Урок 25. Дробные рациональные уравнения

Уметь преобразовывать дробные выражения необходимо, например, для того, чтобы решать дробные уравнения.

Уравнение называется рациональным, если его левая и правая часть – рациональные выражения. Рациональное уравнение называется дробным, если его правая или левая часть – выражения дробные.

Если левая и правая часть целые выражения, то уравнение называют целым, если же хотя бы одно выражение является дробным, то уравнение называют дробным.

ПРИМЕР:

 

Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:

– найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;

– заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

– решить полученное целое уравнение;

– исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Один из способов решения дробных уравнений находится в замене их равносильными уравнениями, в которых левая часть – дробь, а правая – ноль.

Рассмотрим рациональное уравнения вида

где   А  и  В – многочлены. Мы знаем, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличный от нуля. Поэтому, что бы решить уравнение этого вида, необходимо одновременно выполнить два условия:  А = 0  и  В ≠ 0. Это означает, что при решении уравнения указанного вида следует пользоваться таким алгоритмом:

– решить уравнение 

А = 0.

– проверить какие из найденных корней удовлетворяют условию      

В ≠ 0.

– корни, которые удовлетворяют условии 

В ≠ 0,

включить в ответ.

ПРИМЕР:

Полученное уравнение равносильно данному. А решить его легко, учитывая, что

дробь равна нулю только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличный от нуля.

Приравняем числитель к нулю:  

8х – 4 = 0,  8х = 4,  х = 0,5.

Если  х = 0,5, знаменатель  

х² – 4  не равен  0.

Поэтому, 

х = 0,5 – корень данного уравнения.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Общим знаменателем имеющихся дробей является  2х(2 – х). Найдя дополнительные множители для каждой дроби, освободимся от знаменателей. Имеем:

Из уравнения

х² – 6х + 8 = 0.

находим  х₁ = 2, х₂ = 4.

Осталось проверить обращают ли найденные корни выражение  2х(2 – х)  в нуль, то есть проверить выполнение условия

2х(2 – х) ≠ 0.

Замечаем, что  2  не удовлетворяет этому условию, а  4  удовлетворяет. Значит, х = 4 – единственный корень уравнения.

ПРИМЕР: 

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

х₁ = –6, х₂ = 4,

х ≠ –6, х ≠ 6.

ОТВЕТ:  х = 4

ПРИМЕР:

РЕШЕНИЕ:

х(х – 2) = 0, если  х = 0  или  х = 2.

Когда  х = 0, знаменатель 

(х – 2)(х + 3) 

не равен  0. Поэтому,

х = 0 – корень данного уравнения.

Когда  х = 2, то

(х – 2)(х + 3) = 0.

Поэтому, х = 2 – не будет корнем данного уравнения.

ОТВЕТ:  х = 0

ПРИМЕР:

РЕШЕНИЕ: 

Решите уравнение:

4х² + х + 8х + 2 + 4х² – х – 8х + 2 = 6х + 3,

8х² – 6х + 1 = 0,

х₁ = 0,25, х₂ = 0,5,

х ≠ –0,25, х ≠ 0,25.

ОТВЕТ:  х = 0,5

ПРИМЕР:

РЕШЕНИЕ:

Решите уравнение:

2х² – 13х + 11 = 0,

х₁ = 1, х₂ = 5,5,

х ≠ 0, х ≠ 2.

ОТВЕТ:  х₁ = 1, х₂ = 5,5

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

х² + х – 2 = 0,

х₁ = 1, х₂ = –2,

х ≠ 2, х ≠ –2.

ОТВЕТ:  х = 1

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

х² – 5х – 14 = 0,

х₁ = 7, х₂ = –2,

х ≠ 2, х ≠ –2,

ОТВЕТ:  х = 7.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

х² + 2х – 8 = 0,

х₁ = 2, х₂ = –4,

х ≠ 2, х ≠ 0.

ОТВЕТ:  х = –4

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

х² + 7х – 8 = 0,

х₁ = 1, х₂ = –8,

х ≠ –8, х ≠ 8.

ОТВЕТ:  х = 1

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

х² – 4х – 45 = 0,

х₁ = 9, х₂ = –5,

х ≠ –5, х ≠ 5.

ОТВЕТ:  х = 9

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

4х² – 10х = 0,

2х² – 5х = 0

х₁ = 0, х₂ = 2,5,

х ≠ 0, х ≠ 1.

ОТВЕТ:  х = 2,5

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

2х² – 4х = 0,

х² – 2х = 0,

х₁ = 0, х₂ = 2,

х ≠ 0, х ≠ –2.

ОТВЕТ:  х = 2

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

2х² + 4х – 16 = 0,

х² + 2х – 8 = 0,

х₁ = –4, х₂ = 2,

х ≠ 4, х ≠ –4.

ОТВЕТ:  х = 2

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

х² + 24х + 144 = 0,

(х + 12)² = 0,

х = –12,

х ≠ 0, х ≠ –4, х ≠ 4.

ОТВЕТ:  х = –12

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

х² – 3х + 2 = 0,

х₁ = 1, х₂ = 2,

х ≠ 2, х ≠ –2.

ОТВЕТ:  х = 1

Задания к уроку 25

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем