Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени

С помощью систем уравнений второй степени удобно решать многие задачи. Много задач, особенно в которых необходимо найти значения двух величин, удобно решать с помощью систем уравнений второй степени. При решении задач с помощью систем уравнений поступают следующим образом: обозначают некоторые неизвестные числа буквами, используя условие задачи, составляют систему уравнений; решают эту систему; истолковывают результат в соответствии с условием задачи.

ЗАДАЧА:

Периметр прямоугольника равен  80 см. Если основание прямоугольника увеличить на  8 см, а высоту – на  2 см, то площадь прямоугольника увеличится в полтора раза. Найдите длину сторон прямоугольника ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть основание прямоугольника равно  х см, а высота  у см. Периметр прямоугольника равен  80 см, то есть:

2х + 2у = 80.

Площадь прямоугольника равна:

ху см².

После увеличения основания и высоты прямоугольника площадь будет равна:

(х + 8)(у + 2) см².

По условию задачи площадь прямоугольника увеличивается в полтора раза, то есть:

(х + 8)(у + 2) = 1,5ху.

Поэтому, имеем систему уравнений:

Решив её, найдём, что:

х₁ = 28, у₁ = 12;  

х₂ = 24, у₂ = 16.

Поэтому, задача имеет два решения. Стороны прямоугольника равна  28 см  и  12 см  или  24 см  и  16 см.

ЗАДАЧА:

В девять часов утра от пристани отчалил плот, а в восемнадцать часов – лодка, которая догнала плот на расстоянии  20 км  от пристани, Во сколько часов лодка догнала плот, если собственная скорость лодки равна  18 км/час ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть  х км/час – скорость течения,  t час – время, за которое лодка догнала плот, тогда по условию можно составить такие уравнения:

х(9 + t) = 20, 

(х + 18)t = 20.

Из этих двух уравнений выходит, что:

х(9 + t) = (х + 18)t,

хt + 9х = хt + 18t,  х = 2t.

Вернёмся к уравнению:

х(9 + t) = 20,

2t (9 + t) = 20,

t ² + 9t – 10 = 0.

t =1,  t = –10.

Поэтому лодка догонит плот за один час, и это произойдёт в  19  часов.

ЗАДАЧА:

Рабочий и ученик, работая вместе, могут выполнить некоторое задание за  2 дня. За сколько дней может выполнить это задание каждый из них, работая самостоятельно, если рабочему для выполнения  ¹/₃  задания нужно на  3 дня меньше, чем учащемуся на выполнение  ²/₃  задания ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть рабочий сам может выполнить задание за  х  дней, а ученик – за  у  дней. Тогда за  1 день рабочий выполнит  ¹/_х, а ученик – ¹/_у часть работы. Работая вместе, за  1 день они проделают  ¹/₂ часть работы. Уравнение:

¹/_х  + ¹/_у  = ¹/₂.

Время, необходимое для выполнения  ¹/₃  задания рабочим, равно  ^х/₃  дней, а для выполнения  ²/₃  задания учеником – ^2у/₃   дней. Уравнение:

^х/₃ + 3 = ^2у/₃.

Система:

х₁ = –6,  у₁ = 1,5 – не удовлетворяют условию задачи.

х₂ = 3,  у₂ = 6.

Следовательно, рабочий может выполнить задание за  3 дня, а ученик – за  6 дней.

ОТВЕТ:  3 дня, 6 дней

ЗАДАЧА:

У старшего брата было вдвое больше денег, чем у младшего. Они положили свои деньги на год на счета в разные банки, причём младший брат нашёл банк, который даёт на  5%  годовых больше, чем банк старшего брата. Сняв свои деньги со счетов через год, старший брат получил  4600 руб, а младший – 2400 руб. Сколько денег было бы у братьев в сумме, если бы они с самого начала поменяли свои банки ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть  х руб – сумма денег, которую положил в банк младший брат, тогда  2х руб – сумма денег, которую положил в банк старший брат. Пусть, далее, банк старшего брата даёт  у%  годовых, тогда банк младшего брата даёт  (у + 5)%  годовых.

Значит, через год на счету старшего брата будет

а на счету младшего брата будет

В итоге приходим к системе уравнений:

Решив эту систему, получим  х = 2000, у = 15.

Осталось получить ответ на вопрос задачи: сколько денег было бы у братьев в сумме, если бы они с самого начала поменяли свои банки ? В этом случае младший брат положил бы свои  2000 руб  в банк под  15%  годовых, а старший – 4000 руб  в банк под  20%  годовых. Младший брат в конце года получил бы  2300 руб, а старший – 4800 руб. Всего у них стало бы  7100 руб.

ОТВЕТ:  7100 руб

ЗАДАЧА:

Первому рабочему для выполнения задания нужно на  4 часа меньше, чем второму. Первый рабочий проработал  2 часа, а затем его сменил второй. После того как второй рабочий проработал  3 часа, оказалось, что выполнено  ¹/₂  задания. За сколько часов может выполнить эту задачу каждый рабочий, работая самостоятельно ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть первый рабочий сам может выполнить заказ за  х час, а второй – за  у час и  у – х = 4. Тогда за  1 час первый выполнит  ¹/_х, второй – ¹/_у  часть работы. Если первый рабочий будет выполнять задание  2 часа, а второй – 3 часа, то вместе они выполнят  ¹/₂  часть работы.

Решим систему:

х₁ = –2,  х₂ = 8,

у₁ = 2,  у₂ = 12.

х₁ = –2  не удовлетворяет условию задачи. Итак, первый рабочий может выполнить задание за  8 час, второй – за  12 час.

ОТВЕТ:  8 час, 12 час

ЗАДАЧА:

Двое трактористов могут вспахать поле, работая вместе, за  6 час. За сколько может вспахать это поле каждый тракторист, работая самостоятельно, если одному из них для того, чтобы вспахать  ²/₅  поля, требуется на  4 час  больше, чем другому, чтобы вспахать  ¹/₅  поля ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть первый тракторист может вспахать поле за  х час, а второй за  у год. Тогда через  1 час первый выполнит  ¹/_х, второй  –  ¹/_у часть работы. Работая вместе, выполняют за  1 час  ¹/₆  задания.

Уравнение:

¹/_х + ¹/_у = ¹/₆, 

²/₅ : ¹/_х = ^2х/₅ (час)

– время, необходимое для выполнения  ²/₅  задания первым трактористом,

¹/₅ : ¹/_у = ^у/₅ (час)

– время, необходимое для выполнения  ¹/₅  задания вторым трактористом.

Уравнение:

^2х/₅ + ^у/₅ = 4.

Система:

х₁ = 4,  х₂ = 15,

у₁ = –12,  у₂ = 10.

х₁ = –12  не удовлетворяет условию задачи. Итак, первый тракторист может выполнить задание за  15 час, второй – за  10 час.

ОТВЕТ:  15 час, 10 час

ЗАДАЧА:

Из города  А  в город  В, расстояние между которыми равно  320 км, выехал грузовой автомобиль. Через  3 час  после этого из города  В  в город  А  выехал легковой автомобиль, который встретился с грузовым через  1 час  после выезда. Легковой автомобиль преодолевает расстояние между городами  А  и  В  на  1 час  20 мин  быстрее, чем грузовой. Найдите скорость каждого автомобиля.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  х км/часд – скорость легкового автомобиля, у км/час – скорость грузового автомобиля. Грузовой автомобиль двигался  3 + 1 = 4 час, легковой – 1 час, и они проехали  320 км. Уравнение:

х + 4у = 320.

На весь путь из  А  в  В  легковой автомобиль затратил  ³²⁰/_х час, а грузовой –  ³²⁰/_у  час. 1 час 20 мин = ⁴/₃ час. Уравнение:

³²⁰/_у – ³²⁰/_х = ⁴/₃.

Система:

х = 80,

у₁ = 60,  у₂ = 320.

х₁ = 320  не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость легкового автомобиля составляла  80 км/час, грузового – 60 км/час.

ОТВЕТ:  80 км/час, 60 км/час

Задания к уроку 29

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем