Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

воскресенье, 11 ноября 2018 г.

Урок 14. Треугольник и окружность

ВИДЕОУРОК

Описанная окружность разностороннего треугольника.

Окружность называется описанной около треугольника, если  она проходит через все вершины этого треугольника. 

На рисунке изображена окружность, описанная около треугольника.
В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Центр описанной окружности треугольника равноудалён от всех его вершин.

На рисунке точка  О – центр окружности, описанной около треугольника  АВС, поэтому

ОА = ОВ = ОС.

У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника.
У тупоугольного треугольника центр описанной окружности лежит вне треугольника.
Около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Серединный перпендикуляр к отрезку – прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Центр окружности, описанной около треугольника, это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Через какие-нибудь три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести окружность и лишь одну.

Радиус описанной вокруг треугольника окружности вычисляется по формуле:
ЗАДАЧА:
Угол  С  треугольника  АВС, вписанного в окружность радиуса  47, равен  30°. Найдите сторону  АВ  этого треугольника.
РЕШЕНИЕ:
Сделаем дополнительное построение. Начертим треугольник  АОВ  у которого вершина  О  совпадает с центром окружности.
Треугольник  АОВ – равносторонний, так как центральный угол  АОВ  равен  60° (он также соответствующий для вписанного угла, равного  30°) и тогда 

АО = ОВ = АВ, а 

АО  и  ОВ – радиусы, 

значит  АВ = 47.

Вписанная окружность разностороннего треугольника.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трёх сторон треугольника. 

На рисунке изображена окружность, вписанная в треугольник.
В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

Точка  О – центр вписанной окружности треугольника  АВС, отрезки  ОМ, ОN, ОР – радиусы, проведённые в точки касания,

ОМ ⊥ АВ, ОN ⊥ ВС, ОР ⊥ АС.

Поскольку  ОМ = ОN = ОР, то центр вписанной окружности треугольника равноудалён от всех его сторон.

В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит во внутренней области этого треугольника.

Центр окружности, вписанной в треугольник, – это точка пересечения его биссектрис.

В каждом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Радиус вписанной в треугольник окружности вычисляется по формуле:
ЗАДАЧА:

 К окружности, вписанной в треугольник  АВС, проведены три касательные, параллельные сторонам треугольника. Периметры отсечённых треугольников равны  5, 6  и  7. Найдите периметр треугольника  АВС.

 РЕШЕНИЕ:

 Рассмотрим рисунок. Пусть  А1, В1 С1 – точки касания сторон  ∆ АВС  с окружностью. А', В', С' – точки на окружности, через которые проведены касательные параллельно сторонам треугольника. Получились треугольники  AMN, BLK, CPR. 
Пусть  

 PAMN = 5, PBLK = 6, PCPR = 7.
Так как отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны, то

 МА' = МС1, NА' = NВ1.

 Следовательно,

 PAMN = AM + МА' + NА' + AN 
= AM +М С1 + NВ1 + AN = 
АС1 + АВ1 = 5.

 Аналогично для других треугольников:

 PBLK = ВС1 + ВА1 = 6
PCPR = СА1 + СВ1 = 7 

Следовательно, 

PAВС = (АС1 + АВ1) + (ВС1 + ВА1) + (СА1 + СВ1)
= 5 + 6 + 7 = 18.   

 Задания к уроку 14
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий