Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

понедельник, 26 ноября 2018 г.

Урок 20. Прямоугольник

ВИДЕОУРОК
Среди четырёхугольников особое место занимает прямоугольник.

Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые, а диагонали равны.

ABCD – прямоугольник, 

∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90°.
Прямоугольник вместе с частью плоскости, которую он ограничивает, называется плоским прямоугольником. У него  4  вершины, 4  стороны и  4  угла. Все углы прямоугольника – прямые, противоположные стороны – попарно равны, но смежные стороны (длина и ширина) имеют разные длины. Прямоугольник – отдельный вид параллелограмма, поэтому он имеет все свойства параллелограмма. У прямоугольника:

 – противоположные стороны равны;
– противоположные углы равны;
– диагональ делить его на два равных треугольника;
– диагонали точкою пересечения делятся пополам;
– диагонали прямоугольника равны;
– сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна  180°.

Если диагонали в параллелограмме равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.Построить прямоугольник можно следующим образом.

Построим прямоугольник  АВСD, у которого

АD = 6 см,

АВ = 4 см.

Начертим прямую  ЕF  и отложим на ней отрезок  АD  длиной  6 см.
С помощью угольника построим с одной стороны от прямой  ЕF  прямые углы  NАF  и  МDF. Отложим на луче  АN  отрезок  АВ  длиной  4 см  и на луче  DМ – отрезок  DС, равный  4 см. Соединив точки  В  и  С  отрезком, получим искомый прямоугольник  АВСD.

ЗАДАЧА:

Какая часть прямоугольника закрашена на рисунку ?
РЕШЕНИЕ:

Закрашено  2  из  6  одинаковых прямоугольников, то есть

2/6 = 1/3  часть.

ЗАДАЧА:

О – точка пересечения диагоналей прямоугольника  АВСD,

∠ СОD = 52°.
Найдите  ∠ DВС.

РЕШЕНИЕ:

∠ ОВС =∠ ОСВ,

∠ СОD = ∠ ОВС +∠ ОСВ =

= 2∠ ОВС,

∠ DВС =∠ ОВС =∠ СОD : 2 =

= 52° : 2 = 26°.

ЗАДАЧА:

Стороны прямоугольника равны  32 см  и  24 см. Найдите длину диагонали прямоугольника.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
По теореме Пифагора
ЗАДАЧА:

Сторона прямоугольника равна  4 см  и образует с диагональю угол  60°. Найдите эту диагональ.

РЕШЕНИЕ:

Из условия задачи имеем:

АВСD – прямоугольник,
ВС = 4 см, ∠ ВСА = 60°.

Найдите  АС.

∆ АВС – прямоугольный, в нём катет

ВС = 4 см, а  ∠ ВАС = 30°.

По свойству катета, лежащего в прямоугольном треугольнике против угла  30°,

ВС = 0,5АС.

Значит  АС = 8 см.

ЗАДАЧА:

Дано: АВСD – прямоугольник, АВ = ВЕ.

Найти: ∠ ВАЕ.
ВС = 4 см, ∠ ВСА = 60°.

Найдите  АС.

∆ АВС – прямоугольный, в нём катет

ВС = 4 см, а  ∠ ВАС = 30°.

По свойству катета, лежащего в прямоугольном треугольнике против угла  30°,

ВС = 0,5АС.

Значит  АС = 8 см.

ЗАДАЧА:

Дано: АВСD – прямоугольник, АВ = ВЕ.

Найти: ∠ ВАЕ.
РЕШЕНИЕ:

В  ∆ АВЕ ∠ В = 90° (как один из углов прямоугольника).

АВ = ВЕ, поэтому 

∆ АВЕ – равнобедренный с основанием  АЕ.

∠ А = ∠ Е  как углы при основании равнобедренного треугольника, в сумме они составляют  90°  как острые углы прямоугольного треугольника. Значить,

∠ А = ∠ Е = 45°,

∠ ВАЕ = 45°.

ОТВЕТ:  45°.

ЗАДАЧА:

Диагональ делит угол прямоугольника в отношении  1 : 2, а меньшая сторона равна  12 см. Найдите диагональ прямоугольника.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  ЕКРМ – данный прямоугольник у которого 

∠ РЕК : ∠ РЕМ = 2 : 1.
∠ КЕМ = 90° (как угол прямоугольника).

Обозначим через  k  коэффициент пропорциональности, тогда

∠ РЕК = 2k, а

∠ РЕМ = k.

Поэтому,

2k + k = 90°.

Откуда

∠ РЕК = 60°, а 

∠ РЕМ = 30°.

Рассмотрим  

∆ РЕМ (∠ М = 90°).

РМ = 1/2 ЕР (как катет противоположный углу в  30°).

Значит 

ЕР = 2 РМ = 24 см.

ЗАДАЧА:

В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Чему равны стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как  5 : 2, а гипотенуза треугольника равна  45 см
РЕШЕНИЕ:

∆ АВС – равнобедренный, отсюда 
∠ А = ∠ С = 
1/2 (180° – 90°) = 45°.
∆ АFК  и  ∆ СEL – равнобедренные, так как 
∠ АКF = 180° – ∠ F – ∠ А =
180° – 90° – 45° = ∠ А 
и аналогично  ∠ ЕLК = ∠ С.
Поэтому  

 АF = FК  и  LE = ЕС.

 К тому же  КF = LE  (стороны прямоугольника), так что 
АF = КF = LЕ = ЕС.
Пусть  FК = 2х, а  КL = 5х.
Тогда  АF = ЕС = FК = 2х
и  FЕ = КL = 5х.
Получим  
АС = АF + FЕ + EС = 
2х + 5х + 2х = 9х = 45,
откуда  х = 5.
Далее,

FК = 2х = 10 см,
КL = 5х = 25 см.

ОТВЕТ:  10 см, 25 см.

ЗАДАЧА:

Биссектриса угла  А  прямоугольника  АВСD  делить его сторону  ВС  на отрезки  ВМ  и  МС  длиной  10 см  и  14 см  соответственно. На отрезки какой длины эта биссектриса делит диагональ прямоугольника ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВСD – заданный прямоугольник,
АМ – биссектриса угла  А,

ВМ = 10 см,

МС = 14 см.

Тогда  ВС = 24 см.

Поскольку  АМ – биссектриса угла, то

∠ 1 = ∠2.

∠ 1 = ∠ 3

 как внутренние разносторонние для параллельных прямых  ВС  и  АD  и секущей  АМ.

Получим:

∠ 2 = ∠ 3.

Поэтому, треугольник  АВМ – равнобедренный,

АВ = ВМ = 10 см.

З  ∆ ВАD (∠ А = 90°):
О – точка пересечения биссектрисы  АМ  и диагонали  ВD.

Пусть  ВО = х, тогда

ОD = 26 – х.

По свойству биссектрисы 

АС  ∆ АВD:
12х = 130 – 5х,

17х = 130, х = 130/17.

Поэтому,

ВО = 130/17 = 711/17 (см).

ОD = 26 – 711/17 = 186/17 (см)

ОТВЕТ:

711/17 см,  186/17 см

ЗАДАЧА:

Биссектриса угла прямоугольника делит диагональ на отрезки длиной  30 см  и  40 см. На отрезки какой длины делит эта биссектриса сторону прямоугольника ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВСD – заданный прямоугольник,
АМ – биссектриса угла  А, которая пересекает диагональ  ВD  в точке  О,

ВО = 30 см,

ОD = 40 см.

Тоді  ВD = 30 + 40 (см).

Так как  АМ – биссектриса угла, то

∠ 1 = ∠2,

∠ 1 = ∠ 3

как внутренние разносторонние для параллельных прямых  ВС  и  АD  и секущей  АМ.

Получим:

∠ 2 = ∠ 3.

Поэтому, треугольник  АВМ – равнобедренный,

АВ = ВМ.

По свойству биссектрисы угла  А  в треугольнику  ВАD  получим:
Откуда 

АВ = 3х, АD = 4х.

Из  ∆ ВАD (∠ А = 90°):

АВ2 + АD2 = ВD2,

9х2 + 16х2 = 4900,

25х2 = 4900, х = 14.

Поэтому,

АВ = 3 ∙ 14 = 42 (см).

АD = 4 ∙ 14 = 56 (см).

Так как 

АВ = ВМ, то 

ВМ = 42 см,

МС = ВС – ВМ =

= 56 – 42 = 14 (см).

ОТВЕТ:  42 см,  14 см
Задания к уроку 20
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий