Уроки математики и физики (RU + UA)

четверг, 1 декабря 2016 г.

Урок 32. Системы уравнений с параметрами

ПРИМЕР:

Найдите все значения параметра  а, при которых система уравнений имеет ровно четыре решения:
РЕШЕНИЕ:

График второго уравнения – квадрат с вершинами:

(2; 0), (–2; 0),
(0; 2), (0; –2),

так как для  х ≥ 0, у ≥ 0  имеем: 

х + у = 2.

А для других сторон квадрата применим симметрию. График первого уравнения – окружность с центром в начале координат и радиусом  |а|. Имеем:
Система имеет ровно  4  решения, если окружность вписана в квадрат, или когда окружность описана вокруг квадрата. В первом случае:
во втором:

|а| = 2.

ОТВЕТ:

–2,  –√͞2√͞22.

ПРИМЕР:

При каких значениях параметра  m  система уравнений не имеет решений ?
РЕШЕНИЕ:

Система не имеет решений, если выполняется соотношение:
Тогда:
Откуда:
m + 1 1,  m ≠ 0.
(m + 1)(m – 2) = –2,
m2 – m – 2 = –2,
m = 1,  m = 0.

Тогда искомое  m  равно  1.

ПРИМЕР:

При каких значениях параметра  а  система уравнений
имеет бесконечно много решений ?

РЕШЕНИЕ:

Из первого уравнения выражаем  х:

х = –а/2 у + а/2 + 1.

Подставляем это выражение во второе уравнение, получаем

(а + 1)(–а/2 у + а/2 + 1) + 2ау
= 2а + 4.

Далее умножим обе части уравнения на  2  и упростим его:

(а + 1)(а + 2 – ау) + 4ау
= 4а + 8,
4ауа(а + 1)у =
4(а + 2) – (а + 1) (а + 2),
уа – (4 – а – 1) =
(а + 2) (4 – а – 1),
у а (3 – а) = (а + 2) (3 – а),

Анализируя последнее уравнение, отметим, что при  а = 3  оно имеет вид

0 у = 0,

то есть оно удовлетворяется при любых значениях у.

ОТВЕТ:  3

Задания к уроку 32
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий