, а (0; 7).

ПРИМЕР:

При каких значениях  a  уравнение не имеет корней ?                   

x2х + а – 5 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Данное уравнение не имеет корней, если его дискриминант отрицательный.

x2х + а – 5 = 0,

D = (–1)2 – 4(а – 5) = 1 –  4а + 20 =

= 21 – 4а < 0, 4а > 21, а > 5,25,

а (5,25; +).

ПРИМЕР:

При каких значениях  b  уравнение имеет два разных корня ?                   

x2 + bx + 49 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Данное уравнение будет иметь два разных корня, когда его дискриминант будет положительным.

x2 + bx + 49 = 0,

D = b2 – 449 = b2 – 196 > 0,

(b – 14)(b + 14) > 0,

b (–; –14) (14; +).

ПРИМЕР:

При каких значениях  b  уравнение не имеет корней ?                   

5x2 + bх + 20 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Данное уравнение не имеет корней, если его дискриминант отрицательный.

5x2 + bх + 20 = 0,

D = b2 – 4520 = b2 – 400 < 0,

(b – 20)(b + 20) > 0,

b (–20; 20).

ПРИМЕР:

Число  –3  является корнем уравнения

x2 + bх – 12 = 0.

Найдите другой корень уравнения.

РЕШЕНИЕ:

Из теоремы Виета

х1 х2 = –12,

–3х2 = –12, х2 = 4.

ПРИМЕР:

Число  –3  является корнем уравнения

3x2 + 2х + с = 0.

Найдите другой корень уравнения.

РЕШЕНИЕ:

Поскольку число  –3  является корнем, то оно удовлетворяет уравнение:

3 (–3)2 + 2 (–3) + с = 0,

27 – 6 + с = 0, с = –21.

Уравнение:

3x2 + 2х – 21 = 0,

(3х – 7)(х + 3) = 0,

х1 = –3,  х2 = 21/3.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

(а –1)x2 + 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Выделим особо значение параметра  а = 1. Дело в том, что при  а = 1  данное уравнение не является квадратным, а при  а оно квадратное.

Решать уравнение в каждом из этих случаев надо по-своему. При  а = 1  уравнение принимает вид  6х + 7 = 0, откуда находим

х = 7/6.

В случае, если  а 1  для квадратного уравнения выделим те значения параметра, при которых дискриминант уравнения обращается в нуль.

Имеем:

D/4 = 5а + 4.

Значит,

а = 4/5.

значение параметра на которое нам надо обратить внимание.

Если

а < 4/5,   D < 0

и, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Если

а > 4/5  и  а 1, то  D > 0  мы получаем:
Если

а = 4/5, то  D = 0.

Получаем:
Итак,

если  а < 4/5  то действительных корней нет,

если  а = 1, то  х = 7/6,

если  а = 4/5, то  х = 1/3,

если  а > 4/5  и  а 1, то
ПРИМЕР:

При каком значении параметра  а  уравнение

х2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0

имеет два различных отрицательных корня.

РЕШЕНИЕ:

Так как уравнение должно иметь два различных действительных корня  х1  и  х2, его дискриминант должен быть положительным. Имеем:

D = 4(а + 1)2 – 4(9а – 5) =

= 4а2 – 28а + 24 = 4(а – 1)(а – 6).

Значит должно выполняться неравенство:

4(а – 1)(а – 6) ˃ 0.

По теореме Виета для заданного уравнения имеем:

х1  + х2 = –2(а + 1),

х1 х2 = 9а – 5.

Так как, по условию,

х1 <и  х2 < 0, то

–2(а + 1) <и  9а – 5 > 0.

В итоге приходим к системе неравенств:
Из первого неравенства системы находим  а < 1, а > 6.

Из второго неравенства находим  а > –1.

Из третьего неравенства находим   а > 5/9.

С помощью координатной прямой
находим, что либо  5/9 < а < 1, либо  а > 6.

Задания к уроку 24
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий