Уроки математики и физики (RU + UA)

четверг, 22 сентября 2016 г.

Урок 25. Дробные рациональные уравнения

Уметь преобразовывать дробные выражения необходимо, например, для того, чтобы решать дробные уравнения.

Уравнение называется рациональным, если его левая и правая часть – рациональные выражения. Рациональное уравнение называется дробным, если его правая или левая часть – выражения дробные.
Если левая и правая часть целые выражения, то уравнение называют целым, если же хотя бы одно выражение является дробным, то уравнение называют дробным.

ПРИМЕР:
 
Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:

– найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;

– заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

– решить полученное целое уравнение;

– исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Один из способов решения дробных уравнений находится в замене их равносильными уравнениями, в которых левая часть – дробь, а правая – ноль.

Рассмотрим рациональное уравнения вида
где   А  и  В – многочлены. Мы знаем, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличный от нуля. Поэтому, что бы решить уравнение этого вида, необходимо одновременно выполнить два условия:  А = 0  и  В 0. Это означает, что при решении уравнения указанного вида следует пользоваться таким алгоритмом:

– решить уравнение 
А = 0.
– проверить какие из найденных корней удовлетворяют условию      
В ≠ 0.
– корни, которые удовлетворяют условии 
В ≠ 0,
включить в ответ.

ПРИМЕР:
Полученное уравнение равносильно данному. А решить его легко, учитывая, что

дробь равна нулю только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличный от нуля.

Приравняем числитель к нулю:  

8х – 4 = 0,  8х = 4,  х = 0,5.

Если  х = 0,5, знаменатель  

х2 – 4  не равен  0.

Поэтому, 

х = 0,5 – корень данного уравнения.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:
РЕШЕНИЕ:
Общим знаменателем имеющихся дробей является  (2 – х). Найдя дополнительные множители для каждой дроби, освободимся от знаменателей. Имеем:
Из уравнения

х2 – 6х + 8 = 0.

находим  х1 = 2, х2 = 4.

Осталось проверить обращают ли найденные корни выражение  (2 – х)  в нуль, то есть проверить выполнение условия

2х(2 – х) 0.

Замечаем, что  2  не удовлетворяет этому условию, а  4  удовлетворяет. Значит, х = 4 – единственный корень уравнения.

ПРИМЕР: 

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:
х1 = –6, х2 = 4,

х –6, х 6.

ОТВЕТ:  х = 4

ПРИМЕР:
РЕШЕНИЕ:
х(х – 2) = 0, если  х = 0  или  х = 2.

Когда  х = 0, знаменатель 

(х – 2)(х + 3) 

не равен  0. Поэтому,

х = 0 – корень данного уравнения.

Когда  х = 2, то

(х – 2)(х + 3) = 0.

Поэтому, х = 2 – не будет корнем данного уравнения.

ОТВЕТ:  х = 0

ПРИМЕР:

РЕШЕНИЕ: 

Решите уравнение:
4х2 + х + 8х + 2 + 4х2х – 8х + 2 = 6х + 3,

8х2 – 6х + 1 = 0,

х1 = 0,25, х2 = 0,5,

х –0,25, х 0,25.

ОТВЕТ:  х = 0,5

ПРИМЕР:

РЕШЕНИЕ:

Решите уравнение:
2х2 – 13х + 11 = 0,

х1 = 1, х2 = 5,5,

х 0, х 2.

ОТВЕТ:  х1 = 1, х2 = 5,5

ПРИМЕР:

Решите уравнение:
РЕШЕНИЕ:
х2 + х  2 = 0,

х1 = 1, х2 = –2,

х 2, х –2.

ОТВЕТ:  х = 1

ПРИМЕР:

Решите уравнение:
РЕШЕНИЕ:
х2 – 5х – 14 = 0,

х1 = 7, х2 = –2,

х 2, х –2,

ОТВЕТ:  х = 7.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:
РЕШЕНИЕ:
х2 + 2х – 8 = 0,

х1 = 2, х2 = –4,

х 2, х 0.

ОТВЕТ:  х = –4

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:
х2 + 7х – 8 = 0,

х1 = 1, х2 = –8,

х –8, х 8.

ОТВЕТ:  х = 1

ПРИМЕР:

Решите уравнение:
РЕШЕНИЕ:
х2 – 4х – 45 = 0,

х1 = 9, х2 = –5,

х –5, х 5.

ОТВЕТ:  х = 9

ПРИМЕР:

Решите уравнение:
РЕШЕНИЕ:
4х2 – 10х = 0,

2х2 – 5х = 0

х1 = 0, х2 = 2,5,

х 0, х 1.

ОТВЕТ:  х = 2,5

ПРИМЕР:

Решите уравнение:
РЕШЕНИЕ:
2х2 – 4х = 0,

х2 – 2х = 0,

х1 = 0, х2 = 2,

х 0, х –2.

ОТВЕТ:  х = 2

ПРИМЕР:

Решите уравнение:
РЕШЕНИЕ:
2х2 + 4х – 16 = 0,

х2 + 2х – 8 = 0,

х1 = –4, х2 = 2,

х 4, х –4.

ОТВЕТ:  х = 2

ПРИМЕР:

Решите уравнение:
РЕШЕНИЕ:
х2 + 24х + 144 = 0,

(х + 12)2 = 0,

х = –12,

х 0, х –4, х 4.

ОТВЕТ:  х = –12

ПРИМЕР:

Решите уравнение:
РЕШЕНИЕ:
х2 – 3х + 2 = 0,

х1 = 1, х2 = 2,

х 2, х –2.

ОТВЕТ:  х = 1

Задания к уроку 25
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий